淺析高中數(shù)學(xué)立體幾何的學(xué)與考

張偉

高中的立體幾何部分是高考的重點(diǎn)內(nèi)容，知識(shí)分布在必修2立體幾何初步和理科選修2-1部分，高考的出題通常為選擇、填空大約10分，一道大題12分的分值分布，這個(gè)部分在高考的150分卷面分中，顯得尤為重要。那么，如何學(xué)好這個(gè)部分就是學(xué)生與老師要共同攻克的一個(gè)難題，爭取在高考中可以得到自己滿意的分?jǐn)?shù)。

研究省內(nèi)近幾年高考中立體幾何的出題情況，基本為幾個(gè)考點(diǎn)：（1）三視圖；（2）線面關(guān)系；（3）線面關(guān)系的證明；（4）求角問題； （5）體積計(jì)算等。針對(duì)這幾個(gè)常考點(diǎn)的問題分布，為了提高分?jǐn)?shù)，做出如下幾點(diǎn)應(yīng)對(duì)策略：

一、多觀察，建立空間模型，培養(yǎng)空間想象力

學(xué)好立體幾何最重要的一點(diǎn)就是要有立體模型的概念，多看周圍的立體幾何體，多動(dòng)手畫圖，從點(diǎn)到線到面到體，可以動(dòng)手制作一些簡單的模型幫助自己想象。例如，棱柱跟簡單的棱錐，通過對(duì)點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系觀察，培養(yǎng)自己的讀圖能力，以便于解決三視圖的問題，并能還原平面圖形為立體圖形。對(duì)幾何體線與面的位置關(guān)系能很好地理解，可以讓學(xué)生在做證明題的時(shí)候能合理說出證明的理論依據(jù)，從而使證明的時(shí)候不跑偏，可以通過合理的推理證明得出正確結(jié)論?？臻g想象力并不是漫無邊際的胡思亂想，而是以題設(shè)為根據(jù)，以幾何體為依托，這樣就會(huì)給空間想象力插上翱翔的翅膀。

二、熟識(shí)教材，夯實(shí)基礎(chǔ)

對(duì)于必修2的數(shù)學(xué)知識(shí)中，重要的就是線與面，面與面的位置關(guān)系證明，要源于教材，重視教材的證明過程、推理過程。立體幾何的證明是數(shù)學(xué)學(xué)科中任一分值也替代不了的。論證時(shí)，保持理論知識(shí)的嚴(yán)密性，對(duì)任何一個(gè)定義、定理及推論的理解要做到準(zhǔn)確無誤。符號(hào)表示與定理完全一致，定理的所有條件都具備了，才能推出相關(guān)結(jié)論。切忌條件不全就下結(jié)論。其次，在論證問題時(shí)，思考應(yīng)多用分析法，即逐步找到結(jié)論成立的充分條件，向已知靠攏，然后用綜合法（“推出法”）形式寫出運(yùn)算部分必須要熟記的公式，比如求向量法，求向量成角的公式，這些都要通過不停地訓(xùn)練才能使計(jì)算有質(zhì)有量。

三、“轉(zhuǎn)化”思想的應(yīng)用

我個(gè)人覺得，解決立體幾何的問題主要是充分運(yùn)用“轉(zhuǎn)化”這種數(shù)學(xué)思想，要明確在轉(zhuǎn)化過程中什么變了，什么沒變，有什么聯(lián)系，這是非常關(guān)鍵的。例如，兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線的夾角；斜線與平面所成的角轉(zhuǎn)化為直線與直線所成的角，即斜線與斜線在該平面內(nèi)的射影所成的角。這些問題可以采用向量進(jìn)行解決，可以通過建立直角坐標(biāo)系后，用向量公式進(jìn)行求解線線夾角，線面角可以轉(zhuǎn)化為線與法向量夾角的余角。

面和面平行可以轉(zhuǎn)化為線面平行，線面平行又可轉(zhuǎn)化為線線平行。而線線平行又可以由線面平行或面面平行得到，它們之間可以相互轉(zhuǎn)化。這些證明如果直接法不是很熟悉，可以轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算。垂直關(guān)系中，面面垂直可以轉(zhuǎn)化為線面垂直，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線線垂直。向量與向量的點(diǎn)乘為0，可以說明兩條向量關(guān)系為垂直關(guān)系，那么這樣轉(zhuǎn)化之后，就可以很容易解決垂直問題。

三垂線定理可以把平面內(nèi)的兩條直線垂直轉(zhuǎn)化為空間的兩條直線垂直，而三垂線逆定理可以把空間的兩條直線垂直轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)的兩條直線垂直。

以上這些都是數(shù)學(xué)思想中轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，通過轉(zhuǎn)化可以使問題得以簡化。在數(shù)學(xué)教材中，理科教學(xué)更多傾向于坐標(biāo)系建系后對(duì)問題的解決。

四、總結(jié)規(guī)律，規(guī)范訓(xùn)練

立體幾何解題過程中常有明顯的規(guī)律性。例如，證明平行的時(shí)候，中點(diǎn)多找中位線，找對(duì)應(yīng)邊成比例問題。證明垂直的時(shí)候，多可以找等腰或者等邊三角形的中點(diǎn)做高問題，求角先定平面角、三角形去解決，正余弦定理、三角定義常用，若余弦值為負(fù)值，異面、線面取銳角。求距離的時(shí)候，多是可以考慮直接找點(diǎn)到面的垂線段長短，或者可以用等體積問題來求幾何體的高。

要重視規(guī)范性的訓(xùn)練與寫法，高考中反映的這方面問題十分嚴(yán)重，不少考生對(duì)做、證、求三個(gè)環(huán)節(jié)交待不清，表達(dá)不夠規(guī)范、嚴(yán)謹(jǐn)，因果關(guān)系不充分，圖形中各元素關(guān)系理解錯(cuò)誤，符號(hào)語言不會(huì)運(yùn)用等。這就要求學(xué)生在平時(shí)養(yǎng)成良好的答題習(xí)慣，具體來講就是按課本上例題的答題格式、步驟、推理過程等一步步把題目演算出來。答題的規(guī)范性在數(shù)學(xué)的每一部分，立體幾何是高考中的重要部分之一，只要認(rèn)真去做就一定會(huì)有收獲。

編輯 孫玲娟