基于兒童視角的“三角形的內(nèi)角和”教學(xué)

劉秀鳳

小學(xué)數(shù)學(xué)課程除了具體知識(shí)與技能的教學(xué)，更重要的是數(shù)學(xué)思維方式的滲透與數(shù)學(xué)精神的引領(lǐng)。面對(duì)新課程理念，不少教師在課堂上能夠注重引導(dǎo)兒童動(dòng)手操作、自主探究、合作交流，但還是常常會(huì)忽略?xún)和蛔鹬?、被發(fā)現(xiàn)、被激活的過(guò)程。

一、由一則案例引起的教育學(xué)反思

在一次小學(xué)數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課評(píng)選中，一位教師執(zhí)教蘇教版四下《三角形的內(nèi)角和》，先請(qǐng)學(xué)生說(shuō)一說(shuō)三角尺三個(gè)內(nèi)角的和是多少度，然后讓學(xué)生猜一猜其他三角形的內(nèi)角和是否也是180°，接著引導(dǎo)學(xué)生分小組進(jìn)行驗(yàn)證。在小組匯報(bào)交流如何驗(yàn)證時(shí)，有的學(xué)生說(shuō)：“我畫(huà)了一個(gè)銳角三角形，量出三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)后相加，和是180.4°?！庇械膶W(xué)生說(shuō)：“我量的是一個(gè)鈍角三角形，三個(gè)內(nèi)角的和是179.5°?！庇械膶W(xué)生說(shuō)：“我量的是一個(gè)直角三角形，三個(gè)內(nèi)角的和是178.9°?！苯處熇^續(xù)引導(dǎo)：“雖然他們算出的三角形的內(nèi)角和不正好是180°，但可以發(fā)現(xiàn)它們都怎么樣？”一位學(xué)生回答：“每一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角加起來(lái)大小是不一樣的?！鼻榧敝?，教師再次引導(dǎo)：“實(shí)際上，這些三角形的內(nèi)角和都是一樣的，因?yàn)榱拷瞧髁砍龅慕Y(jié)果是不精確的，會(huì)出現(xiàn)什么情況？”學(xué)生附和：“有誤差?！苯處熇^續(xù)：“對(duì)，量角器在度量的時(shí)候是有誤差的。大家看看，它們都在哪個(gè)數(shù)左右?。俊币晃粚W(xué)生說(shuō)：“180°?！绷硪晃粚W(xué)生迅速反駁：“不對(duì)，應(yīng)該是179°?！苯處煵坏貌桓骸笆?80°?！苯又?qǐng)采用“撕、拼”方法的學(xué)生交流他們是怎樣驗(yàn)證的……

上述教學(xué)案例并不是“偶然為之”的特例，而是《三角形的內(nèi)角和》一課的教學(xué)中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)的場(chǎng)景。筆者首先從教育學(xué)視角作如下反思：

教育究竟是什么？教育家杜威早就做出了回答：教育即生長(zhǎng)；學(xué)校即社會(huì)。“生長(zhǎng)”即發(fā)展，自然發(fā)展，教育應(yīng)是一種自然發(fā)展的過(guò)程，教育必須從探索兒童的能力、興趣和習(xí)慣開(kāi)始。同時(shí)，兒童必然是在自然和社會(huì)環(huán)境中發(fā)展的，他們?cè)趯W(xué)校不能純粹地學(xué)知識(shí)，而應(yīng)在求真、向善、向美的教育雨露中澄澈靈魂，在求真、向善、向美的人生追求中自信、自強(qiáng)地生活。這才是教育的真諦。

從表面上看，上述教學(xué)案例中，教師注重引導(dǎo)學(xué)生大膽猜想、自主探究、合作交流，學(xué)生所反映的問(wèn)題也得到了“圓滿(mǎn)”解決，但仔細(xì)推敲就會(huì)發(fā)現(xiàn)遠(yuǎn)非如此。正如首都師范大學(xué)岳欣云教授所言：“‘撕、拼的方法并沒(méi)有減少誤差，只是我們用眼睛‘看不出誤差而已?！蓖艘徊秸f(shuō)，即使別的實(shí)物操作的方法能夠減少誤差，也不可能消滅誤差，運(yùn)用實(shí)物操作進(jìn)行驗(yàn)證的方法并不能真正幫助學(xué)生得出三角形內(nèi)角和的準(zhǔn)確結(jié)論。假如課堂上有學(xué)生提出“撕、拼”或其他減少誤差的方法依然有誤差，只是我們“看”不出來(lái)，三角形的內(nèi)角和不是180°，那教師又該如何呢？其實(shí)，即使學(xué)生沒(méi)有提出異議，我們也很難說(shuō)教師引導(dǎo)學(xué)生探究出了正確的結(jié)論。因?yàn)檫@種探究結(jié)論的順利得出是建立在學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)貧乏或數(shù)學(xué)思維不健全的基礎(chǔ)上的，用這種方法與其說(shuō)是探究出了結(jié)論，不如說(shuō)是“蒙”過(guò)了學(xué)生。這種為過(guò)程而過(guò)程、為探究而探究的教學(xué)失去了其應(yīng)有的價(jià)值。

