HPM研究與實踐：是理念，更是行動

【摘要】一線數(shù)學(xué)教師已經(jīng)十分認(rèn)同將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課堂的價值。在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂上可以運(yùn)用鏈接式、再現(xiàn)式、融入式等方法進(jìn)行HPM研究與實踐，這三種方法雖然在層次上有區(qū)別，但相互之間并不對立互斥，它們既可以獨立運(yùn)用，也可以在一節(jié)課中綜合運(yùn)用。

【關(guān)鍵詞】HPM;鏈接式;再現(xiàn)式;融入式

【中圖分類號】G623.5【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A【文章編號】1005-6009（2015）17-0011-03

【作者簡介】薛志梅，江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)方洲小學(xué)（江蘇蘇州，215028），二級教師，蘇州工業(yè)園區(qū)教科研能手、教育技術(shù)應(yīng)用能手。

早在19世紀(jì)，數(shù)學(xué)史對于數(shù)學(xué)教育的價值就已經(jīng)被一些西方數(shù)學(xué)家所認(rèn)識。1972年，在第二屆國際數(shù)學(xué)教育大會上，成立了數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育之間的關(guān)系國際研究小組。研究表明，數(shù)學(xué)史用在數(shù)學(xué)教育中能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)精神，預(yù)見學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展，促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)和認(rèn)識數(shù)學(xué)的價值，構(gòu)筑數(shù)學(xué)與人文之間的橋梁，指導(dǎo)并豐富教師的課堂教學(xué)，等等。作為一線教師，筆者在教學(xué)實踐中經(jīng)歷了從迷茫到清晰、從無意識到自覺地運(yùn)用數(shù)學(xué)史的過程，因而筆者對老師們進(jìn)行HPM研究與實踐時遇到的典型性困惑感觸頗深。

一、“作為一線教師，在數(shù)學(xué)課堂上該怎么用數(shù)學(xué)史？”

1.鏈接式運(yùn)用數(shù)學(xué)史。

目前，在教學(xué)時，很多數(shù)學(xué)教師會插入一些與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的數(shù)學(xué)家圖片或講述與之相關(guān)的逸聞趣事或介紹有關(guān)的數(shù)學(xué)史料，以此來提升數(shù)學(xué)課的文化味道。像這樣運(yùn)用數(shù)學(xué)史的方法我們稱之為鏈接式，其內(nèi)在意義在于數(shù)學(xué)史沒有影響教師的教學(xué)設(shè)計，只不過是在原有的教學(xué)設(shè)計中插入了一個“超鏈接”。

比如：教學(xué)“用字母表示數(shù)”，可以給學(xué)生講講“從丟番圖用縮寫的方法表示數(shù)到韋達(dá)把字母當(dāng)作符號來表示數(shù)”的抽象歷程，然后讓學(xué)生猜一猜“從丟番圖的方法到韋達(dá)的方法，數(shù)學(xué)家們用了多少年”，當(dāng)學(xué)生知道這一過程用了一千兩百多年時，他們的臉上都寫滿了驚嘆。這樣做有助于減少學(xué)生的學(xué)習(xí)焦慮，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)激情。

鏈接式雖然是數(shù)學(xué)史使用的較低層次，但我們不能忽視它的價值。數(shù)學(xué)家陳景潤高中時很快解決了沈元老師提出的“韓信點兵”問題，并在黑板上寫出了精彩的解法，沈老師高興之際鼓勵道：“你能獨立解答‘韓信點兵，不要停止思考，你能創(chuàng)造更大的奇跡，比如解決‘哥德巴赫猜想?！庇谑?，沈老師講起了“哥德巴赫猜想”的故事，這個故事給陳景潤留下了深刻的印象，像磁石一般吸引著他。在求知欲旺盛的小學(xué)生面前多講講數(shù)學(xué)家的故事，在他們的心里播下渴望的種子，有利于激起他們對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)熱情。

2.再現(xiàn)式運(yùn)用數(shù)學(xué)史。

在鏈接式的基礎(chǔ)上，還可以在設(shè)計教學(xué)時就開始收集相關(guān)內(nèi)容在歷史上留下的經(jīng)典名題或數(shù)學(xué)故事或相關(guān)的數(shù)學(xué)結(jié)論或多樣的數(shù)學(xué)方法，在課堂上再現(xiàn)類似的情境，讓學(xué)生像歷史上的數(shù)學(xué)家們那樣去獨立思考、探索知識，這種方式稱為再現(xiàn)式。

比如，我國古代算術(shù)《孫子算經(jīng)》中有這樣一道題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？”這個題目及其解法在世界數(shù)學(xué)史上十分有名，中外數(shù)學(xué)家稱之為“孫子定理”或“中國剩余定理”。可以在教學(xué)“數(shù)的整除”的相關(guān)知識之后將其再現(xiàn)在課堂中，組織學(xué)生去思考。

