初中數(shù)學(xué)解題小結(jié)指導(dǎo)

陳吉標(biāo)

摘 要：數(shù)學(xué)解題小結(jié)指學(xué)生解題后對(duì)題型特征、問(wèn)題內(nèi)涵、思維陷阱、解題方法等有關(guān)內(nèi)容進(jìn)行分析與梳理的學(xué)習(xí)活動(dòng).引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題小結(jié)，作為一種學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)，它既是貫徹“教會(huì)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)并掌握學(xué)習(xí)”的課程教育理念的有效方式，又是大幅度提高課程學(xué)習(xí)質(zhì)量的重要手段.

關(guān)鍵詞：解題小結(jié)；題型歸類(lèi)；辨識(shí)題結(jié)；拓展變換；方法梳理

課程教學(xué)的育人功效是促進(jìn)學(xué)生思想的形成、情感的孕育、思維的發(fā)展、能力的提升等，而教會(huì)學(xué)生解決與課程知識(shí)有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題則是課程教學(xué)的基準(zhǔn)點(diǎn) [1 ].換句話(huà)說(shuō)，課程教學(xué)必須教會(huì)學(xué)生解題.這不僅因?yàn)榭荚嚦煽?jī)決定著學(xué)生的學(xué)業(yè)前途，更重要的是通過(guò)考察學(xué)生的解題來(lái)評(píng)價(jià)課程教學(xué)在知識(shí)與技能目標(biāo)方面的落實(shí)程度.

數(shù)學(xué)解題小結(jié)是指學(xué)生解題后對(duì)題型特征、問(wèn)題內(nèi)涵、思維陷阱、解題方法等有關(guān)內(nèi)容進(jìn)行分析與梳理的學(xué)習(xí)活動(dòng).本文就初中數(shù)學(xué)課程教學(xué)如何指導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展解題小結(jié)，談?wù)剛€(gè)人的實(shí)踐與認(rèn)識(shí).

1 題型特征歸類(lèi)

題型特征，指題目在知識(shí)的適用范疇或數(shù)學(xué)方法運(yùn)用等方面有著顯性或潛在的特點(diǎn).如題目“已知A=a4-2a2+1，B=-3a4-4a2+2，計(jì)算3A-B”， 就知識(shí)的適用范疇來(lái)說(shuō)，其特征就是代數(shù)多項(xiàng)式的加減運(yùn)算.就運(yùn)算方法而言，其特征就是“合并同類(lèi)項(xiàng)”.

按題目的構(gòu)成背景，數(shù)學(xué)題目大致可以分為兩大類(lèi)，第一類(lèi)是數(shù)學(xué)知識(shí)問(wèn)題，用于直接考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)與方法的運(yùn)用能力.第二類(lèi)是數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題，即數(shù)學(xué)知識(shí)在實(shí)際生活中的應(yīng)用問(wèn)題.

在數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)中，學(xué)生所形成的知識(shí)結(jié)構(gòu)中數(shù)學(xué)符號(hào)或圖形為主要結(jié)構(gòu)元素.如有關(guān)一元二次方程的知識(shí)結(jié)構(gòu)：方程的一般化形式為ax2+bx+c=0（a≠0），對(duì)于解方程方法，如果b=0，采用開(kāi)平方方法，如果c=0，采用分解因式方法，如果b、c均不等于0，一般用公式法，即x=■.雖然學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)具有這樣的建構(gòu)特點(diǎn)的認(rèn)知，似乎有助于辨識(shí)第一類(lèi)數(shù)學(xué)題的特征，但是由于問(wèn)題形式的變化，要迅速準(zhǔn)確的判定每題的知識(shí)適用范疇或方法運(yùn)用還須經(jīng)歷一個(gè)分析與歸類(lèi)的解題反思過(guò)程.如題目“已知2+■是方程x2-4x+c=0的一個(gè)根，求方程的另一個(gè)根及c的值”，它似乎屬于解一元二次方程，但其中又牽涉到“兩數(shù)和的平方展開(kāi)、代數(shù)多項(xiàng)式加減、解一元一次方程”等有關(guān)問(wèn)題，如果沒(méi)有經(jīng)歷其實(shí)際解題過(guò)程且進(jìn)行解題后的小結(jié)，學(xué)生就難以認(rèn)識(shí)本題的綜合特征.

