一類切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性

摘 要：研究了一類切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性。主要介紹了對該切換系統(tǒng)設(shè)計了PI控制器，給出了系統(tǒng)全局漸近穩(wěn)定的充分條件，并給出了周期閉軌道存在的充分必要條件，同時討論了系統(tǒng)穩(wěn)定性的其他情況。最后的數(shù)值仿真驗證了結(jié)論的正確性。

關(guān)鍵詞：切換系統(tǒng)；PI控制器；漸近穩(wěn)定；周期閉軌道

引言

切換系統(tǒng)具有很廣泛的應(yīng)用背景，在機器人行走控制、車輛控制等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用。隨著科技的飛速發(fā)展，人們對切換系統(tǒng)越來越重視。

切換系統(tǒng)是混雜系統(tǒng)的一種，主要研究切換系統(tǒng)的建模、分析和控制等。目前切換系統(tǒng)的研究工作主要集中在穩(wěn)定性與鎮(zhèn)定性當(dāng)中，其他如優(yōu)化控制設(shè)計、能控性、能觀性等也有研究。切換系統(tǒng)由各子系統(tǒng)以及切換規(guī)律構(gòu)成，但它并不是由各子系統(tǒng)以及切換規(guī)律的簡單疊加。在切換系統(tǒng)中，子系統(tǒng)的穩(wěn)定性不等于整個系統(tǒng)的穩(wěn)定性，即使切換系統(tǒng)中的每個子系統(tǒng)均穩(wěn)定，但在不同的切換規(guī)則的作用下，整個系統(tǒng)最終可能不穩(wěn)定。反之，在某種切換規(guī)則的作用下，也可能出現(xiàn)每個子系統(tǒng)都不穩(wěn)定但整個系統(tǒng)是穩(wěn)定的情形。

文章研究了一類線性切換系統(tǒng)，在該系統(tǒng)中其平衡點唯一，通過設(shè)計PI控制器使整個切換系統(tǒng)全局漸近穩(wěn)定，并對控制器參數(shù)不同條件下系統(tǒng)中可能出現(xiàn)的周期閉軌道及局部穩(wěn)定等情形進行了討論。最后數(shù)值仿真驗證了理論的正確性。

1 預(yù)備知識

（Poincare-Bendixson準(zhǔn)則）考慮系統(tǒng)■=f（x）設(shè)M是平面內(nèi)的一個有界閉子集，使

（1）M不包含平衡點，或只包含一個平衡點，使雅克比矩陣[？墜f/？墜x]在該點有實部為正的特征根；（2）每條始于M的軌線在將來的所有時刻都保持在M內(nèi)，那么M包含系統(tǒng)的一個周期軌道。

（Bendixson準(zhǔn)則）如果在平面的簡單連通區(qū)域D內(nèi)，表達式？墜f1/？墜x1+？墜f2/？墜x2不總是為零，且符號不變，那么系統(tǒng)■=f（x）在D內(nèi)沒有周期閉軌道。

2 問題描述

考慮一類線性控制系統(tǒng)

■=Ax+Bu （1）

其中A=0 1-a -k，B=0b，D？奐R2是包含原點的定義域。k滿足k=g■，x1>dg■，x1？燮d，a、g1、g2為常數(shù)，b、d為正常數(shù)。

文章的控制目的是：設(shè)計一個控制器使切換系統(tǒng)穩(wěn)定到原點。

為達到控制目的，文章采用PI控制器，其控制規(guī)律為

u=-kIx1-kpx2 （2）

其中kI、kp為正常數(shù)。

將其帶入式（1）得到系統(tǒng)

（3）

系統(tǒng)的平衡點為O（0，0），在平衡點處對系統(tǒng)線性化以后得到

（4）

特征方程為

（5）

特征根為

（6）

下面分四種情況討論控制器參數(shù)不同條件下系統(tǒng)的穩(wěn)定性：

2.1 系統(tǒng)全局穩(wěn)定

（充分條件）使系統(tǒng)（1）全局漸近穩(wěn)定的充分條件是

（7）

證明：選取V=（bk■+a）x■■+x■■作為切換系統(tǒng)的備選公共李雅普諾夫函數(shù)。

當(dāng)滿足kI>max0，-■，V（x）為正定的，且

當(dāng)滿足kp>max0，-■，-■，在區(qū)域x1>d中，滿足bkp+g1>0時，■=-2（bk■+g1）x■■？燮0；在區(qū)域x1？燮d中，滿足bkp+g2>0時，■=-2（bk■+g■）x■■？燮0。當(dāng)且僅x2=0時，■=0取等號，所以切換系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。

