凸函數(shù)的幾個(gè)定義及關(guān)系

程雙青

摘要：凸函數(shù)是一重要的概念，它在許多學(xué)科里有重要的應(yīng)用，在研究生入學(xué)試題中，也時(shí)有涉及.本文主要是概述凸函數(shù)的幾種不同的定義及它們的關(guān)系.

關(guān)鍵詞：凸函數(shù)；嚴(yán)格凸函數(shù)；等價(jià)

1.凸函數(shù)幾種不同的定義

定義1.1.1（凸函數(shù)）設(shè)f為定義在區(qū)間I上的函數(shù)，若對(duì)I上的任意兩點(diǎn)x1，x2和任意實(shí)數(shù)λ∈（0，1），總有

f（λx1+（1-λ）x2）≤λf（x1）+（1-λ）f（x2）（1.1）

則稱f為I上的凸函數(shù).

如果（1.1）中不等式改為嚴(yán)格不等式，則相應(yīng)的函數(shù)稱為嚴(yán)格凸函數(shù)[1].

現(xiàn)代數(shù)學(xué)多數(shù)采用這種定義，除此之外，還有其他形式的定義.

定義1.1.2f（x）在區(qū)間I上有定義，f（x）稱為I上的凸函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)：x1，x2∈I，有

fx1+x22≤f（x1）+f（x2）2（1.2）

如果（1.2）式中不等式改成嚴(yán)格不等式便是嚴(yán)格凸函數(shù)[2].

定義1.1.3f（x）在區(qū)間I上有定義，f（x）稱為是凸函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)x1，x2，……，xn∈I有

fx1+x2+……xnn≤f（x1）+f（x2）+……+f（xn）n（1.3）

如果（1.3）式中不等式改成嚴(yán)格不等式便是嚴(yán)格凸函數(shù)的定義[2].

定義1.1.4f（x）在區(qū)間I上有定義，當(dāng)且僅當(dāng)曲線y=f（x）的切線恒保持在曲線以下，則稱f（x）為凸函數(shù).若除切點(diǎn)之外，切線嚴(yán)格保持在去線的下方，則稱f（x）為嚴(yán)格凸函數(shù)[3].

2.幾個(gè)定義的關(guān)系

定理2.1.1定義1.1.2與定義1.1.3等價(jià)

證明1.定義1.1.2定義1.1.3

這里采用反向歸納法，其要點(diǎn)是：（1）證明命題對(duì)于自然數(shù)的某個(gè)子序列成立；（2）證明命題當(dāng)n=k+1成立時(shí)，必對(duì)n=k也成立.

1由式（1.2）知式（1.3）當(dāng)n=2時(shí)成立，現(xiàn)證n=4時(shí)式（1.3）成立

事實(shí)上，x1，x2，x3，x4∈I，由式（1.2），我們有

fx1+x2+x3+x44=x1+x22+x3+x422

≤fx1+x22）+f（x3+x422

≤f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）4

此即式（1.3）對(duì)n=4成立，一般來(lái)說(shuō)，對(duì)任一自然數(shù)k，重復(fù)上面方法，應(yīng)用（1.2）式k次，可知

fx1+x2+……+x2k2k≤f（x1）+f（x2）+……+f（x2k）2k

這說(shuō)明式（1.3）對(duì)一切n=2k皆成立.

2[證明式（1.3）對(duì)n=k+1成立時(shí)，必對(duì)n=k也成立]記

A=x1+x2+……+xkk，則x1+x2+……+xk=kA，所以

A=x1+x2+……+xk+Ak+1

由式（1.3）對(duì)n=k+1成立，故

f（A）=fx1+x2+……+xk+Ak+1≤f（x1）+f（x2）+……+f（xk）+f（A）k+1

不等式兩邊同乘以k+1，減去f（A），最后除以k，我們可以得到

fx1+x2+……+xkk≤f（x1）+f（x2）+……+f（xk）k

此式表示（1.3）對(duì)n=k成立.

1.定義1.1.3定義1.1.2顯然

定理2.1.2若f（x）連續(xù)，則定義1.1.1、1.1.2、1.1.3等價(jià)

證明1（定義1.1.1定義1.1.2、1.1.3）在定義1中令λ=12，則由式（1.1）得fx1+x22=f[λx1+（1-λ）x2]

≤λf（x1）+（1-λ）f（x2）

=f（x1）+f（x2）2（x1，x2∈I）

此式表明（1.2）式成立，所以定義1.1.1蘊(yùn)涵定義1.1.2，而定義1.1.2、1.1.3等價(jià)，故定義1.1.1也蘊(yùn)涵定義1.1.3

2（定義1.1.2、1.1.3定義1.1.1）設(shè)x1，x2∈I為任意兩點(diǎn)，為了證明式（1.1）對(duì)于任意實(shí)數(shù)λ∈（0，1）成立，我們先來(lái)證明：式（1.1）當(dāng)λ為有理數(shù)時(shí)則λ=mn∈（0，1），（m

f[λx1+（1-λ）x2]=fmnx1+1-mnx2

=fmx1+（n-m）x2n

=fx1+x1+…+x1mn+x2+x2+…x2n-mn、

≤f（x1）+f（x1）+…f（x1）mn+f（x2）+f（x2）+…+f（x2）n-mn

=mf（x1）+（n-m）f（x2）n

=λf（x1）+（1-λ）f（x2）

λ為有理數(shù)的情況獲證.

若λ∈（0，1）為無(wú)理數(shù)，則存在有理數(shù)λn∈（0，1），（n=1，2，…）使得λn→λ（當(dāng)n→∞時(shí)）

從而由f（x）的連續(xù)性

f[λx1+（1-λ）x2]=f{limn→∞[λnx1+（1-λn）x2]}

=limn→∞f[λnx1+（1-λn）f（x2）]

對(duì)于有理數(shù)λn∈（0，1），（n=1，2，…），上面已證明有

f[λnx1+（1-λn）x2]≤λnf（x1）+（1-λn）f（x2）

此式中令n→∞取極限，聯(lián)系上式，有

f[λx1+（1-λ）x2]≤λf（x1）+（1-λ）f（x2）

即式（1.1）對(duì)任意無(wú)理數(shù)也成立λ∈（0，1）也成立.

這就證明了定義1.1.2、1.1.3蘊(yùn)涵定義1.1.1.

注上述證明里可以看到從定義1.1.1定義1.1.2、1.1.3無(wú)需連續(xù)性，定義1.1.2、1.1.3定

義1.1.1才需要連續(xù)性，可見(jiàn)定義1.1.1強(qiáng)于定義1.1.2、1.1.3.

定理1.2.3若f（x）處處可導(dǎo)，則定義1.1.1，定義1.1.2，定義1.1.3，定義1.1.4等價(jià).（作者單位：西安汽車科技職業(yè)學(xué)院）

參考文獻(xiàn)：

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