從兩道例題談起

傅雨春

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，為了加深對(duì)所學(xué)過的概念、公式、定理等基礎(chǔ)知識(shí)與相關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法的理解掌握，離不開對(duì)例題的學(xué)習(xí)與思考。那么，面對(duì)一道例題，是跟隨著教材中的思路與解答過程進(jìn)行簡(jiǎn)單地分析講解，還是帶著思考的眼光對(duì)問題進(jìn)行一番打量審視.不同的教學(xué)取向，將會(huì)得到不同的效果。

本文僅以蘇教版《必修5》第44-45頁(yè)中的兩道例題為例，為在例題教學(xué)時(shí)，提出幾點(diǎn)建議，供參考。

例1.某劇場(chǎng)有20排座位，后一排比前一排多2個(gè)座位，最后一排有60個(gè)座位，這個(gè)劇場(chǎng)共有多少個(gè)座位？

這是第44頁(yè)中的一道例題，教材中提供了如下一種解答：

解：這個(gè)劇場(chǎng)個(gè)排座位數(shù)組成等差數(shù)列{an}，其中公差d=2，項(xiàng)數(shù)n=20，且第20項(xiàng)是a20=60。

由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得60=a1+（20-1）×2，所以a1=22。

答：這個(gè)劇場(chǎng)共有820座位。

從上述解答過程可以看出，這道例題是為了考查等差數(shù)列的求和公式的應(yīng)用而安排的。

大家知道，等差數(shù)列的求和公式有兩種表達(dá)形式，即

顯然，教材中給出這種解法是基于公式①來思考的。因?yàn)樵诒绢}中，是利用公式①來求劇場(chǎng)的座位總數(shù)，其中的n=20，a20=60，只有a1未知，為此，在公差d=2時(shí)，利用an=a1+（n-1）d求出a1。

上述解法，不僅省去了直接求出a1的運(yùn)算過程，簡(jiǎn)化了運(yùn)算過程，還體現(xiàn)了推導(dǎo)等差數(shù)列前n和公式時(shí)所用的倒序相加的思想方法。

在教學(xué)過程中，若能引導(dǎo)學(xué)生這樣去審視本題，則對(duì)這個(gè)例題的理解就會(huì)更加深刻。

再看第45頁(yè)中的一道例題：

例2.某種卷筒衛(wèi)生紙繞在盤上，空盤時(shí)盤芯直徑40mm，滿盤時(shí)直徑120mm（如圖），已知衛(wèi)生紙的厚度為0.1mm，問：滿盤時(shí)衛(wèi)生紙的總長(zhǎng)度大約是多少米（精確到1m）？

對(duì)于本題，教材中給出的解法是：

解：衛(wèi)生紙的厚度為0.1mm，可以把它繞在盤上的衛(wèi)生紙近似地看做是一組同心圓，然后分別計(jì)算各圓的周長(zhǎng)，再求總和。

由內(nèi)向外各圈的半徑分別為20.05，20.15，…，59.95，

因此，各圈的周長(zhǎng)分別為40.1π，40.3π，…，119.9π，

答：滿盤時(shí)衛(wèi)生紙的長(zhǎng)度約為100m。

不難看出，本題是一個(gè)與我們的日常生活密切關(guān)聯(lián)，且饒有趣味的實(shí)際問題。教材中的呈現(xiàn)的解法，顯然是將思維固化在等差數(shù)列的視角上。其解題的思維分析以及計(jì)算過程顯得不是那么輕松。是否有更加簡(jiǎn)明一些的求解方法？回答也是肯定的！其前提是，不要固化我們的思維視角，即未必把問題非看成數(shù)列問題。這樣，就可以從把問題視為立體幾何中的等體積問題來求解，請(qǐng)看以下方法：

設(shè)卷筒衛(wèi)生紙的高度為hmm，衛(wèi)生紙的總長(zhǎng)為xmm。

顯然，卷筒衛(wèi)生紙的體積等于衛(wèi)生紙拉伸舒展后的體積。

也即，滿盤時(shí)衛(wèi)生紙的長(zhǎng)度約為100m。

由上述解法，我們很快可以得出以下問題的一般性結(jié)論：

上述解法，由于思維視角不落窠臼，揭示了問題之本質(zhì)，從而使得問題的求解過程異常簡(jiǎn)潔明了，給人以耳目一新之感！

透過以上兩道例題的分析思考，我們不難得到以下對(duì)例題教學(xué)的幾點(diǎn)啟示：

其一，要清楚問題考查什么。

教材中例題的設(shè)計(jì)有不同的意圖。如果是新授課后的例題，一般是為了鞏固加深對(duì)所學(xué)過的概念、公式與定理等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)而安排的，如例1，考查的是理解知識(shí)與運(yùn)用知識(shí)的能力。這類例題一般難度不大，但可以從所學(xué)知識(shí)的不同變式去理解問題；但有的例題，也常常是綜合性的問題，既涉及基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，也可能牽涉到數(shù)學(xué)思想方法，如例2，這類例題所考查的是較綜合的分析問題與解決問題的能力。對(duì)于這類例題的學(xué)習(xí)理解，要注意不拘泥當(dāng)前所學(xué)的知識(shí)與方法的束縛，用聯(lián)系的視角看問題。

其二，要關(guān)注思路能否優(yōu)化。

一個(gè)數(shù)學(xué)問題往往可從不同的角度去審視理解，從而得到解決問題的不同思維路徑，而沿著不同的思維路徑所演繹出來的不同的問題求解方法，可以是迥然不同的，或迂回繁瑣，或明快簡(jiǎn)潔。鑒于此，在例題的學(xué)習(xí)中，要養(yǎng)成對(duì)同一道例題的不同思維路徑所達(dá)成的解題過程的繁簡(jiǎn)程度，進(jìn)行必要評(píng)估比較的習(xí)慣。從評(píng)估比較的過程中，發(fā)現(xiàn)優(yōu)劣、總結(jié)得失，達(dá)到增強(qiáng)優(yōu)化解決問題的思維視角意識(shí)，不斷積累解題的得失經(jīng)驗(yàn)，提高自己的數(shù)學(xué)思維水平。

其三，要考慮問題可否變通。

眾所周知，一個(gè)數(shù)學(xué)概念、公式與定理，可以有不同的變式。同樣，一個(gè)數(shù)學(xué)問題也可以做出各種各樣的變通，或轉(zhuǎn)換問題條件，看結(jié)論之變化；或保持結(jié)論不變，再搜尋應(yīng)具備的條件；或透過問題的特殊性，尋覓它的一般性等等?？傊?，在例題的學(xué)習(xí)過程中，重視對(duì)問題的各種可能的變通進(jìn)行一番思量探究，不但可以加深對(duì)所學(xué)例題的理解與內(nèi)化，還可以起到舉一反三的作用，這對(duì)于加深理解掌握所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)技能以及數(shù)學(xué)思想方法，無疑是大有裨益的。

編輯 魯翠紅