題型特征歸類(lèi)的重點(diǎn)在于第二類(lèi)問(wèn)題.這類(lèi)問(wèn)題的構(gòu)成背景是實(shí)際生活，有的問(wèn)題會(huì)給出某種數(shù)學(xué)知識(shí)模型，有的則沒(méi)有.如題目“一個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)7cm，一條直角邊比另一條直角邊長(zhǎng)1cm，求兩條直角邊的長(zhǎng)度”，它屬于什么知識(shí)或運(yùn)用什么方法的問(wèn)題，只有經(jīng)過(guò)解題并反思的思維活動(dòng)方能明確.

對(duì)于題型特征歸類(lèi)，不僅要分析當(dāng)前所做的題目，還要分析與當(dāng)前類(lèi)似的問(wèn)題，既要尋找它們的共同點(diǎn)，又要辨識(shí)它們的不同點(diǎn).如2（x+3）2=x（x+3）與（x+1）2-3（x+1）+2=0，共同的解法是先轉(zhuǎn)化為一元二次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式再解方程，不同點(diǎn)是后者可以化為y2-3y+2=0，前者則不能.

2 辨識(shí)題眼題結(jié)

“題眼”指題目文字中的關(guān)鍵詞或體現(xiàn)某種數(shù)學(xué)特征的文句.如題目：一件夾克衫按成本價(jià)提高50%后標(biāo)價(jià)，后因季節(jié)關(guān)系按標(biāo)價(jià)的8折出售，每件以60元賣(mài)出，這批夾克每件的成本價(jià)是多少元？其中“成本價(jià)”就是本題關(guān)鍵詞，假設(shè)成本價(jià)為x元，出售標(biāo)價(jià)就是x+50%x元，賣(mài)出價(jià)則是（x+50%x）×0.8元.顯然，在本題有關(guān)的問(wèn)題分析中，都與“成本價(jià)”有關(guān).再如題目：某汽車(chē)在公路上行駛，它行駛的路程s（m）和時(shí)間t（s）之間的關(guān)系為s=10t+3t2 ，那么行駛200m需要多長(zhǎng)時(shí)間？其中 “它行駛的路程s（m）和時(shí)間t（s）之間的關(guān)系為s=10t+3t2”的文句就是“題眼”，它表征本題屬于解一元二次方程的應(yīng)用問(wèn)題.

所謂“題結(jié)”，指解答題目的困惑或障礙所在.“題結(jié)”往往體現(xiàn)為方法或技巧問(wèn)題，如幾何證明題的補(bǔ)作輔助線(xiàn)，代數(shù)問(wèn)題中數(shù)學(xué)形式的巧妙轉(zhuǎn)換等.認(rèn)識(shí)“題結(jié)”，往往表現(xiàn)在分析題意后突然會(huì)覺(jué)得“束手無(wú)策”.解開(kāi)“題結(jié)”，就思維過(guò)程而言，就是指思維方向的突破或思維角度的變換.如題目：一次會(huì)議上，每?jī)蓚€(gè)參加會(huì)議的人都互相握了一次手，有人統(tǒng)計(jì)一共握了66次手，這次到會(huì)的人數(shù)是多少？“互相握手”是本題的“題眼”，本題應(yīng)從互相握手的特點(diǎn)來(lái)分析.假設(shè)到會(huì)人數(shù)為x，那么第一個(gè)人與其他人握手的次數(shù)為（x-1）次，第二、三……等每個(gè)人的握手次數(shù)分別為（x-2），（x-3）……（x-x+1）次，總次數(shù)為66=（x-1）+（x-2）+（x-3）……+（x-x+1）.

