數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)學(xué)習(xí)：提供數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“原動力”

朱 琦

（常州市白云小學(xué),江蘇 常州 213000）

培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)觀念，是數(shù)學(xué)課程理念之一。影響學(xué)生數(shù)學(xué)觀念的要素是多方面的?！皩W(xué)生的知識、思維和觀念的縱向聯(lián)結(jié)如同科學(xué)結(jié)構(gòu)的演進，相當(dāng)于是一個從知識的籠統(tǒng)綜合到思維分化再到觀念整合的過程。”[1]隨著數(shù)學(xué)課改的深入，知識、思維和觀念的聯(lián)結(jié)越來越受到數(shù)學(xué)教師的重視?！盎跀?shù)學(xué)學(xué)科特點的聯(lián)結(jié)學(xué)習(xí)”，即教師幫助學(xué)生“發(fā)現(xiàn)知識、思維和觀念間的聯(lián)結(jié)”；以知識網(wǎng)絡(luò)狀的結(jié)構(gòu)存在于學(xué)生頭腦中；從而獲得知識、更新知識、精確知識，形成技能，逐步實現(xiàn)數(shù)學(xué)觀念的培養(yǎng)和對數(shù)學(xué)思想方法的感悟。但由于指導(dǎo)方法的缺失、教學(xué)策略的單一等原因，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，割裂知識、思維和觀念之間聯(lián)系的現(xiàn)象還是屢見不鮮，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)呈現(xiàn)被動狀態(tài)較為常見。如何恢復(fù)學(xué)生主動學(xué)習(xí)的“內(nèi)在動力”，一個重要的策略就是讓學(xué)生嘗試“數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)學(xué)習(xí)”。

一、數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)學(xué)習(xí)的基本要素

數(shù)學(xué)的聯(lián)結(jié)學(xué)習(xí)是將數(shù)學(xué)看作是知識內(nèi)部相互聯(lián)結(jié)的統(tǒng)一學(xué)科，如：數(shù)與形是緊密相連的；通過轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)知識的表征形式，發(fā)現(xiàn)相互聯(lián)系的數(shù)學(xué)主題；數(shù)學(xué)是一種與生活情境密切相關(guān)的知識體，只有將數(shù)學(xué)與學(xué)習(xí)者所體驗的具體情境聯(lián)結(jié)起來，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才更有效。數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)包括：陳述性與程序式知識的聯(lián)結(jié)；日常中的生活數(shù)學(xué)；與其他學(xué)科融合中的數(shù)學(xué)應(yīng)用，要用數(shù)學(xué)的思維模式解決其他學(xué)科中出現(xiàn)的問題。

數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)學(xué)習(xí)的四個基本要素：問題情境、概念、整合、應(yīng)用。

1.問題情境。良好的問題情境不僅要能促成學(xué)生的深度理解，“為吸收或同化其他學(xué)習(xí)材料提供理想的框架”[2]，有利于學(xué)生逐漸從記住事實性知識走向把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)和核心意義；而且應(yīng)當(dāng)具有“變式”性，通過改變問題情境的表征形式，基本知識點的中心性保持不變，使學(xué)生在對各種問題進行思考的同時，加強對知識點本質(zhì)的認(rèn)識。

2.概念。概念是反映客觀事物本質(zhì)屬性的思維形式。數(shù)學(xué)概念是反映現(xiàn)實世界空間形式和數(shù)量關(guān)系本質(zhì)屬性的思維形式。概念不同于感知，感知是具體的、直接的，概念卻是抽象的、概括的。抽象性和概括性是概念不同于感知的重要特征。概念所反映的對象本質(zhì)屬性的總和（即概念所反映的對象的質(zhì)的方面）是概念的內(nèi)涵；概念所反映的對象的全體（即概念所指的對象的范圍或集合）是概念的外延。概念形式抽象，內(nèi)容豐富，概念與概念間又有著多種錯綜復(fù)雜的關(guān)系，通過數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)學(xué)習(xí)，可以達到建構(gòu)概念的效果。

