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    高觀點(diǎn)下的中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題

    2015-05-30 05:06:41楊曉
    都市家教·下半月 2015年6期
    關(guān)鍵詞:中學(xué)數(shù)學(xué)乘法本題

    楊曉

    近幾年來(lái),隨著新課程的改革,對(duì)教師的要求也提到了更高的層次,如何全方位地把握高中數(shù)學(xué)教學(xué),用高等數(shù)學(xué)的思想、觀點(diǎn)和方法來(lái)指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐,溝通高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系,指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行研究性學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生的探究精神和創(chuàng)新能力將成為新形勢(shì)下衡量一位高中數(shù)學(xué)教師能否勝任的標(biāo)準(zhǔn)之一,同時(shí)也是搞活中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一條有效途徑。另外,隨著高考命題自主化的深入,越來(lái)越多的省和地區(qū)開(kāi)始嘗試自己命題,而在命題組中高校教師占很重要的地位。他們?cè)诿}時(shí),會(huì)受到自身研究氛圍的影響,有關(guān)高等數(shù)學(xué)背景的問(wèn)題會(huì)逐漸增加豐富起來(lái)。因此有許多以高等數(shù)學(xué)中的知識(shí)為背景而用初等數(shù)學(xué)的語(yǔ)言來(lái)表述的“高觀點(diǎn)”問(wèn)題,越來(lái)越多的出現(xiàn)在試卷上,本文通過(guò)幾個(gè)案列分析,來(lái)探究“高觀點(diǎn)”下的中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題。

    一、將高等數(shù)學(xué)中的某些簡(jiǎn)單的命題、概念、定理移用為高考數(shù)學(xué)試題的一種方法

    在高等數(shù)學(xué)中,很多重要的定義、定理都建立在初等數(shù)學(xué)知識(shí)之上,并且需要或者能夠用初等數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決的,這些高初知識(shí)的銜接處為引用提供了試題命制的環(huán)境和條件。

    例1:(2009年浙江理10)對(duì)于正實(shí)數(shù)α,記Mα為滿(mǎn)足下述條件的函數(shù)f(x)構(gòu)成的集合:且,有

    .下列結(jié)論中正確的是

    A.若f(x)∈Mα1,g(x)∈Mα2,則f(x)·g(x)∈Mα1-α2

    B.若f(x)∈Mα1,g(x)∈Mα2,且g(x)≠

    0,則

    C.若f(x)∈Mα1,g(x)∈Mα2,則f(x)+

    g(x)∈Mα1+α2

    D.f(x)∈Mα1,g(x)∈Mα2,且α1>α2,則

    本題就是考察高等數(shù)學(xué)中的利普希茨條件:若存在常數(shù)K,使得對(duì)定義域D的任意兩個(gè)不同的實(shí)數(shù),均有成立,則稱(chēng)f(x)在D上滿(mǎn)足利普希茨條件,直觀上,符合利普希茨條件的函數(shù)的斜率,必小于一個(gè)稱(chēng)為利普希茨常數(shù)的實(shí)數(shù),實(shí)際上問(wèn)題中的正實(shí)數(shù)α就是這個(gè)常數(shù),該常數(shù)依函數(shù)而定,而問(wèn)題中的集合就是滿(mǎn)足利普希茨條件Mα的函數(shù)集合。

    例2:(2012福建理7)設(shè)函數(shù),則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( )

    A.D(x)的值域{0,1}

    B.D(x)是偶函數(shù)

    C. D(x)不是周期函數(shù)

    D.D(x)不是單調(diào)函數(shù)

    本題以抽象的狄利克雷函數(shù)概念作為命題的背景,它是一個(gè)處處不連續(xù)、處處極限不存在、不可積分的偶函數(shù);它沒(méi)有具體的圖形、解析式和實(shí)際背景;它以任何正有理數(shù)為周期,但它無(wú)最小正周期。

    例3:(2011廣東理8)

    設(shè)S是整數(shù)集Z的非空子集,如果,有ab∈s,則稱(chēng)S關(guān)于數(shù)的乘法是封閉的,若T,V是Z的兩個(gè)不相交的非空子集,T∪V=Z,且,有abc∈T,,有xyz∈V。

    A.T,V中至少有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉

    B.T,V中至多有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉

    C.T,V中有且只有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉

    D.T,V中每一個(gè)關(guān)于乘法是封閉

    本題以高數(shù)群論中的數(shù)域?qū)\(yùn)算的封閉為背景命題,主要考察能否理解并用此概念來(lái)判斷新構(gòu)建的集合T,V對(duì)乘法的封閉性。

    二、對(duì)高等數(shù)學(xué)中的問(wèn)題、概念或原理特殊化,具體化,低維化使之成為具體的初等化內(nèi)容

    它使得高等數(shù)學(xué)中的一般、抽象的問(wèn)題變成具體的、適合中學(xué)生做的問(wèn)題,有較強(qiáng)的綜合性和新穎性。

    例4(2012江西理6)觀察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11…則a10+b10=( )

    A.28 B.76 C.123 D.199

    本題主要考察斐波那契數(shù)列,從這個(gè)問(wèn)題的內(nèi)部機(jī)理來(lái)考究,斐波那契數(shù)列

    遞推式an+2=an+1+an的特征方程是x2-x-1=0,而從a+b=1,a2+b2=3,可以發(fā)現(xiàn)a+b=1,ab=1,a,b恰好是特征方程的兩個(gè)根,并且有an+bn=(an-1+bn-1)(a+b)-ab(an-2+bn-2)=(an-1

