例談《有理數(shù)》中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法

曾祥馬

[摘 要]數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂和精髓.《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）指出：數(shù)學(xué)思想方法蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識的形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，是數(shù)學(xué)知識和方法在更高層次上的抽象與概括.教師在教學(xué)中適當(dāng)?shù)貪B透、挖掘其蘊(yùn)含在教材中的數(shù)學(xué)思想方法，如歸納推理、分類討論、數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等，可以尋找到數(shù)學(xué)基本知識與數(shù)學(xué)思想方法的結(jié)合點(diǎn).

[關(guān)鍵詞]歸納推理 分類討論 數(shù)形結(jié)合 化歸與轉(zhuǎn)化

[中圖分類號] G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 16746058（2015）200014

《有理數(shù)》這一章是整個(gè)初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).對于七年級的新生來說，傳授基本的數(shù)學(xué)知識固然重要，但適當(dāng)?shù)貪B透數(shù)學(xué)思想方法也是必不可少.本文就《有理數(shù)》這一章中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行挖掘與整理，以期起到拋磚引玉的作用.

一、歸納推理數(shù)學(xué)思想

有理數(shù)的加減、乘除、乘方等四則運(yùn)算法則是滲透歸納思想的最佳切入點(diǎn).

【例1】 教材第16—18頁，通過兩次物體運(yùn)動(dòng)，借助數(shù)軸，描述物體的相應(yīng)運(yùn)動(dòng)問題，從七種不同算式中歸納總結(jié)出有理數(shù)的加法運(yùn)算法則如下.

1.同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加.

2.絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值，互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0.

3.一個(gè)數(shù)與0相加，仍得這個(gè)數(shù).

即

由同號的兩種情況，異號的三種情況（其中包括相加為0的特例），再加上與0相加的情況，由特殊到一般歸納出有理數(shù)加法的運(yùn)算法則.

通過一定量的練習(xí)訓(xùn)練后，為了提升學(xué)生的思維水平，使學(xué)生深刻理解“有理數(shù)加法法則”的意義，我們設(shè)計(jì)這樣“用字母表示數(shù)”的習(xí)題，具體如下.

用“>”“<”“=”號填空：

1.若a>0，b>0，則a+b______a+b；

2.若a<0，b<0，則a+b______a+b；

3.若a>0，b<0，且|a|>|b|，則a+b______a+b；

4.若a<0，b>0，且|a|>|b|，則a+b______a+b.

這樣的習(xí)題

進(jìn)一步提高學(xué)生的判斷能力，滲透歸納思想、抽象概括思想教學(xué)，加深學(xué)生對有理數(shù)加法運(yùn)算法則的理解.

【例2】 探究有理數(shù)的乘方的法則，教材第41-42頁先介紹乘方的定義，讓學(xué)生掌握底數(shù)、指數(shù)、冪的相關(guān)知識.計(jì)算：（-4）3；（-2）4；（-23）3.

通過運(yùn)算探究得到：

（-4）3=（-4）×（-4）×（-4）=-64；

（-2）4=（-2）×（-2）×（-2）×（-2）=16；

（-23）3=（-23）×（-23）×（-23）=-827.

思考欄目：從例2中你發(fā)現(xiàn)負(fù)數(shù)的冪的正負(fù)有什么規(guī)律？歸納出負(fù)數(shù)的冪符號法則：

1.當(dāng)指數(shù)是奇數(shù)時(shí)，負(fù)數(shù)的冪是______數(shù)；

2.指數(shù)是偶數(shù)時(shí)，負(fù)數(shù)的冪是______數(shù).

教學(xué)中可以多提供一系列的負(fù)數(shù)冪的算式，

引導(dǎo)學(xué)生

通過觀察、猜想、驗(yàn)證等過程，歸納總結(jié)，依次填：負(fù)、正.此后從特殊到一般引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)有理數(shù)乘法法則歸納總結(jié)得出有理數(shù)乘方法則：

負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；

正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；0的任何正整數(shù)次冪都是0.

學(xué)生經(jīng)過練習(xí)后，教師進(jìn)一步提出：如何用字母來表示有理數(shù)乘方法則呢？通過這樣提出問題，讓學(xué)生探究、猜想，最后，教師適時(shí)給予歸納總結(jié)：當(dāng)a>0時(shí)，an為正；當(dāng)a=0時(shí)，an為0（n>0）；當(dāng)a<0時(shí)，如果n為奇數(shù)時(shí)，an<0，如果n為偶數(shù)時(shí)，an>0.在學(xué)生已經(jīng)熟練掌握法則的基礎(chǔ)上，通過字母歸納法則，有效地提高學(xué)生抽象概括、歸納數(shù)學(xué)思想方法的能力.