3.整合。在數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)學(xué)習(xí)中，陳述性知識與程序式知識的聯(lián)結(jié)，知識與思維聯(lián)結(jié)，思維與觀念聯(lián)結(jié)，數(shù)學(xué)與其他學(xué)科聯(lián)結(jié)，各種零散的知識可以進行整合，生成新的意義。

4.應(yīng)用。數(shù)學(xué)知識只有在應(yīng)用的過程中才能體現(xiàn)它的價值。學(xué)生能有效運用數(shù)學(xué)知識綜合解決問題的過程，其本質(zhì)是將知識以結(jié)構(gòu)化的方式貯存和提取，實現(xiàn)“知識”與“技能”的聯(lián)結(jié)。

二、數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)學(xué)習(xí)的基本類型

（一）問題情境下的“三段式”橫向數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)學(xué)習(xí)

問題情境下的橫向數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)學(xué)習(xí)從實踐操作層面上分為三個階段。

第一階段：由構(gòu)建認(rèn)知沖突引入新課的問題情境，激活知識點之間的相互聯(lián)結(jié)。教師在充分了解學(xué)生已有知識水平的基礎(chǔ)上，提出富有挑戰(zhàn)性的問題情境，使得學(xué)生在未知知識與已知知識、生活中的數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部知識之間產(chǎn)生認(rèn)知沖突，從而初步形成知識與知識的聯(lián)結(jié)，調(diào)動學(xué)生的好奇心和求知欲。

案例1就是一個利用問題情境的提出進行知識與知識之間聯(lián)結(jié)的案例，聚焦于周長與面積教學(xué)的引入，體現(xiàn)知識與知識的聯(lián)結(jié)。

[案例1]張大爺要用36米的柵欄圍花圃，要請同學(xué)們幫助設(shè)計面積最大的花圃。同學(xué)們，你能用自己所學(xué)的知識幫助解決張大爺設(shè)計花圃嗎？為此，同學(xué)們的任務(wù)是：（1）畫出該情境的草圖；（2）清晰地描述出你怎樣利用所學(xué)知識來解決這個問題；（3）利用你所想到的方法解決這個問題。

在引入問題情境并提出任務(wù)的過程中，知識與知識間的聯(lián)結(jié)有：數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部知識的聯(lián)結(jié)——周長和面積知識的聯(lián)結(jié)；數(shù)學(xué)概念與幾何問題的聯(lián)結(jié)；日常生活中的知識與數(shù)學(xué)知識的聯(lián)結(jié)——周長、面積知識在圖形設(shè)計中的應(yīng)用。在這些知識聯(lián)結(jié)過程中，學(xué)生的好奇心、求知欲被激發(fā)，自主探究的動力系統(tǒng)得到加強，利于第二層次思維間的聯(lián)結(jié)。

第二階段：任務(wù)驅(qū)動的問題情境，促使思維與思維間的靈活聯(lián)結(jié)，調(diào)動學(xué)生獨立思考的積極性。

教師在學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)提出問題，讓學(xué)生積極思維，進行思維與思維間的聯(lián)結(jié)。在這個過程中，教學(xué)強調(diào)學(xué)生對數(shù)學(xué)抽象知識或結(jié)合具體情境進行獨立探索。

案例2是一個利用問題情境的提出進行思維與思維之間聯(lián)結(jié)的案例。

[案例2]教師出示一幅圖（參見圖1），有4個相同的圓，半徑都是2厘米，你能提出什么問題？又該怎樣解決？

圖1

這個案例在學(xué)生提出問題后，首先提出自己的猜想，根據(jù)所有的已知信息對猜想進行檢驗。在提出簡單的問題被證實其正確性后，學(xué)生會對問題進行改進、完善和加工，從而提出更復(fù)雜的猜想。但復(fù)雜的猜想是否正確，就需要學(xué)生就所有的已知信息對新的猜想再次進行檢驗……如此周而復(fù)始，直到問題得到全部解決。在聯(lián)結(jié)學(xué)習(xí)中，這個完成自己提出的問題的過程首先是學(xué)生獨立思考的過程，更強調(diào)了學(xué)生的獨立探索。在學(xué)生進行猜想、證明猜想、推翻猜想、明確結(jié)果的過程中，聯(lián)結(jié)權(quán)重不斷發(fā)生著改變，學(xué)生的思維一直是處于積極聯(lián)結(jié)的狀態(tài)中。

