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    一元一次方程應用題的幾種特殊類型

    2015-05-30 10:48:04朱亞邦
    關(guān)鍵詞:劉同學原價公共汽車

    朱亞邦

    一元一次方程應用題的類型有很多。下面請大家看幾種比較特殊的類型。

    一、特殊設元型

    1.求整體,設部分。

    例1 有一個八位的電話號碼,前四位數(shù)字完全相同,從第四位到第八位是依次減小的連續(xù)自然數(shù),全部數(shù)字之和恰好等于號碼的最后兩位數(shù)字組成的兩位數(shù)(兩位數(shù)字的前后順序不變),請寫出這個電話號碼。

    分析:前四位數(shù)字完全相同,且它們與后四位數(shù)字有聯(lián)系,因此可將前四位數(shù)字設出來,這樣便于列方程求解。

    解:設前四位數(shù)字均為x,則后四位數(shù)字依次為x-l,x-2,x-3。x-4。

    由題意得

    4x+x-1+x-2+x-3+x-4=10(x-3)+x-4。

    解得x=8。

    故x-1=7,x-2=6,x-3=5,x-4=4。

    所以這個電話號碼是88887654。

    2.求部分,設整體。

    例2 有四名同學,他們每人手中都有一些錢,其中每三名同學手中的錢加起來分別為22元、19元、27元、25元,這四名同學手中的錢分別有多少元?

    分析:按常規(guī)解法,需設四個未知數(shù),列出多個方程,但目前大家還不會求解。由于目前大家只學了一元一次方程,所以考慮把整體設為未知數(shù)。

    解:設這四名同學手中的錢共有x元。則每人手中的錢分別有(x-22)元、(x-19)元、(x-27)元、(x-25)元。

    由題意得

    (x-22)+(x-19)+(x-27)+(x-25)=x。

    解得x=31。

    故x-22=9,x-19=12,x-27=4。x-25=6。

    所以這四名同學手中的錢分別有9元、12元、4元、6元。

    3.未知數(shù)多,增設輔助未知數(shù)。

    例3 某人乘坐小船沿河逆流而上,途中不慎將手機保護殼丟失,手機保護殼在河中順流而下。15min后,此人發(fā)現(xiàn)這一情況,并立即掉轉(zhuǎn)方向去尋找手機保護殼。假設小船在靜水中的行駛速度不變,水流速度也不變,則此人掉轉(zhuǎn)方向后需要多長時間可追上手機保護殼?

    分析:題中未知數(shù)較多,已知數(shù)只有一個,問題不易解決。此時可考慮增設輔助未知數(shù),并通過運算將輔助未知數(shù)消去,從而解決問題。

    解:設此人掉轉(zhuǎn)方向后需要xmin可追上手機保護殼,小船在靜水中的行駛速度為am/min,水流速度為bm/min,則小船逆流行駛15min的行程為15(a-b)m,順流行駛xmin的行程為(a+b)xm,手機保護殼的行程為b(15+x)m。

    由題意得(a+b)x=15(a-b)+b(15+x)。

    化簡,得ax=150a

    因為a≠0,所以x=15。

    所以此人掉轉(zhuǎn)方向后需要15min可追上手機保護殼。

    二、巧買型

    例4 王老師帶領甲、乙兩位同學到文具店買筆記本,文具店給出了以下優(yōu)惠措施:筆記本售價為2.3元/本,如果買100本以上(不含100本),售價調(diào)整為2.2元/本。王老師手中有222.2元錢,準備買100本筆記本。甲同學算了一下說買不到,而乙同學算了一下說能買到。這到底是怎么回事?請通過計算說明。

    分析:兩位同學肯定是根據(jù)不同的售價進行計算的。當1≤n≤100時,買n本筆記本需2.3n元;當n>100時,買n本筆記本需2.2n元。

    解:甲同學的算法是:按售價為2.3元/本計算,設222.2元能買x本,由題意得2.3x=222.2,解得x≈96.6,不夠100本。

    乙同學的算法是:按100本以上(不含100本)售價為2.2元/本計算,設222.2元能買y本,由題意得2.2y=222.2,解得y=101,這樣能買101本。

    三、簡解型

    例5 國慶期間,劉同學決定從家門口搭乘公共汽車趕往火車站,再乘火車回老家看望爺爺。在搭乘公共汽車行駛了三分之一的路程后,他估算了一下,繼續(xù)乘公共汽車將會在火車開出后半小時到達火車站,于是隨即下車改乘出租車,車速提高1倍,結(jié)果趕在火車開出前15min到達火車站。假設公共汽車的速度始終為40km/h,求劉同學家到火車站的距離。

    分析:只要明白節(jié)省的時間是因為在剩下的三分之二的路程中由公共汽車換了出租車,就能快速求解問題。

    解:設劉同學乘公共汽車行駛xkm,則劉同學家到火車站的距離為3xkm,劉同學乘出租車行駛2xkm。

    由題意得2x/40-2x/80=45。

    解得x=30。

    故3x=90。

    所以劉同學家到火車站的距離為90km。

    四、節(jié)省型

    例6 某超市國慶期間舉行促銷活動。給出了以下優(yōu)惠措施:一次性購物少于200元的,不給予優(yōu)惠:一次性購物不少于200元但不超過500元的,給予九折優(yōu)惠;一次性購物超過500元的,其中500元給予九折優(yōu)惠,超過500元的部分給予八折優(yōu)惠。某人兩次購物分別花了134元、466元。

    (1)此人兩次購物節(jié)省了多少錢?

    (2)若此人將兩次購買的商品合起來一次性購買,是否更省錢?請通過計算說明。

    分析:解決問題的關(guān)鍵在于確定一次性購物的原價所在的范圍(少于200元、不少于200元但不超過500元、超過500元)。

    解:(1)因為200×90%=180>134,所以此人第一次花費134元購買的商品沒有優(yōu)惠。

    因為500×90%=450<466,所以此人第二次花費466元購買的商品的原價超過500元。

    設他第二次購買了原價為x元的商品,由題意得500×90%+(x-500)×80%=466。解得x=520。

    所以此人兩次購買的商品的原價分別為134元、520元,節(jié)省了520-466=54(元)。

    (2)若將兩次購買的商品合起來一次性購買,則商品的原價為134+520=654(元),他實際需要付500×90%+(654-500)×80%=573.2(元),能節(jié)省654-573。2=80.8(元)。

    所以此人將兩次購買的商品合起來一次性購買更省錢。

    責任編輯:潘彥坤

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