本題的“題結(jié)”就是右邊多項(xiàng)式的合并運(yùn)算.它牽涉到的方法或技能就是將右邊多項(xiàng)式之和轉(zhuǎn)化為某種確定的代數(shù)形式.如果認(rèn)真分析，右邊多項(xiàng)式為1+2+3+……（x-1），它屬于連續(xù)自然數(shù)之和，依據(jù)連續(xù)自然數(shù)之和的計(jì)算公式■，則前面等式可以寫(xiě)為■=66，顯然，它是解一元二次方程的問(wèn)題.

辨識(shí)“題眼”有助于提升學(xué)生的讀題與審題能力，較好地把握題目的內(nèi)涵，從而能迅速地將當(dāng)前問(wèn)題納入自己原有的知識(shí)與方法體系結(jié)構(gòu)并形成正確地解題思路或方法.辨識(shí)“題結(jié)”有助于促進(jìn)學(xué)生在解題方面的類(lèi)化能力，如體育項(xiàng)目的循環(huán)賽場(chǎng)數(shù)統(tǒng)計(jì)、班級(jí)學(xué)生座位安排形式統(tǒng)計(jì)等蘊(yùn)含組合性質(zhì)的問(wèn)題，都可以類(lèi)化為“互相握手”問(wèn)題來(lái)解決.

3 問(wèn)題拓展變換

引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展解題小結(jié)的思維活動(dòng)目的在于促進(jìn)學(xué)生達(dá)到“做一題通一類(lèi)”的解題效果.應(yīng)該說(shuō)，對(duì)于某一數(shù)學(xué)問(wèn)題模型，它所牽涉到的知識(shí)與方法內(nèi)容，大體上是確定的，但它卻可以從不同的角度來(lái)設(shè)計(jì)不同的問(wèn)題.如下面題目：

如圖1所示，一個(gè)圓形噴水池的中央豎直安裝了一個(gè)柱形裝置OA，A處的噴頭向外噴水，水流在各個(gè)方向沿形狀相同的拋物線(xiàn)噴出的高度y（m）與水平距離x（m）之間的關(guān)系式是y=-x2+2x+■（x>0），柱子OA的高度為多少米？若不計(jì)其它因素，水池的半徑為多少米，才能使噴出的水流不至于落在池外？

本題屬于二次函數(shù)知識(shí)與圖像方法在生活中的應(yīng)用，所牽涉到的知識(shí)主要有y=ax2+bx+c頂點(diǎn)坐標(biāo)、圖像的開(kāi)口方向、求圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等.就這個(gè)生活背景問(wèn)題，它可以從如下不同角度來(lái)設(shè)計(jì)問(wèn)題：

（1）原題設(shè)計(jì)思路：給出具體的函數(shù)形式，求圖像與x、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）變換設(shè)計(jì)思路①：給出具體的函數(shù)形式，求水柱最高點(diǎn)所形成的半徑；

（3）變換設(shè)計(jì)思路②：給出柱子OA高度值與圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)值，求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；

（4）變換設(shè)計(jì)思路③：給出拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)值與柱子OA的高度值，求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；

（5）變換設(shè)計(jì)思路④：給出噴頭高度值和噴頭與圖像在x軸交點(diǎn)的距離值，求水柱最高點(diǎn)所形成的半徑.

對(duì)于命題者，他可以從不同角度來(lái)設(shè)計(jì)問(wèn)題，然而對(duì)于做題者，他也可以從不同的角度來(lái)拓展或變換原題的問(wèn)題情境.做題者對(duì)原題的拓展與變換過(guò)程，實(shí)質(zhì)上是將已構(gòu)建的概念性知識(shí)與方法再次具體化，以致形成更豐富且更深刻的認(rèn)知結(jié)構(gòu).因此，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)原題嘗試拓展變換并構(gòu)建相應(yīng)的解題思路，不僅可以促進(jìn)學(xué)生深刻把握原題的內(nèi)涵，而且還可以促進(jìn)學(xué)生貫通原題中牽涉到的數(shù)學(xué)知識(shí)與方法，從而收到“做一題通一類(lèi)”的解題效益.當(dāng)然，就初中學(xué)生，針對(duì)原題進(jìn)行拓展變換，在思維方面，初始階段會(huì)呈現(xiàn)為能力欠缺，但隨著訓(xùn)練次數(shù)的增加，這種能力就會(huì)逐步提升，一旦形成了這種能力與習(xí)慣，那就達(dá)到了掌握學(xué)習(xí)方法的較高層次.