第三階段：以更新觀念構(gòu)建反思的問題情境，提升觀念與觀念間的更新聯(lián)結(jié)。這一階段主要是屬于生生、師生之間交流的階段，對問題的交流實質(zhì)上包括了知識與知識的交流，思維與思維的交流。對于學(xué)生個體來講，或許是經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題并探究問題后的觀念建構(gòu)，也可能是在其他同學(xué)或教師的提示下獲得新知識或轉(zhuǎn)變新視角。

需要說明的是橫向聯(lián)結(jié)的三個階段是一個良性循環(huán)系統(tǒng)，不是相互孤立的。各種聯(lián)結(jié)都可能蘊涵在每一個階段中；每一個階段里，也不會只單純地發(fā)生一種聯(lián)結(jié)。

（二）創(chuàng)新意識下的縱向數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)學(xué)習(xí)

“思維到觀念的聯(lián)結(jié)本質(zhì)上是量與質(zhì)的聯(lián)結(jié)”，教師要引導(dǎo)學(xué)生對已習(xí)得的知識進行總結(jié)和評價，注重創(chuàng)新意識的有序性和階梯性的培養(yǎng)，只有在知識、思維和觀念相互聯(lián)結(jié)的過程中，才會使學(xué)生從思維的創(chuàng)新意識順利過渡到對觀念的創(chuàng)新意識。

1.以數(shù)學(xué)本質(zhì)為基點，構(gòu)造本源性問題，加強知識與思維聯(lián)結(jié)的緊密度，為學(xué)生提供思維創(chuàng)新的空間

本源性問題不僅應(yīng)當(dāng)是“追根溯源”的，為吸收或同化其他學(xué)習(xí)材料提供理想的框架，有利于學(xué)生進行知識的上位學(xué)習(xí)，而且應(yīng)當(dāng)具有“變式”性，可以是標(biāo)準(zhǔn)屬性變式，也可以是非標(biāo)準(zhǔn)屬性變式。本源性問題情境主要具有這樣一些功能：（1）建構(gòu)知識的功能：即利用本源性問題能加深學(xué)生對相應(yīng)數(shù)學(xué)本質(zhì)的“問題群”進行深入理解和解釋。在知識和思維進行聯(lián)結(jié)時，本源性問題的提出有助于思維的發(fā)散，因而為思維的創(chuàng)新提供了更大的空間。（2）應(yīng)用功能：“在知識與思維聯(lián)結(jié)的過程中，同時揭示了知識應(yīng)用的條件。”[3]當(dāng)學(xué)生體會到數(shù)學(xué)知識能成功地解決現(xiàn)實問題，應(yīng)用于現(xiàn)實中，那么學(xué)生在探索數(shù)學(xué)與現(xiàn)實的聯(lián)結(jié)過程中便會產(chǎn)生更加積極的情感。

2.以問題的程序性為基礎(chǔ)，構(gòu)造“大問題”情境，加強思維與觀念聯(lián)結(jié)的相通度，為學(xué)生提供觀念創(chuàng)新的階梯

構(gòu)建“大問題”情境，就是將若干個相互聯(lián)結(jié)的子問題（或步驟）或解決某個問題的完整思維過程整合成一個復(fù)雜的、難度較大的開發(fā)性問題。

下面是兩位教師對于《圓的認(rèn)識》同課異構(gòu)的教學(xué)案例：

[案例1]