    +bn-1)+(an-2+bn-2),和斐波那契數(shù)列的遞推式非常吻合,體現(xiàn)了高處出題,初等做題的思想。

    三、高等數(shù)學(xué)中的概念和定理的表述方式,將其轉(zhuǎn)化為等價(jià)的初等數(shù)學(xué)語(yǔ)言

    借此回避高數(shù)概念,將高等數(shù)學(xué)語(yǔ)言的思想隱藏在初等數(shù)學(xué)語(yǔ)言中,借用高等數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述初等內(nèi)容,考核具有高等數(shù)學(xué)背景的思想方法。

    例5:定義在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函數(shù)f(x),如果對(duì)于任意給定的等比數(shù)列,仍是等比數(shù)列,則稱(chēng)f(x)為“保等比數(shù)列函數(shù)”。現(xiàn)有定義在(-∞,0)∪(0,+∞)上的如下函數(shù):①;②;③;④。

    則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的f(x)的序號(hào)為 ( )

    A.①② B.③④ C.①③ D.②④

    本題考查等比數(shù)列經(jīng)歷不同的函數(shù)變化后等比的“保持性”,引進(jìn)了一個(gè)新的名稱(chēng)——保等比數(shù)列函數(shù),無(wú)實(shí)質(zhì)的高等數(shù)學(xué)概念和定理,學(xué)生首先要讀懂題意,然后再去利用定義求解,抓住實(shí)質(zhì)是關(guān)鍵。

    例6:(2012北京理20)設(shè)A是由m×n個(gè)實(shí)數(shù)組成的m行n列的數(shù)表,滿(mǎn)足:每個(gè)數(shù)的絕對(duì)值不大于1,且所有數(shù)的和為零.記S(m,n)為所有這樣的數(shù)表構(gòu)成的集合。

    對(duì)于,記ri(A)為A的第i行各數(shù)之和(1≤i≤m),cj(A)為A的第j列各數(shù)之和(1≤j≤n).

    記為,,…,,,,…,中的最小值.

    1 1 -0.8

    0.1 -0.3 -1

    (Ⅰ)對(duì)如下數(shù)表A,求k(A)的值;

    (Ⅱ)設(shè)數(shù)表形如

    1 1 C

    a b -1

    求k(A)的最大值;

    (Ⅲ)給定正整數(shù)t,對(duì)于所有的,求k(A)的最大值.

    本題不是考察某個(gè)確定的高等數(shù)學(xué)概念,但是語(yǔ)言形式的呈現(xiàn)上是運(yùn)用高等數(shù)學(xué)的形式描述集合,有比較多的抽象的符號(hào),具有高度的概括性和一致性,既有邏輯語(yǔ)言的特點(diǎn),又有矩陣語(yǔ)言的特征。

    四、著眼于已知的高等數(shù)學(xué)定理,從已知的高等數(shù)學(xué)定理出發(fā),將已知條件等價(jià)變形,依次擴(kuò)大條件和結(jié)論之間的距離

    將高等數(shù)學(xué)中的結(jié)論作載體搭建高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的聯(lián)系,這些載體類(lèi)別多樣,設(shè)置各種初等數(shù)學(xué)背景。

    例7:(2012遼寧理12)若,則下列不等式恒成立的是 ( )

    A. B.

    C. D.

    本題高等數(shù)學(xué)中對(duì)于函數(shù)f(x)可以利用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式展成一個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)的和。

    例8.(南通2008第二次調(diào)研考試.19)

    已知函數(shù)如果是增函數(shù),且存在零點(diǎn)(為的導(dǎo)函數(shù)。

    ①求a的值;②設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)(x1解析:(1)略。a=e。

    (2)由(1)得

    即.

    將x2換成x構(gòu)造函數(shù),定義域?yàn)?/p>

    則,∵即在定義域上單調(diào)增,

    。即同理可證

    點(diǎn)評(píng):本道題目背景是拉格朗日中值定理中值定理:若函數(shù)f(x)是在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)不斷的函數(shù),且在區(qū)間(a,b)內(nèi)導(dǎo)數(shù)都存在,則(a,b)至少存在一點(diǎn)x0,使得。而我們解決這一問(wèn)題的手段是通過(guò)構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)證明單調(diào)性,從而求證不等式。我們學(xué)過(guò)的指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù),正弦、余弦函數(shù)等都符合拉格朗日中值定理。

    高觀點(diǎn)下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)課程改革的一項(xiàng)重要內(nèi)容,能不能實(shí)行高觀點(diǎn)下的高中數(shù)學(xué)教學(xué),是新課程改革成功的關(guān)鍵。而作為數(shù)學(xué)老師的我們也只有掌握了高觀點(diǎn)的數(shù)學(xué)思想方法,才能使認(rèn)識(shí)達(dá)到一定的高度,才能透過(guò)現(xiàn)象看到本質(zhì),才不會(huì)被事物的假象迷惑,才可以從應(yīng)試教育的泥潭中跳出來(lái)。因此作為數(shù)學(xué)老師,我們有必要把高等數(shù)學(xué)中的某些概念和理論與中學(xué)數(shù)學(xué)里相應(yīng)的原型和特例聯(lián)系起來(lái),這樣,不僅能夠加深對(duì)高等數(shù)學(xué)的理解,而且能夠使我們準(zhǔn)確把握中學(xué)數(shù)學(xué)的本質(zhì)和關(guān)鍵,從而處理中學(xué)教材,用高等數(shù)學(xué)的思想方法指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué),提高教學(xué)質(zhì)量和教學(xué)水平,拓廣學(xué)生的解題思路,提高解題能力。

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