基于改進(jìn)GM（1，1）模型的居民消費(fèi)價格指數(shù)的預(yù)測

卯青葉

摘要：由于居民消費(fèi)價格指數(shù)受多方面因素的影響，單純地采用GM（1，1）模型無法準(zhǔn)確地進(jìn)行預(yù)測，因此，文章提出改進(jìn)GM（1，1）模型。首先，以2009～2013年居民消費(fèi)價格指數(shù)為基礎(chǔ)，通過建立普通GM（1，1）模型對2009～2013年居民消費(fèi)價格指數(shù)進(jìn)行模擬，發(fā)現(xiàn)模擬值與真實(shí)值之間存在差異較大;其次，基于普通GM（1，1）模型對殘差進(jìn)行修正，求解得到改進(jìn)后的GM（1，1）模型，并對改進(jìn)后模型進(jìn)行可行性驗(yàn)證;最后，根據(jù)求解得出的改進(jìn)GM（1，1）模型，對未來幾年居民消費(fèi)價格指數(shù)進(jìn)行預(yù)測。結(jié)果表明，該預(yù)測方法是可行的，為其他相關(guān)預(yù)測提供了一種理論依據(jù)。

關(guān)鍵詞：居民消費(fèi)價格指數(shù);GM（1，1）模型;殘差修正;預(yù)測

一、引言

CPI是居民消費(fèi)價格指數(shù)（consumer price index）的縮寫。它作為一種宏觀經(jīng)濟(jì)指標(biāo)，反映了居民家庭購買商品能力以及服務(wù)價格水平波動情況。居民消費(fèi)價格指數(shù)不僅影響著人民群眾的生活，而且也關(guān)乎著整個國民經(jīng)濟(jì)價格體系。作為經(jīng)濟(jì)分析、決策和國民經(jīng)濟(jì)核算的一個重要指標(biāo)，它的變動率從某種程度上反映出通貨膨脹或緊縮的情況。因此，居民消費(fèi)價格指數(shù)與居民生活息息相關(guān)且影響著居民生活水平，有必要對其進(jìn)行預(yù)測分析。

近年來許多學(xué)者對居民消費(fèi)價格指數(shù)進(jìn)行了研究。比如，卞集利用GARCH模型對我國居民消費(fèi)價格指數(shù)的波動性進(jìn)行了研究，結(jié)果表明我國居民消費(fèi)價格指數(shù)所代表的通貨膨脹是通貨膨脹的Granger原因，而非其波動性;曹曉俞利用時間序列模型對居民消費(fèi)價格指數(shù)進(jìn)行分析研究，并從中選出預(yù)測精度相對較高的模型對我國未來一段時間內(nèi)的居民消費(fèi)價格指數(shù)水平進(jìn)行了預(yù)測;李加兵等通過數(shù)理統(tǒng)計模型對居民消費(fèi)價格指數(shù)進(jìn)行了應(yīng)用研究，并對周期項(xiàng)的預(yù)測效果進(jìn)行了改善;于揚(yáng)依據(jù)ARMA（p，q）模型的內(nèi)在機(jī)理導(dǎo)出了其點(diǎn)預(yù)測和區(qū)間預(yù)測的計算公式，并對我國居民消費(fèi)價格指數(shù)進(jìn)行了短期預(yù)測;李隆玲等建立了ARIMA模型對2014年中國居民消費(fèi)價格指數(shù)進(jìn)行了預(yù)測分析，并檢驗(yàn)了預(yù)測模型的精度。以上學(xué)者都為居民消費(fèi)價格指數(shù)的預(yù)測分析做出了貢獻(xiàn)，然而從精度上考慮，這些學(xué)者所建模型的精度不是很高，因此預(yù)測值和真實(shí)值之間將會有一定的差距，為了進(jìn)一步提高預(yù)測精度，有必要對模型加以改進(jìn)。

為進(jìn)一步提高預(yù)測精度，縮小預(yù)測值與真實(shí)值之間的差距，本文提出對普通GM（1，1）模型進(jìn)行殘差修正，并檢驗(yàn)改進(jìn)模型的可靠度，如果模型符合預(yù)測要求，則可以用來預(yù)測未來幾年居民消費(fèi)價格指數(shù)。

二、基于殘差修正的GM（1，1）模型建立的方法與步驟

（一）傳統(tǒng)GM（1，1）模型的建立

傳統(tǒng)GM（1，1）模型的步驟主要分為五步來完成。

1. 原始數(shù)據(jù)累加。設(shè)原來數(shù)據(jù)序列為

X（0）={x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n）}（1）

式中x（0）（i）≥0，i=1，2，…，n。將原始數(shù)據(jù)進(jìn)行一次累加生成，一則可以弱化它的隨機(jī)性，二則可以加強(qiáng)其規(guī)律性，從而得到生成后的序列為