教師A：在學(xué)習(xí)圓內(nèi)直徑和半徑的相關(guān)聯(lián)系時，教師替各小組準(zhǔn)備了圓片、直尺、圓規(guī)等研究材料，讓學(xué)生自己動手折一折，畫一畫，量一量，比一比，如果在研究中有問題的，可拿出信封里的“友情提示”參考。小組研究后，全班交流。教師根據(jù)學(xué)生給出的結(jié)論進行有條理的板書，并結(jié)合發(fā)現(xiàn)讓其他學(xué)生一起來體會。

[案例2]

教師B：在學(xué)習(xí)圓內(nèi)直徑和半徑的相關(guān)聯(lián)系時，教師替各小組準(zhǔn)備了圓片、直尺、圓規(guī)等研究材料并立即提出了3個研究問題：1.在同一個圓內(nèi)，半徑和直徑是什么關(guān)系？2.在同一個圓內(nèi)，有多少條直徑？有多少條半徑？3.圓是軸對稱圖形嗎？有多少條對稱軸？

這兩位教師都為學(xué)生學(xué)習(xí)圓的特點給予了幫助，前者提出“大問題”，采取大膽放手讓學(xué)生自己獨立探索，合作交流的教學(xué)方法，后者采用小步走的教學(xué)方法，教師設(shè)計好了學(xué)生研究的問題，讓學(xué)生圍著教師給的問題去研究。顯然，不夠開放的教學(xué)空間勢必給學(xué)生的發(fā)展產(chǎn)生制約。筆者對這兩節(jié)課感興趣的就是關(guān)于這個問題的開放處理，學(xué)生是否能根據(jù)自己的動手操作發(fā)現(xiàn)第二位教師所提出的所有問題，第一位教師給出的答案是肯定的，同時還有學(xué)生能發(fā)現(xiàn)超出教師預(yù)設(shè)范圍的其他問題或者還有其他體會。如在交流中就有學(xué)生提出“不論多大的圓，它都是有圓心的”這么富有個性化的理解和表達，這是學(xué)生靈感和智慧的外顯，是對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種超越和真正的創(chuàng)造。課堂的生命力來自于對事件或事實的感受、體驗，來自于對問題的敏感、好奇，來自于情不自禁的、豐富活躍的猜想、假設(shè)、直覺，來自于不同觀點的碰撞、爭辯、啟迪、認(rèn)同，更來自于探究體驗中時而山窮水盡，時而柳暗花明的驚喜和喜悅，這就是“大問題”引領(lǐng)下的開放課堂所呈現(xiàn)出的“不可預(yù)約的生成”。在思維與觀念聯(lián)結(jié)過程中，“大問題”的情境可以使學(xué)生在獨立思考、交流過程中，一步步由思維意識的創(chuàng)新提高到觀念意識的創(chuàng)新。

3.以問題的反思性為動力，引導(dǎo)學(xué)生對已獲取的知識進行總結(jié)、反思及應(yīng)用，加強觀念與知識聯(lián)結(jié)的吻合度，為學(xué)生提供知識創(chuàng)新的契機

當(dāng)學(xué)生掌握了一定的知識內(nèi)容后，會因為知識的增多導(dǎo)致觀念的結(jié)構(gòu)重組。此時教師應(yīng)及時引導(dǎo)學(xué)生對已獲取的知識進行總結(jié)、反思及應(yīng)用，可以采取學(xué)生個人總結(jié)并進行自評，再在小組內(nèi)進行討論，進行組內(nèi)成員評價。在此過程中，學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)會更清晰，更完善，為日后知識的創(chuàng)新提供保障。

數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)學(xué)習(xí)遵循數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)結(jié)方式，遵循學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)在規(guī)律，提供給學(xué)生“學(xué)習(xí)動力”，促進學(xué)生的思維向更深處發(fā)展，從而提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)?！?/p>

[1][3]劉娟娟.聯(lián)結(jié)學(xué)習(xí)對培養(yǎng)初中學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識的影響[D]：[碩士學(xué)位論文].桂林：廣西師范大學(xué),2004.

[2]賈林祥.認(rèn)知心理學(xué)的聯(lián)結(jié)主義理論研究[D]：[碩士學(xué)位論文].南京：南京師范大學(xué),2002.