二、基于哲學(xué)視角的再審視

數(shù)學(xué)的所有結(jié)論都是用命題的形式表達(dá)的，數(shù)學(xué)定理、法則、定義都是一種命題。命題是一種話(huà)語(yǔ)，是可以進(jìn)行“是否”判斷的話(huà)語(yǔ)。數(shù)學(xué)在概念和符號(hào)的基礎(chǔ)上，從條件出發(fā)，通過(guò)歸納推理得出結(jié)論，通過(guò)演繹推理驗(yàn)證結(jié)論是否正確，這樣的論證形式是有邏輯的，因此數(shù)學(xué)具有嚴(yán)謹(jǐn)性。盡管一些基本的數(shù)學(xué)概念有著較為明顯的現(xiàn)實(shí)原型，但數(shù)學(xué)中又有許多概念并非建立在對(duì)于真實(shí)事物或現(xiàn)象的直接抽象之上，而是在抽象之上再進(jìn)行抽象，由概念引出概念。因此，如果我們?nèi)匀粰C(jī)械地堅(jiān)持“數(shù)學(xué)對(duì)象存在于可感知的具體事物之中”這樣一種觀念，就未免顯得過(guò)于牽強(qiáng)。

而“數(shù)學(xué)直覺(jué)”的主觀性和不可靠性是與數(shù)學(xué)知識(shí)的客觀性和確定性直接相沖突的。雖然一般自然科學(xué)的知識(shí)普遍被認(rèn)為是經(jīng)驗(yàn)的，但人們同時(shí)又認(rèn)為數(shù)學(xué)知識(shí)是與一般自然科學(xué)知識(shí)完全不同的另外一種真理。如果說(shuō)前者是后天的、偶然的，后者則是先天的、必然的。這也就是說(shuō)，數(shù)學(xué)命題所表明的只是觀念的關(guān)系，與客觀事實(shí)無(wú)關(guān)。數(shù)學(xué)真理事實(shí)上就是對(duì)經(jīng)驗(yàn)論立場(chǎng)的一個(gè)挑戰(zhàn)，因?yàn)榘凑蘸笳叩牧?chǎng)，一切知識(shí)都是后天的、偶然的，從而也就是可以經(jīng)驗(yàn)地證偽的。

就如一般的藝術(shù)創(chuàng)造一樣，數(shù)學(xué)是否也具有很大的主觀隨意性，或者說(shuō)，其所反映的只是創(chuàng)造者的“主觀經(jīng)驗(yàn)”？德國(guó)著名哲學(xué)家、邏輯學(xué)家弗雷格曾明確指出：“如果我們相信數(shù)學(xué)的客觀性，那就沒(méi)有任何理由反對(duì)我們借助于數(shù)學(xué)對(duì)象來(lái)進(jìn)行思維，也沒(méi)有任何理由反對(duì)關(guān)于數(shù)學(xué)對(duì)象的這樣一幅圖景：它們是早已存在著的，并等待著人們?nèi)ヲ?yàn)證發(fā)現(xiàn)?！?/p>

在德國(guó)哲學(xué)家康德看來(lái)，嚴(yán)格的數(shù)學(xué)命題永遠(yuǎn)是先天的判斷，而非經(jīng)驗(yàn)的判斷，因?yàn)樗鼈兙哂胁荒軄?lái)自經(jīng)驗(yàn)的必然性。即使我們?cè)趯?shí)際度量中發(fā)現(xiàn)一個(gè)三角形的內(nèi)角和并不是180°，我們也不會(huì)說(shuō)我們已經(jīng)推翻或證偽了“三角形的內(nèi)角和是180°”這一命題，而會(huì)說(shuō)我們的度量有問(wèn)題……這也就是說(shuō)，數(shù)學(xué)知識(shí)似乎不是單純地憑經(jīng)驗(yàn)就可以證偽的。

可以說(shuō)，上述教學(xué)案例中的教師成了被限制了思維的“套中人”，深陷“路徑依賴(lài)”——一旦作了某種選擇，就好比走上了一條不歸之路，慣性的力量會(huì)使這一選擇不斷自我強(qiáng)化，并使他不能輕易地走出去。換句話(huà)說(shuō)，教師一旦選擇了某種思維方式，其慣性會(huì)讓他難以用另一種方式思考，就像金絲雀在籠子里待久了反而不敢飛出已經(jīng)打開(kāi)了門(mén)的籠子一樣。