又因當(dāng) 時， 徑向無界，所以切換系統(tǒng)是全局漸近穩(wěn)定的。

2.2 系統(tǒng)中存在同一周期閉軌道

在切換系統(tǒng)中存在同一周期閉軌道的充分必要條件是：kI>max0，-■，max-■，0

證明：（充分性）

對于系統(tǒng)（1），設(shè) ，其中

V=（bkI+a）x■■+x■■，c>0。顯然M是有界閉集，且只包含一個平衡點O（0，0）。由于滿足0

下面證明每條始于M的軌線都將保持在M中。

圖1 系統(tǒng)軌線有界示意圖

設(shè)此時系統(tǒng)軌線如圖1所示，軌線沿ABCDE方向運動，由于kp>max-■，0，由（1）中的證明可知，在區(qū)域x1>d中，系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，從M中一點A（-d，h）出發(fā)的軌線必與x1=-d線下半軸有另一交點設(shè)為B（-d，h′），且必有h′

當(dāng)平衡點類型為結(jié)點時，對于任意給定的初始位置x0=[x10，x20]′，其解為

（8）

當(dāng)平衡點類型為焦點時，其解為

（9）

其中 。

由上述方程的解可知，無論平衡點的類型如何，因為|x1|？燮d有界，則t？燮t′（x1）有界，從而有|x2|？燮？濁（t′（x1））有界，其中t′、？濁是關(guān)于x1的函數(shù)。所以從B（-d，h'）出發(fā)的軌線在區(qū)域|x1|？燮d中必然與x1=d有另

一交點C，如果c選擇的足夠大，則弧線 。同理，可以證明

弧線 也在M區(qū)域中。

綜上，只要c選擇的足夠大，從M中一點A出發(fā)的軌線ABCDE在將來所有時刻都將保持在M中，由Poincare-Bendixson準(zhǔn)則可知，在M中必存在一個周期軌道。充分性得證。

（必要性）采用反證法。

假設(shè) ，則在區(qū)域|x1|？叟d中， =bkp+

g2，在區(qū)域|x1|

同號，且不總為0，由Bendixson準(zhǔn)則得，系統(tǒng)中不可能存在周期閉軌道。與假設(shè)相矛盾，所以結(jié)論成立。必要性得證。

2.3 系統(tǒng)局部穩(wěn)定

在這種情況下需滿足的條件為： 。

當(dāng)滿足這一條件時，可知在區(qū)域|x1|>d中，系統(tǒng)的特征根實部為正，是發(fā)散的，在區(qū)域|x1|？燮d中系統(tǒng)的特征根具有負實部，此時系統(tǒng)在平衡點附近區(qū)域中收斂。需要注意一點，即使從區(qū)域|x1|？燮d中出發(fā)的軌線也并非全都收斂到平衡點。

2.4 系統(tǒng)不穩(wěn)定

當(dāng)控制器參數(shù)選擇除上述三種情況下的其他情況時，系統(tǒng)都將不穩(wěn)定。

3 仿真

考慮系統(tǒng)：

，其中 。

由于本例中g(shù)1>g2，將不會出現(xiàn)局部穩(wěn)定的情形。當(dāng)參數(shù)取不同值時，其系統(tǒng)軌線如下圖所示。當(dāng)kp=6時，系統(tǒng)全局漸近穩(wěn)定；當(dāng)kp=3時，從任意初始位置出發(fā)的軌線最終收斂到同一周期閉軌道。

（1）kp=6，kI=2。 （2）kp=3，kI=2。

如果 ，將不會出現(xiàn)同一周期閉軌道的情形。當(dāng)

kp=3時，系統(tǒng)為局部穩(wěn)定。

（3）kp=9，kI=8。

4 結(jié)束語

文章研究了一類切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性，通過設(shè)計PI控制器并選擇合理的參數(shù)值可以確保切換系統(tǒng)全局漸近穩(wěn)定。并考慮了控制器參數(shù)不同條件下可能出現(xiàn)的周期閉軌道等其他情況，最后的數(shù)值仿真驗證了文章結(jié)論的正確性。

參考文獻

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作者簡介：喬繼輝（1990，7-），男，河南省鞏義市，廈門大學(xué)，自動化專業(yè)碩士，研究方向：控制理論與控制工程。