X（1）={x（1）（1），x（1）（2），…，x（1）（n）}（2）

式中x（1）（k）=∑ki=1x（0）（i），k=1，2，…，n。

2. 均值生成。將累加后的數(shù)列（2）按照公式（3）作緊鄰平均值，可得如下序列。

Y（1）={y（1）（1），y（1）（2），…，y（1）（n）}

Y（1）（k）= [x（1）（k）+x（1）（k-1）]，k=2，3，…，n（3）

3. 傳統(tǒng)GM（1，1）模型的建立。根據(jù)X（1）={x（1）（1），x（1）（2），…，x（1）（n）}建立GM（1，1）模型，則對應(yīng)的白化微分方程為

+ax （t）=ux （1）=x （1）（4）

式中a、u為待辨識參數(shù)。通過常微分方程理論中Laplace變換的方法，可以求得方程（4）的解析式為

X（1）（t）=[x（1）（1）-a/u]e-a（t-1）+a/u（5）

運(yùn)用最小二乘法可以估計出a、u值為

a^=[a，u]T=（BTB）-1BTyN（6）

式中

B=- [x （1）+x （2）]? ? ?1- [x （2）+x （3）]? ? ?1┇ ? ? ? ?┇ ? - [x （n-1）+x （n）] 1 （7）

yN=[x（0）（2），x（0）（3），…，x（0）（n）]T（8）

將a、u最小二乘法解代入方程（5），可以得到近似解，即

X^（1）（t）[x（1）（1）-a/u]e-a（t-1）+a/u（9）

取其離散形式可得式（10），即

X^（1）（k）=[x（1）（1）-a/u]e-a（k-1）+a/u，k=1，2，…，n（10）

然后將其還原為原來數(shù)列，即GM（1，1）模型的動態(tài)預(yù)測模型，為

X^（0）（k+1）=X^（1）（k+1）-X^（1）（k）（11）

4. 對模型進(jìn)行可靠性檢驗(yàn)?；疑到y(tǒng)模型通常有三種檢驗(yàn)方法：殘差合格（相對誤差）、關(guān)聯(lián)合格、后驗(yàn)差合格，一般相對誤差檢驗(yàn)方法使用較為廣泛。其精度檢驗(yàn)等級見表1。

（二）殘差修正后的改進(jìn)模型

傳統(tǒng)GM（1，1）模型經(jīng)過可靠度檢驗(yàn)后，如果相對誤差比較大或關(guān)聯(lián)度不強(qiáng)，此時傳統(tǒng)GM（1，1）模型不能準(zhǔn)確用來預(yù)測，則需要對模型進(jìn)行殘差修正。然而殘差數(shù)據(jù)如果不滿足非負(fù)遞增的條件，直接使用GM（1，1）模型將會導(dǎo)致很大的誤差，從而使模型失效，需要先將原始?xì)埐顢?shù)據(jù)修正為非負(fù)遞增數(shù)據(jù)。

如果數(shù)列中有負(fù)值，需要進(jìn)行多次累加，但累加后不一定能達(dá)到目的;使用累加法有時即使獲得了非負(fù)數(shù)列，但數(shù)列不遞增，此時采用GM（1，1）模型也會導(dǎo)致很大的誤差。因此本文提出了一種解決此問題的方法。

設(shè)原來殘差數(shù)列為ε（0）（i），且含負(fù)值，其中b為數(shù)據(jù)列中數(shù)值最小的項(xiàng)，即

b=min（ε（0）（i））（12）

很明顯b是負(fù)值。可設(shè)a（j）=b，1≤j≤n.

設(shè)

ε′（0）（i）=ε（0）（i）+|b|=ε（0）-b，i=

1，2，…，n（13）

則可得到非負(fù)數(shù)列ε′（0）（i）。然后經(jīng)過累加得到

ε（1）（i）= ε′（0）（k）（14）

數(shù)列ε（1）（i）雖然是非負(fù)的，但當(dāng)j>1時，由于ε′（0）（i）=ε（0）（i）-b=0，該數(shù)列并不是嚴(yán)格遞增，需要對數(shù)列進(jìn)行再次累加得到非負(fù)遞增數(shù)列，即

