《九章算術(shù)》中的二元一次方方程組

王慧

大自然充滿(mǎn)了未知，但人類(lèi)用智慧架起了一座座從已知通向未知的橋粱，構(gòu)筑了燦爛的科學(xué)文化.線性方程組及其求解，就是橋梁之一.

代數(shù)學(xué)發(fā)展的一個(gè)主要方向就是方程理論.自埃及祭司阿莫斯用象形文字寫(xiě)下史上第一個(gè)一元一次方程后，相關(guān)理論研究逐漸向兩個(gè)方向延伸：增大未知數(shù)的次數(shù)，衍生出一元高次方程理論：增加未知項(xiàng)的個(gè)數(shù)，創(chuàng)造了線性方程組理論.值得驕傲的是，早在《九章算術(shù)》成書(shū)時(shí)代，中國(guó)古人已對(duì)較為復(fù)雜的線性方程組問(wèn)題展開(kāi)了研究，而西方的相關(guān)研究直至17世紀(jì)尚處于初級(jí)階段.

1.中國(guó)古代的線性方程組，

同學(xué)們從教科書(shū)上學(xué)到的“方程”術(shù)語(yǔ)源于英文Equation之翻譯（清代數(shù)學(xué)家李善蘭首澤），然而中國(guó)古代數(shù)學(xué)中的“方程”并非現(xiàn)代“含有未知數(shù)的等式”之含義，據(jù)成書(shū)早于《九章算術(shù)》的江陵張家山竹簡(jiǎn)《算數(shù)書(shū)》記載，“方程”是由“程禾”算法發(fā)展而來(lái)的.“程禾”就是考核糧食作物的產(chǎn)量.在《九章算術(shù)》的“方程”章中，其前六題皆是測(cè)算糧食產(chǎn)量問(wèn)題，如第一題：

今有上禾（上等稻）三秉（捆），中禾二秉，下禾一秉，實(shí)（谷子）三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實(shí)三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實(shí)二十六斗，上、中、下禾一秉各幾何？

劉徽在《九章算術(shù)》“方程”章開(kāi)篇對(duì)“方程”詮釋道：

程，課程也.群物總雜，各列有數(shù)，總言其實(shí)，令每行為率，二物者再程，三物者三程，皆如物數(shù)程之，并列為行，故謂之方程.

其中“數(shù)”乃群物之?dāng)?shù)，即諸未知項(xiàng)的系數(shù)，“實(shí)”相當(dāng)于常數(shù)項(xiàng)，“總”則暗示了等量關(guān)系，因而“方程”的每行都可以看作一個(gè)多元一次方程，“方程”各行聯(lián)立起來(lái)就組成了一個(gè)線性方程組.因此，中國(guó)古代的“方程”就是現(xiàn)在的線性方程組.

其他國(guó)家或民族給出聯(lián)立一次方程組的解法比中國(guó)晚不少年，如在印度最早出現(xiàn)在婆羅摩笈多（598-660）的著作《婆羅摩修正體系》之中，而歐洲最早提出三元一次方程組解法者是法國(guó)數(shù)學(xué)家布丟（1485-1572）.

2.《九章算術(shù)》中的二元一次方程組.

《九章算術(shù)》“方程”章中共計(jì)18道題目，其中關(guān)于二元一次方程組的有8道題，其中一題就是典型的二元一次方程組：

今有上禾七秉，損實(shí)一斗，益之下禾二秉，而實(shí)一十斗；下禾八秉，益實(shí)一斗與上禾二秉，而實(shí)一十斗.上、下禾實(shí)一秉各幾何？ 這里的“損實(shí)”就是減去，“益實(shí)”就是加上，故而“益實(shí)”和“損實(shí)”是一對(duì)具有相反意義的概念.同時(shí)在“術(shù)”中還給出移項(xiàng)的概念.

在《九章算術(shù)》中，多是采用分離系數(shù)法表示線性方程組，這相當(dāng)于現(xiàn)在的矩陣表示（線性方程組系數(shù)用數(shù)表表示的形式）.而解線性方程組所使用的直除法，與矩陣初等變換一致（交換兩行位置，某行乘以非零數(shù)，兩行相加減）.另求解線性方程組時(shí)中國(guó)古人還運(yùn)用了正負(fù)數(shù)的乘除法，這是世界數(shù)學(xué)史上的一項(xiàng)重大成就.盡管丟番圖在《算術(shù)》中，給出題目“已知兩數(shù)之和為100，之差為40，求兩數(shù)”，但在西方直到17世紀(jì)才由萊布尼茨提出完整的線性方程組解法法則.

此外，我國(guó)古典數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》《張丘建算經(jīng)》《數(shù)書(shū)九章》《詳解九章算法》《九章算法比類(lèi)大全》《算法統(tǒng)宗》等，也介紹了線性方程組的解法.清代數(shù)學(xué)家梅文鼎（1633-1721）的《方程論》共有90道線性方程組題，其中未知數(shù)個(gè)數(shù)最多達(dá)6，解法也多是利用加減消元法，關(guān)于著《方程論》的宗旨，梅文鼎曾給友人方中通（1633-1698）解釋道：“方子精西學(xué)，愚病西儒排西算，著《方程論》，謂雖利氏無(wú)以難.”其大意是，中國(guó)古代關(guān)于線性方程組的研究成果，是西方數(shù)學(xué)難以比擬的，故我們完全不必在“西儒”面前妄自非薄.