又如：學(xué)習(xí)了“三角形的面積”的計算方法后，可以出示《九章算術(shù)》中記載的“半廣以乘正從”的方法，請學(xué)生明晰這是怎樣的方法，為什么也能用來計算三角形的面積，以及和我們自己推導(dǎo)出來的方法有什么相同之處，這有利于加深學(xué)生對三角形的面積計算方法及其推導(dǎo)過程的理解。

如果說鏈接式可以更多地觸及學(xué)生的情感，顯然，再現(xiàn)式可以更多地觸及學(xué)生的數(shù)學(xué)思考。要注意的是，“再現(xiàn)”不是“復(fù)制”，沒有必要完整地呈現(xiàn)歷史上知識的形成過程，而應(yīng)截取知識形成或方法運(yùn)用最經(jīng)典的關(guān)鍵節(jié)點，這有利于更好地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī)，促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行深入的思考。

3.融入式運(yùn)用數(shù)學(xué)史。

運(yùn)用數(shù)學(xué)史的最高層次當(dāng)屬融入式，即在課堂上重構(gòu)人類認(rèn)識的發(fā)生、發(fā)展過程，教學(xué)推進(jìn)過程中看似沒有使用有形的數(shù)學(xué)史，卻有機(jī)地融入了歷史上人類認(rèn)識產(chǎn)生飛躍的關(guān)鍵進(jìn)程。很多教師說：“數(shù)學(xué)史看上去很美，但做起來很難?！笨峙轮傅木褪菙?shù)學(xué)史的融入式運(yùn)用。下文將對此作更為具體的說明。

二、“把數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)，看上去很美，做起來很難，到底如何融入？”

對數(shù)學(xué)教師來說，在數(shù)學(xué)課堂上運(yùn)用數(shù)學(xué)史是一個再創(chuàng)造的過程。融入式運(yùn)用數(shù)學(xué)史，無疑需要教師進(jìn)行更深入的思考，它是教師基于數(shù)學(xué)史、教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)對象展開一系列思考和實踐的過程。這個過程，我們總結(jié)為如圖1所示的架構(gòu)，下面結(jié)合蘇教版五上《用字母表示數(shù)》一課來具體說明如下：

1.融入式運(yùn)用數(shù)學(xué)史的理論基礎(chǔ)是歷史相似性原理。

個體的認(rèn)知過程與人類認(rèn)知提升的歷史過程基本是一致的，歷史上數(shù)學(xué)家曾經(jīng)遇到過的困難，課堂學(xué)習(xí)中學(xué)生同樣會遇到，應(yīng)注意處理好學(xué)生個體和群體間的關(guān)系。比如：代數(shù)知識的發(fā)展大致經(jīng)歷了文辭代數(shù)、縮寫代數(shù)、符號代數(shù)三個階段，那么在理論上，每個學(xué)生個體的認(rèn)知提升大致也會經(jīng)歷這三個時期，也會面對歷史上人類認(rèn)知提升曾經(jīng)遭遇的障礙。但在某個課堂教學(xué)的特定時空里，在學(xué)生個體身上體現(xiàn)不出這種歷史性的過程，但不同認(rèn)知水平的學(xué)生會停留在不同的認(rèn)知階段，因此，可以在學(xué)生群體中看到這些不同的認(rèn)知形態(tài)呈現(xiàn)出的歷史性過程。

2.整個架構(gòu)最終指向“融入式的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)”。

HPM研究與實踐，不是為了讓學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史，而是為了學(xué)生更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。明確了HPM研究的核心基點，也就明白了對于數(shù)學(xué)史料應(yīng)該采取大膽拿來為數(shù)學(xué)教育所用的態(tài)度，符合“兩個有利于”（有利于更好地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī)，有利于學(xué)生更好地進(jìn)行數(shù)學(xué)思考）的就用，不符合的就進(jìn)行教學(xué)法的加工。所以，融入式運(yùn)用數(shù)學(xué)史需要教師“備方法”。也正因為運(yùn)用數(shù)學(xué)史是為了數(shù)學(xué)教學(xué)，所以，對于史料中無從考證的知識形成過程，也可以進(jìn)行合情推理，設(shè)計切合學(xué)生經(jīng)驗水平的知識形成過程。

3.只要是進(jìn)行教學(xué)設(shè)計，就需要“備學(xué)生”“備內(nèi)容”“備方法”，但要結(jié)合數(shù)學(xué)史去思考這些問題。