4 解題方法梳理

解題方法梳理，就是指歸納或總結(jié)某類(lèi)題型的解題思路與方法.問(wèn)題拓展變換的思維活動(dòng)為題型類(lèi)化提供了豐富的素材，如果說(shuō)拓展變換是“做一題通一類(lèi)”的“發(fā)酵”過(guò)程，那么解題方法梳理則是形成解題能力的“提煉”過(guò)程.沒(méi)有“發(fā)酵”，何有“提煉”，前者是后者的具體化，后者是前者的概括化.從思維活動(dòng)特征而言，前者是以知識(shí)內(nèi)涵為出發(fā)點(diǎn)，而后者則是以技能方法為落腳點(diǎn)，知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力就是在這兩個(gè)過(guò)程中得以實(shí)現(xiàn).

解題方法梳理，首先是分別列出原題和拓展變換后問(wèn)題的解題思路或方法.如上面列舉的“噴水池”問(wèn)題：

原題：求OA高度，令x=0，由函數(shù)求y值；求水池半徑，令y=0，解一元二次方程；

變換①：求水柱最高點(diǎn)所形成的半徑，依據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式計(jì)算；

變換②：設(shè)交點(diǎn)式函數(shù)y=（x-x1）（x-x2），代入A和圖像與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)值，解方程組；

變換③：設(shè)頂點(diǎn)式函數(shù)y=a（x-k）2+h， 代入頂點(diǎn)坐標(biāo)值與A點(diǎn)高度值，解方程組；

變換④：依據(jù)直角三角形邊長(zhǎng)關(guān)系求出圖像與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)值，應(yīng)用變換②的解題方法.

其次是歸納或梳理關(guān)于解答二次函數(shù)問(wèn)題的通用方法.對(duì)于上面問(wèn)題的思路與方法，它可以歸納為以下通用思路或方法：

（1）已知函數(shù)而求圖像與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：令x=0或令y=0，解函數(shù)方程；

（2）已知函數(shù)而求拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，依據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求解；

（3）已知圖像中的某兩點(diǎn)坐標(biāo)求函數(shù)形式，設(shè)交點(diǎn)式函數(shù)y=（x-x1）（x-x2），代入兩坐標(biāo)值后解方程；

（4）已知圖像頂點(diǎn)坐標(biāo)求函數(shù)形式，設(shè)頂點(diǎn)式函數(shù)y=a（x-k）2+h，再結(jié)合有關(guān)條件求解.

通過(guò)這種歸納，學(xué)生基本上掌握了解決二次函數(shù)問(wèn)題的基本思路與方法.顯然，它與前面的拓展變換的思維活動(dòng)有關(guān).其中內(nèi)容越豐富，歸納就越全面，對(duì)知識(shí)與方法的建構(gòu)就越深刻，解題能力就越強(qiáng).不難看出，上面未歸納出一般式y(tǒng)=ax2+bx+c的應(yīng)用情形就是一種欠缺.可見(jiàn)，引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展對(duì)問(wèn)題的拓展變換是數(shù)學(xué)解題指導(dǎo)中的重頭戲.

引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題小結(jié)，作為一種學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)，它既是貫徹“教會(huì)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)并掌握學(xué)習(xí)”的課程教育理念的有效方式，又是大面積提高課程學(xué)習(xí)質(zhì)量的重要手段.

參考文獻(xiàn)：

[1] 崔允漷，有效教學(xué)[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2009.