基于相位恢復的光學元件面形檢測技術研究

范 琦，王云飛，楊百愚，楊鴻儒，黎高平，姜昌錄

（1.空軍工程大學 理學院，陜西 西安710051；2.西安應用光學研究所，陜西 西安710065）

引言

相位恢復測量是一種新興的測量手段，是相位恢復技術在鏡面測量領域的應用［1－6］。它通過采集被測鏡反射或者透射的光場強度，由相位恢復算法計算出被測鏡的面形分布。相位恢復測量系統(tǒng)通常由照明光源、被測鏡以及圖像采集器（如CCD）組成。與干涉測量相比，它的結構簡單（無需參考光路），抗震動能力強，能直接測量非球面，還可以達到和干涉儀測量結果相當?shù)木?。這些優(yōu)勢使人們非?？春脤⑾辔换謴蜏y量技術應用于在位測量工具等方面。相位恢復技術曾成功診斷及校正哈勃望遠鏡（Hubble space telescope）的像差［6］，并被美國航天局應用于下一代拼接式大型空間望遠鏡詹姆斯·韋伯（James Webb space telescope）的加工與裝配［7］。目前相位恢復技術在光學鏡面加工測量方面的研究還處于起步階段，相關的基本問題還需要進一步探討。

相位恢復算法主要基于標量衍射的角譜理論的數(shù)字實現(xiàn)和數(shù)學上的最優(yōu)化方法，其用于光學元件面形檢測的基本原理是，從記錄的光場的強度信息恢復出光場的相位信息，恢復精度和計算次數(shù)由最優(yōu)化算法給出。本文從標量衍射的角譜理論出發(fā)，研究相位恢復用于光學元件面形檢測的算法實現(xiàn)和實驗。

1 原理

角譜理論是從光波場的二維傅里葉分析出發(fā)，將光路中輸入平面和輸出平面上的光波場看成是由不同權重的沿不同方向傳播的平面光波疊加而成（見圖1所示），從而使得光波場的傳播問題變?yōu)檠芯枯斎雸龉獠ǖ母道锶~變換與輸出場光波的傅里葉變換之間關系的問題［8－9］。

圖1 平面波假設示意圖Fig.1 Schematic diagram of assumed plane wave

對任一光波場U（x，y，z），它和初始位置光波場U（x，y，0）的關系可由傅里葉變換表示為

式中：F－1｛｝和F｛｝分別為傅里葉逆變換和傅里葉變換，即為標量衍射的角譜傳播公式。頻譜傳遞函數(shù)為

相位恢復算法是通過記錄兩幅光場的強度信息和它們之間的距離，然后假設一個相位初值，應用標量衍射理論的角譜算法在2個記錄面之間進行迭代計算，當達到計算結束條件時，停止計算，此時所得的相位即認為是記錄面的相位信息，由此相位信息即可獲得待測光學元件的面形信息。具體數(shù)學描述如下。

在光學元件反射光的傳播光路上記錄兩幅強度圖像，分別記為I1和I2，兩記錄平面之間的距離記為d，如圖2所示，圖2中z為光波傳播方向。

假設I1和I2處的光場復振幅分布分別為U1（x，y）和U2（x，y），則按照角譜衍射公式，兩光波場的復振幅之間的關系為

圖2 兩光波強度記錄示意圖Fig.2 Recorded diagram of two light intensities

式中 H1（fx，fy）和 H2（fx，fy）為頻譜傳遞函數(shù)，其具體表達式為

式中：fx，和fy分別為x和y方向的空間頻率；λ為所用的激光波長；d為兩記錄面之間的距離。

假設I1處的相位為φ0（x，y），則此記錄平面處的復振幅U1（x，y）為

將（5）式代入（3a）式可計算出I2記錄平面處的復振幅U′2（x，y），可表示為

將（6）式中的A′2用實際記錄的強度I2的平方根代替，相位項不變，并令

將（7）式代入（3b）式可計算出I1記錄平面處的復振幅U′1（x，y），可表示為

將（8）式中的A′1用實際記錄的強度I1的平方根代替，相位項不變，并令

2 實驗

對一凹面鏡進行測量，實驗光路如圖3所示，測試裝置如圖4所示。氦氖激光器發(fā)出的光束經顯微物鏡匯聚到10μm的針孔上，形成標準球面光波，將此標準球面光波照射到待測鏡上，其反射光波經分光棱鏡透射后的匯聚點仍在針孔處，其反射光波經分光棱鏡反射后的光波由CMOS探測器記錄，CMOS探測器裝在三維位移平臺上。