ε（2）（i）= ε（1）（k）（15）

以ε（2）（i）為基礎(chǔ)建立模型可得到預(yù)測值ε^（2）（i）

ε^（2）（i）=[ε（1）（1）-a/u]e-a（i-1）+a/u，i=1，2，…，n（16）

式中ε（1）（1）=ε（2）（1）

可以根據(jù)對初始值的改進(jìn)算法，將初始值ε（1）（1）改進(jìn)后得

ε^（2）（i）=[ε（1）（1）+θ-a/u]e-a（i-1）+a/u，i=1，2，…，n（17）

式中θ= -x（0）（1）+ ，p= ε（1）（k）e-a（k-1），q=（1-ea）

獲得預(yù)測值ε^（2）（i）后仍需要經(jīng)過累減和降值還原

ε^（1）（i）=ε^（2）（i）-ε^（2）（i-1）ε^（1）（1）=ε^（2）（1）i=2，3，…，n（18）

ε^（0 ）（i）=ε^（1）（i）-ε^（1）（i-1）ε^（0）（1）=ε^（1）（1）i=2，3，…，n（19）

ε^（i）=ε^（0）（i）-|b|=ε^（0）（i）+b，i=1，2，…，n（20）

最后得到的ε^（i）就是原來數(shù)列ε^（0）（i）的預(yù)測值。

三、案例分析

以2009～2013年居民消費(fèi)價格指數(shù)為相關(guān)數(shù)據(jù)，建立火災(zāi)損失的GM（1，1）模型以及殘差改進(jìn)后的GM（1，1）模型，并檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷目煽啃?，然后利用改進(jìn)后的模型預(yù)測未來三年的相關(guān)數(shù)據(jù)。原始數(shù)據(jù)如表2所示。

（一）居民消費(fèi)價格指數(shù)普通預(yù)測模型

根據(jù)上面公式，可以計算得到a=-0.0351，u=-0.0021，則得到時間響應(yīng)函數(shù)為

x^（1）（k+1）=502.46e0.0351k+16.54，k=0，1，…，n

則根據(jù)模型可得模擬值及殘差值如表3所示。

經(jīng)檢驗(yàn)平均相對誤差為α=0.21，根據(jù)表1可得，該模型不合格，因此無法作為預(yù)測模型進(jìn)行預(yù)測。

（二）居民消費(fèi)價格指數(shù)的改進(jìn)預(yù)測模型

由表3可以看出，普通GM（1，1）模型模擬出的數(shù)值與真實(shí)值之間的殘差值較大，因此有必要對殘差值進(jìn)行改進(jìn)，縮小與真實(shí)值之間差距。此時，可以把殘差值作為初始值，進(jìn)行二次GM（1，1）模型的建立。殘差數(shù)據(jù)如表4所示。

根據(jù)公式（12）至（20），可以得到殘差值GM（1，1）模型的a=-0.0051，u=-0.011，則

ε^（1）（i+1）=0.321e0.0051i+0.5，i=1，2，…，n

結(jié)合前文中的預(yù)測模型，可得殘差修正后的模型如下：

x^（1）（k+1）=502.46e0.0351k+0.321e0.0051i+17.04，k=1，2，…，n

由殘差修正后的模型可得新模擬值與殘差值如表5所示。

經(jīng)檢驗(yàn)平均相對誤差為α=0.0072，根據(jù)表1可得，該模型符合標(biāo)準(zhǔn)，可以進(jìn)行預(yù)測。則2014～2016年居民消費(fèi)價格指數(shù)分別為602.3、612.5、618.7。2009～2013年居民消費(fèi)價格指數(shù)普通GM（1，1）模型模擬值與改進(jìn)后模型模擬值比較，如圖1所示。

四、 結(jié)論

如果數(shù)據(jù)波動較大時，普通灰色模型不能準(zhǔn)確模擬真實(shí)值，此時為進(jìn)一步提高精度，可以進(jìn)行殘差修正，發(fā)現(xiàn)殘差模修正過的模型模擬出的值與真實(shí)值更加接近，經(jīng)檢驗(yàn)改進(jìn)后的GM（1，1）模型驗(yàn)證結(jié)果較好，且對居民消費(fèi)價格指數(shù)的預(yù)測精度相對較高，因此可用來預(yù)測未來幾年的居民消費(fèi)價格指數(shù)。從預(yù)測結(jié)果可以看出，居民消費(fèi)價格指數(shù)在不斷上漲，說明物價在不斷上漲，如果政府不采取合理措施及時控制居民消費(fèi)價格指數(shù)的上漲，將很大可能導(dǎo)致通貨膨脹。

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（作者單位：河南理工大學(xué)能源科學(xué)與工程學(xué)院）