需要補(bǔ)充的是，為了方便說明，上述架構(gòu)中的“三備”是線性的，而事實上它們很難分清先后次序，往往需要交融往返地進(jìn)行思考。

4.用相互補(bǔ)充和佐證的方法讀通數(shù)學(xué)史。

利用數(shù)學(xué)史“備內(nèi)容”“備學(xué)生”，首先要讀多個版本的數(shù)學(xué)史書籍，因為對于同一個數(shù)學(xué)史事件，不同的作者會有不同的敘述視角，會引用不同的歷史細(xì)節(jié)，多個版本的數(shù)學(xué)史書籍相互補(bǔ)充和佐證，我們擁有的資料才豐滿。在讀數(shù)學(xué)史的過程中，要深入追問：一要理清這個知識的來龍去脈，從而提煉出所學(xué)知識的數(shù)學(xué)本質(zhì)，以及人類認(rèn)知提升經(jīng)過的階段;二要捕捉人類認(rèn)知經(jīng)歷了哪些挫折或走過哪些彎路，從而提煉出人類認(rèn)知提升遭遇的障礙，簡稱“兩讀三提煉”。

從這些角度去讀代數(shù)史就可以發(fā)現(xiàn)，人類最初所謂的“代數(shù)”就是解方程。而最早的解方程是用自然語言記錄的，看一個方程的解法如同看一篇小論文;之后古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖想到了用字母去表示未知數(shù)，他用具體數(shù)量發(fā)音音節(jié)的第一個字母來表示該未知數(shù)，未知數(shù)的意義不同，表示未知數(shù)的字母就不同，而且相互間不通用，所以解方程的方法各不相同;到16世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)思考用輔音字母來表示未知數(shù)，用元音字母來表示已知數(shù)，這樣方程就成了統(tǒng)一的模樣，從而發(fā)現(xiàn)了二元一次方程的根的規(guī)律。這之后，其他數(shù)學(xué)家再把韋達(dá)的方法加以完善，就有了現(xiàn)在的初等代數(shù)。

這段歷史，總結(jié)起來就是“文辭代數(shù)、縮寫代數(shù)、符號代數(shù)”三個階段，而且從丟番圖用字母表示未知數(shù)到韋達(dá)用字母還能表示已知數(shù)經(jīng)歷了一千兩百多年，這之后代數(shù)獲得了更好的發(fā)展。所以，學(xué)“用字母表示數(shù)”到底要學(xué)什么，把教科書上的知識放到歷史的背景中去考察，就一清二楚了。

5.再結(jié)合學(xué)生的現(xiàn)實尋找恰當(dāng)?shù)乃夭模O(shè)計合理的教學(xué)進(jìn)程承載歷史的精華。

教科書是借助擺三角形用多少根小棒的題材來引導(dǎo)學(xué)生思考用字母表示數(shù)的，既簡約又很豐富，可以照用。但用的過程中，基于數(shù)學(xué)史就要特別注意：要讓學(xué)生產(chǎn)生用字母去概括的需要，就不應(yīng)該直接提“如果擺a個三角形用多少根小棒”這樣的問題;其次，在學(xué)生思考如何概括擺三角形用的小棒的根數(shù)時，要注意辨析學(xué)生的想法處于哪個認(rèn)知階段;再次，設(shè)計好問題引導(dǎo)學(xué)生體會現(xiàn)在用字母表示的是一定范圍內(nèi)的已知數(shù)。至此，融入式運(yùn)用數(shù)學(xué)史進(jìn)行“用字母表示數(shù)”的教學(xué)設(shè)計便水到渠成了。

融入式運(yùn)用數(shù)學(xué)史，數(shù)學(xué)史成為了推進(jìn)教學(xué)的內(nèi)在依托和厚實背景，需要教者站在歷史的高度，理清數(shù)學(xué)知識的來龍去脈和數(shù)學(xué)思想的演進(jìn)走向，把握所教內(nèi)容的本質(zhì)，然后設(shè)計情境，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識產(chǎn)生、發(fā)展的過程，在人類認(rèn)知提升的關(guān)鍵節(jié)點上給予學(xué)生充分的時間和空間，讓他們運(yùn)用已有的知識、經(jīng)驗、方法去思考、探索、交流，從而生成深度的數(shù)學(xué)理解，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

數(shù)學(xué)史運(yùn)用的三種方式雖然在層次上有區(qū)別，但相互之間并不對立互斥，它們既可以獨立運(yùn)用，也可以在一節(jié)課中綜合運(yùn)用。特別需要注意的是，數(shù)學(xué)史的三種運(yùn)用方式各具價值，鏈接式和再現(xiàn)式運(yùn)用數(shù)學(xué)史的難度并不大，但對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)同樣頗具意義。