二、分類討論數(shù)學(xué)思想

分類討論思想就是把問題分成若干類，轉(zhuǎn)化成若干個(gè)小問題來解決，它能揭示數(shù)學(xué)對象之間的內(nèi)在規(guī)律，有助于學(xué)生總結(jié)數(shù)學(xué)之間的知識，使所學(xué)的知識條理化.

對于《有理數(shù)》這一章，教材在講解數(shù)學(xué)知識時(shí)多次滲透分類討論數(shù)學(xué)思想方法.如：數(shù)軸、比較兩個(gè)數(shù)的大小、|a|的化簡、有理數(shù)的乘除法法則、乘方的法則等.我們利用教材幫助學(xué)生掌握這些知識的前提下，通過自己重新分類討論，歸納出其法則規(guī)律.

【例3】 絕對值的討論.

教材第12頁，由絕對值的定義可知：

一個(gè)正數(shù)的絕對值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0.

（1）當(dāng)a是正數(shù)時(shí)，|a|=______；

（2）當(dāng)a是負(fù)數(shù)時(shí)，|a|=______；

（3）當(dāng)a是0時(shí)，|a|=______.

可見，有理數(shù)a可以表示正數(shù)、負(fù)數(shù)和0.分三種情況討論，依次填入：a，-a，0.這樣，才能較清楚地認(rèn)識一個(gè)有理數(shù)的絕對值.

三、數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想

華羅庚教授曾說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微.”可見，數(shù)形結(jié)合思想就是將數(shù)學(xué)中數(shù)與形結(jié)合起來進(jìn)行分析、研究、解決問題的一種思維策略，通過深入地觀察、聯(lián)想，由形思數(shù)，由數(shù)想形，實(shí)現(xiàn)了抽象思維與形象思維的結(jié)合與轉(zhuǎn)換.

【例4】 數(shù)軸的引入及利用.

教材引入數(shù)軸，并利用數(shù)軸得到相反數(shù)的意義，比較有理數(shù)的大小及利用數(shù)軸得出有理數(shù)加減運(yùn)算法則等都是數(shù)形結(jié)合的實(shí)例.教學(xué)中要把握好這些素材，將數(shù)形結(jié)合思想滲透落實(shí)在行動(dòng)上.如，一個(gè)數(shù)加上正數(shù)或負(fù)數(shù)，其和將會變大或變小的問題，往往利用的教學(xué)手段是計(jì)算體驗(yàn)進(jìn)行總結(jié)，忽略了加法法則與數(shù)軸的聯(lián)系.有理數(shù)a加上正數(shù)或負(fù)數(shù)，在數(shù)軸上，即表示有理數(shù)a的點(diǎn)分別向右或向左移動(dòng)若干單位長度后對應(yīng)的數(shù)，從而能很直觀地理解其變大或變小.

如解方程|a-3|=2時(shí)，可利用數(shù)軸理解為：數(shù)軸上到表示數(shù)3的點(diǎn)的距離等于2的點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)，這樣數(shù)形結(jié)合起來處理問題，非常直觀易懂.

如探索式子“100±1n”.隨n的不斷增大時(shí)，它的值有怎樣的變化趨勢？可利用數(shù)軸，隨n的不斷增大，100±1n的值分別從數(shù)軸的左右兩側(cè)向100接近，得到隨n的不斷增大，100±1n的值不斷接近100的結(jié)論.

由此可見，借助數(shù)形結(jié)合思想，可以讓復(fù)雜的問題變?yōu)楹唵蔚膯栴}.

四、化歸與轉(zhuǎn)化思想

化歸與轉(zhuǎn)化思想就是將一種數(shù)學(xué)問題在一定條件下化歸為另一種數(shù)學(xué)問題的數(shù)學(xué)思想方法.在實(shí)際教學(xué)中，轉(zhuǎn)化就是把新知識轉(zhuǎn)化為舊知識，把未知轉(zhuǎn)化為已知，把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題.

【例5】 《有理數(shù)》這一章的有理數(shù)減法法則和有理數(shù)的除法法則分別是通過加法法則和乘法法則來轉(zhuǎn)化的.

教材第22頁有理數(shù)減法法則：減去一個(gè)數(shù)，等于加這個(gè)數(shù)的相反數(shù)；有理數(shù)減法法則也可以表示成：a-b=a+（-b）.

教材第34頁有理數(shù)的除法法則：除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)；這個(gè)法則也可以表示成：a÷b=a·1b.

教材中類似這樣的例子還很多，我們這里不多敘.

綜上所述，教師要充分分析和研究教材，理清和把握教材的整體脈絡(luò)，挖掘蘊(yùn)含在教材中的數(shù)學(xué)思想方法，除了尋找數(shù)學(xué)的基本知識與數(shù)學(xué)思想方法的結(jié)合點(diǎn)外，還要建立豐富的教學(xué)范例，為滲透數(shù)學(xué)思想和方法奠定基礎(chǔ).

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）