圖3 實驗光路圖Fig.3 Light ray diagram of experiment

圖4 測試裝置圖Fig.4 Diagram of test device

由裝置4記錄到的光強分布如圖5所示。圖5（a）和圖5（b）分別為焦點后2mm處的光強分布和焦點后2.5mm處的光強分布。

圖5 記錄的不同位置處的光強分布Fig.5 Recorded light intensity distributions of different locations

由圖5（a）和圖5（b）所示的光強分布，應用第二部分的原理，可得焦點后2mm處的相位分布，其與標準球面之間的偏差如圖6所示。圖6（a）和圖6（b）分別為二維和三維相位偏差分布圖。

圖6 恢復波前與理想球面之間的偏差Fig.6 Retrieved wavefront's deviation from ideal spherical surface

波面擬合實質上就是把攜帶測量表面信息的離散點采樣數(shù)據(jù)擬合成與實際波面盡可能一致的數(shù)學上的波面函數(shù)。由于在光學表面檢測的絕大多數(shù)情況中，被測光學表面或光學系統(tǒng)的出射光波面總是趨于光滑和連續(xù)的，因此，這樣的波面函數(shù)一定可以表達成一個完備的基底函數(shù)的線性組合，或一個線性無關的基底函數(shù)的線性組合。在眾多類似的研究中，研究者曾選擇過許多不同類型的基底函數(shù)擬合光學干涉波面。然而，在光學測量問題中最終都選擇了Zernike多項式作為對被測光學波面擬合的基底函數(shù)系數(shù)。最直接的理由是，實踐表明Zernike多項式對光學問題中有關光學波面的擬合精度最高，其本質原因是Zernike多項式有這樣幾個特點：1）Zernike多項式在單位圓上正交，正交性使擬合多項式的系數(shù)能相互獨立，從而避免了系數(shù)之間的耦合造成其物理意義的混淆不清；2）Zernike多項式自身所特有的旋轉對稱性，使之對光學問題的求解過程中一般均具有良好的收斂性；3）Zernike多項式與初級像差有著一定的對應關系［10－13］。

極坐標形式的Zernike多項式的具體表達式如下：

應用上述定義可以計算出n和l取不同值時的Zernike多項式，同時對Zernike多項式的排序有不同種，不同單位使用不同的順序。本文采用表1所示的順序，表1僅給出了前6項。

表1 前6項Zernike多項式Table 1 First 6 terms of Zernike polynomial

應用Zernike多項式的線性組合可以擬合任意的波前函數(shù)。如果得到的波前函數(shù)為w（x，y），則它可表示為Zernike多項式的線性組合，即

式中：zj為第j項Zernike多項式；aj為相應項的系數(shù)；x＝ρsin（θ），y＝ρcos（θ），在實際應用中p常取36。（13）式可以表示為矩陣的形式：

W＝Z＊A （14）式中：W 為所有測量數(shù)據(jù)（N個）構成的列向量；Z為由Zernike多項式構成的N×p系數(shù)矩陣；A為p×1的Zernike系數(shù)列向量。對于（14）式，只要求出系數(shù)矩陣Z的廣義逆矩陣，就可獲得系數(shù)列向量A：

應用此方法對圖6所示的測量波前進行擬合，所得結果如圖7所示。

圖7 Zernike擬合后的結果Fig.7 Result of Zernike fitting

3 結論

相位恢復算法用于光學檢測和測量具有獨特的優(yōu)點。它通過采集被測鏡反射或者透射的光場強度，由最優(yōu)化算法計算出被測鏡的面形分布或恢復出光波的波前相位分布。相位恢復測量系統(tǒng)與干涉測量系統(tǒng)相比，它的結構簡單（無需參考光路），抗震動能力強，并可以達到和干涉儀相當?shù)木?。這些優(yōu)勢使人們非?？春脤⑾辔换謴蜏y量技術應用于在位測量方面。本文用標量衍射的角譜理論，研究了基于兩幅光強分布的相位恢復算法，并將此算法應用到光波的波前及光學元件面形的檢測中。實驗研究了球面光波波前的相位恢復及面形檢測。采用求廣義逆矩陣的方法，完成了光學元件面形的Zernike擬合。后續(xù)的工作是需要研究此方法所得檢測結果與Zygo干涉儀檢測結果的比較，并探討提高此方法檢測精度的途徑。

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