線性代數(shù)方法在高等數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

桑旦多吉

摘 要：“線性代數(shù)”和“高等數(shù)學(xué)”是學(xué)生必學(xué)的基礎(chǔ)課程，一般來說，線性代數(shù)是高校中一門非常重要的基礎(chǔ)課，雖然兩門課在授課安排上并無密切關(guān)聯(lián)，但線性代數(shù)的解題方法能夠?qū)Ω叩葦?shù)學(xué)中的試題進(jìn)行很好的解析。本文主要闡述了線性代數(shù)方法在高等數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：線性代數(shù)；高等數(shù)學(xué)；應(yīng)用

一、二次型理論的應(yīng)用

線性代數(shù)中二次型理論是重點(diǎn)內(nèi)容，求二次函數(shù)的極值問題，運(yùn)用二次型理論解決二次函數(shù)極值問題。

定理：二次型f=x Ax在‖x‖=1時(shí)的最大值與最小值分別為矩陣 A 的最大特征值與最小特征值。

例1：求f（x，y，z）=5x2+5y2+5z2+

4xy-8xz-4yz，在實(shí)單位球面：x2+y2+z2=

1的大小極值，并且在大小極值狀態(tài)下x，y，z的值？

解：由已知得，λ1（x2+y2+z2）≤

f（x，y，z）≤λ3（x2+y2+z2），其中λ1，λ3是二次型f（x，y，z）對(duì)應(yīng)的矩陣A的大小特征極值。

二次型的矩陣是：

5→2→-4

A=[ 2→1→-2 ] （1）

-4→-2→5

由|A-λE|=（λ-1）（λ2-10λ+1）

得A的特征值λ1=5-2√6，λ2= 1，λ3=5+2√6

λ1=5-2√6對(duì)應(yīng)的單位特征向量是：P1=— ，λ3=5+2√6

的單位特征對(duì)應(yīng)向量是：P3= — （2）

在（x，y，z）=—（-1，2+ √6，1）時(shí)，最小值為：f（x，y，z）=

5-2√6；

在（x，y，z）=—（-1，2- √6，1）時(shí)，最大值為：f（x，y，z）=

5-2√6；

二、線性方程組知識(shí)的應(yīng)用

例2：設(shè)：f（x）在[a，+∞）上n階可導(dǎo)，limf（x）和limf（n）（x）存在，求：limf（k）（x）=0 （k=1，2，...n）。

證明：設(shè)limf（x）=A，limf（n）（x）=

B，根據(jù)Taylor公式可得：

f（x+k）=f（x）+kf '（x）+—

f ''（x）+ …+—f（n-1）（x）+—f（n）（ζk） （3）

x<ζk則limf（n）（ζk）=limf（n）（x）=B

根據(jù)函數(shù)極限得出：f（n）（ζk）=B+αk，其中l(wèi)imαk=0 （K=1，2，....n）

把該式引入到上式得出關(guān)于f '（x），

f ''（x），…，f（n-1）（x），B的一個(gè)線性方程式：

f '（x）+—f ''（x）+…+— f（n-1）（x）+—B=f（x+1）-f（x）-

—α1

2f '（x）+—f ''（x）+…+— f（n-1）（x）+—B=f（x+2）-f（x）-

—α2

…

…

nf '（x）+—f ''（x）+…+— f（n-1）（x）+—B=f（x+n）-f（x）-

—αn （4）

得出系數(shù)行列式：

1→—→…—→—

2→—→…—→—

…→…→…→…

n→—→…—→— （5）

1→1→…1→1

2→22→…2n-1→2n

…→…→…→…

n→n2→…nn-1→nn （6）

從方程組（4）中通過f （x），f '（x），…f （n-1）（x），B解出 ，可得一個(gè) f（x+k）- f（x）-—αk （K=1，2，...，n）的線性組合lim[f（x+k）-f（x）-— αk ]= A-A+0=0，B=0

即limf（k）（x）=0（k=1，2，…n） （7）

三、正交變換的應(yīng)用

根據(jù)幾何知識(shí)二次方程：

a11x2+a22x2+a33x3+2a12x1x2+2a13x1x3+b1x1+b2x2+b3x3+c=0

如果對(duì)空間二次曲面進(jìn)行表現(xiàn)，需要確定曲面的類型，需要用到直角坐標(biāo)消除交叉項(xiàng)，由于正交變換能夠夾角和長(zhǎng)度進(jìn)行保持，因此最大的有點(diǎn)就是保持圖形的不變。

例3：把二次曲面方程：3x2+5y2+ 5z2+4xy-4xz-10yz=1來作為標(biāo)準(zhǔn)方程， 對(duì)該方程表示的曲面進(jìn)行明確指出。

解：記f（x，y，z）=3x2+5y2+5z2+ 4xy-4xz-10yz

二次型的矩陣為：

3→2→-2

A=[ 2→5→-5 ] （8）

-2→5→5

求|A-λE|=（-λ）（λ-2）（λ-11）

得出A的特征值：λ1=0，λ2=2，λ3=11，

各個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的單位特征向量是：

P1=—[ ]，P2=—[ ]，P3=

—[ ]

正交變換：

0→ — → —

[ ]= — → — → — [ ]

— → — → —

在這種情況下，二次曲面方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程2v2+11w2=1它表示橢圓柱面，且該方程表示的幾何圖形與原方程一模一樣。

參考文獻(xiàn)：

[1]李 霞.代數(shù)方法在高等數(shù)學(xué)中的幾個(gè)簡(jiǎn)單應(yīng)用[J].科技視界，2012（17）.

[2]關(guān)秀翠，周建華.線性代數(shù)與解析幾何的第一堂課[J].教育教學(xué)論壇，2012（39）：76—78.

[3]王宣欣.線性代數(shù)教學(xué)方法應(yīng)用實(shí)例[J].高等函授學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2010（03）：37—38.

（作者單位：西藏大學(xué)農(nóng)牧學(xué)院公共教學(xué)部數(shù)學(xué)教研室）