三、基于兒童視角的重新建構(gòu)

所謂兒童視角，是指站在兒童的角度（立場(chǎng)）來(lái)思考或觀察周?chē)氖虑椋ㄎ铮??？上У氖?，一直以?lái)，大多數(shù)教師比較習(xí)慣于直接講授知識(shí)本身，很少關(guān)注知識(shí)對(duì)于兒童的生活的意義和價(jià)值。兒童也可能已經(jīng)習(xí)慣了沒(méi)有交代意義或者沒(méi)有弄清楚意義的學(xué)習(xí)。這背后隱含著一個(gè)假設(shè)：兒童是來(lái)學(xué)習(xí)知識(shí)的，老師講什么知識(shí)兒童就自然應(yīng)該學(xué)習(xí)什么知識(shí)，也就是說(shuō)，兒童學(xué)習(xí)知識(shí)是沒(méi)有條件的，不管知識(shí)對(duì)他是否有意義或價(jià)值。

鑒于兒童的認(rèn)知特點(diǎn)，小學(xué)數(shù)學(xué)探究教學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的依賴(lài)尤為突出。在數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)形式不發(fā)生矛盾時(shí)，探究會(huì)進(jìn)行得比較順利，但在二者發(fā)生矛盾時(shí)，就需要以數(shù)學(xué)的形式性為準(zhǔn)，兼顧數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)性。在教學(xué)《三角形的內(nèi)角和》一課時(shí)，我們面對(duì)的就是數(shù)學(xué)內(nèi)容的形式性、演繹性與數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的經(jīng)驗(yàn)性、歸納性發(fā)生矛盾的情況。

因?yàn)樵凇坝山?jīng)驗(yàn)到概念”的思路中，數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)是第一位的，在數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)發(fā)生沖突時(shí)，數(shù)學(xué)概念要符合數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)。實(shí)踐操作必然存在誤差，所以，“由經(jīng)驗(yàn)到概念”的歸納思路無(wú)法推導(dǎo)出三角形內(nèi)角和的精確結(jié)論。三角形內(nèi)角和的準(zhǔn)確論證應(yīng)該通過(guò)“從概念到概念”的演繹才能得出，然而，對(duì)兒童來(lái)說(shuō)，幾何演繹推理遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了他們的接受能力和認(rèn)知水平。因此，我們還需要改變角度，采取“由概念到經(jīng)驗(yàn)”、演繹與歸納相結(jié)合的思路（即把前人演繹推導(dǎo)得出的結(jié)論與兒童的歸納驗(yàn)證相結(jié)合），從讓兒童推導(dǎo)未知的結(jié)論轉(zhuǎn)為讓兒童驗(yàn)證已知的理論，即先告訴學(xué)生前人已經(jīng)得出結(jié)論“三角形的內(nèi)角和是180°”，然后問(wèn)學(xué)生能用什么辦法進(jìn)行驗(yàn)證，從而啟發(fā)學(xué)生可用多種方法進(jìn)行驗(yàn)證。學(xué)生操作驗(yàn)證后得出來(lái)的結(jié)論雖然不一定正好是180°，但他們不會(huì)想到是定理錯(cuò)了，而會(huì)認(rèn)為自己的操作經(jīng)驗(yàn)存在誤差。因?yàn)樵凇坝筛拍畹浇?jīng)驗(yàn)”的思路中，前人運(yùn)用演繹法推導(dǎo)出來(lái)的概念是第一位的，而經(jīng)驗(yàn)歸納主要起到輔助驗(yàn)證、培養(yǎng)兒童的數(shù)學(xué)理解力及多元思維的作用，并且當(dāng)數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)發(fā)生沖突時(shí)，數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)要符合數(shù)學(xué)概念。這樣的教學(xué)，不但可以培養(yǎng)兒童的探究能力和創(chuàng)造性，還能培養(yǎng)兒童堅(jiān)持真理、修正錯(cuò)誤、嚴(yán)謹(jǐn)周密、實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度。

【參考文獻(xiàn)】

[1]鄭毓信.數(shù)學(xué)哲學(xué)與數(shù)學(xué)教育哲學(xué)[M].南京：江蘇教育出版社，2007：24-25.

[2]岳欣云.小學(xué)數(shù)學(xué)探究教學(xué)中的哲學(xué)思考[J].課程·教材·教法，2012（9）：101-105.

（作者單位：江蘇省泰州市姜堰區(qū)梁徐中心小學(xué)）