預(yù)防性維護(hù)與備件管理聯(lián)合數(shù)學(xué)優(yōu)化研究

鄭軍輝?張永軍?趙興兵

摘 要：預(yù)防性維修需要一定數(shù)量備件庫(kù)存。若庫(kù)存?zhèn)浼?shù)少于預(yù)防性維修周期內(nèi)所需備件數(shù)，那么在缺失備件到貨前，待修系統(tǒng)將經(jīng)歷非必要停機(jī)，生產(chǎn)遭受非必要損失。另外，若庫(kù)存?zhèn)浼?shù)量大于預(yù)防性維修周期內(nèi)所需備件數(shù)量，會(huì)導(dǎo)致非必要的備件庫(kù)存費(fèi)用。理想狀態(tài)是庫(kù)存?zhèn)浼?shù)量恰等于預(yù)防性維修周期內(nèi)所需備件數(shù)。然而，故障（維修）次數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，使得確定備件確切數(shù)量變得困難。本文在前輩所建模型的基礎(chǔ)上，利用更新函數(shù)以及數(shù)學(xué)分析手段，討論如何確定預(yù)防維修周期初始，最優(yōu)庫(kù)存?zhèn)浼?shù)量，繼而使得整個(gè)周期內(nèi)總費(fèi)用最??；并對(duì)基于最小停產(chǎn)損失的預(yù)防性維護(hù)體系優(yōu)化模型進(jìn)行研究。

關(guān)鍵詞：預(yù)防性維護(hù)；備件管理；聯(lián)合優(yōu)化；可靠性優(yōu)化

Abstract： Preventive maintenance needs a certain amount of spare parts inventory. If the spare parts inventory less than the preventive maintenance cycle required， so before the unavailable items arrival， the system will undergo unnecessary downtime， bring unnecessary production losses. In addition， if the spare parts inventory is greater than the preventive maintenance cycle required， will lead to unnecessary spare parts inventory costs. Spare parts inventory quantity equaling to the required amount of spare parts in the preventive maintenance cycle is ideal. However， fault （maintenance） is a random variable； make it difficult to determine the exact amount of spare parts. In this paper， on the basis of predecessors and the existing model， using the update function and mathematical analysis method， study how to determine the optimal amount of spare parts inventory at the start of preventive maintenance period， then get the whole cycle minimum total cost. And research the optimization model of the minimum loss preventive maintenance system.

Key Words： Preventive Maintenance， Spare-parts Management， Joint Optimization， Reliability Optimization

1 引言

庫(kù)存管理作為一項(xiàng)重要研究?jī)?nèi)容，把它和維護(hù)策略相聯(lián)合研究已經(jīng)受到國(guó)際維護(hù)領(lǐng)域極大關(guān)注，單從21世紀(jì)初的五年中，接連有十余篇國(guó)際著名期刊（例如 IEEE Transactions，IIE Transactions等）報(bào)道學(xué)者們的研究成果。聯(lián)合研究首先可以得到全局最優(yōu)，而不像局部最優(yōu)。另外，研究表明，聯(lián)合研究往往會(huì)較大地節(jié)約成本，減少費(fèi)用。

2003年，Brezavscek & Hudoklin[1]建立了庫(kù)存?zhèn)浼驮O(shè)備零件批量更換聯(lián)合優(yōu)化策略之解析形式數(shù)學(xué)模型，其中決策變量為成批更換周期和最大庫(kù)存量。該模型將訂貨提前期固定，對(duì)周期維護(hù)和庫(kù)存?zhèn)浼?lián)合優(yōu)化問題進(jìn)行了深入研究，給出了聯(lián)合模型的解析形式，提供了一個(gè)解決維護(hù)聯(lián)合優(yōu)化問題的新途徑，并將研究成果成功應(yīng)用于歐洲電氣火車部件維護(hù)和庫(kù)存聯(lián)合管理上。

流程型生產(chǎn)系統(tǒng)的可靠度在頗大程度上受其結(jié)構(gòu)、材料質(zhì)量及其構(gòu)成零部件的可靠度影響，但系統(tǒng)之可用度除受以上因素影響外，在某些程度上還與有效的預(yù)防性維修和檢測(cè)密不可分[2，3]。以可靠性理論為基礎(chǔ)進(jìn)行預(yù)防性維修策略優(yōu)化模型研究，在故障時(shí)間分布基礎(chǔ)上也許存在一個(gè)最優(yōu)的PM，或者基于維修成本最最優(yōu)、或者基于綜合成本最優(yōu)，或稱最小停機(jī)時(shí)間模型。預(yù)防性維修是在提前確定的時(shí)間間隔內(nèi)進(jìn)行，這些時(shí)間間隔是基于歷史數(shù)據(jù)、系統(tǒng)故障時(shí)間分布、經(jīng)濟(jì)模型或可用度模型來估計(jì)的。本文在數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上，研究如何確定最優(yōu)的PM時(shí)間間隔，使得停機(jī)時(shí)間最小，繼而停機(jī)損失最小。

2 預(yù)防性維修與備品備件數(shù)量?jī)?yōu)化模型研究

2.1 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)[4，5]

單位時(shí)間內(nèi)總費(fèi)用表達(dá)式：

式中和分別是預(yù)防性更換的費(fèi)用和故障更換的費(fèi)用。為更新函數(shù)，可以通過積分更新方程與故障時(shí)間分布F（t）求得。

基本更新方程：

更新密度 是的導(dǎo)數(shù)：

即：

或：

式中是時(shí)間段 內(nèi)發(fā)生一次更新的概率。對(duì)于泊松過程來說更新密度就是泊松比λ。

2.2 優(yōu)化模型研究

設(shè)代表在周期內(nèi)因故障引起的更換次數(shù)，則每個(gè)預(yù)防性維護(hù)周期需要的備件數(shù)量為。假設(shè)初始備件庫(kù)存為L(zhǎng) 個(gè)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)預(yù)防性維護(hù)周期結(jié)束時(shí)，庫(kù)存費(fèi)用恰為零；否則會(huì)產(chǎn)生備件儲(chǔ)存或備件缺乏費(fèi)用（庫(kù)存中沒有需要的備件造成的損失）。定義為隨偏離0逐漸遞增之懲罰函數(shù)（Penalty Function）[6]。據(jù)Taguchi、Elsayed， Hsiang給出的損失函數(shù)及Murthy函數(shù)[7]，且設(shè)每個(gè)多余備件的存儲(chǔ)費(fèi)用=每個(gè)備件的短缺費(fèi)用（實(shí)際情況可能不同），可將判決函數(shù)g寫為：

因?yàn)?是一個(gè)隨機(jī)變量，所以，判決函數(shù)的預(yù)計(jì)值：

即

式中pn是的概率。總費(fèi)用是兩部分的和：?jiǎn)挝粫r(shí)間系統(tǒng)平均費(fèi)用及與備件數(shù)量相關(guān)之懲罰費(fèi)用（Penalty Cost）。所以，總費(fèi)用表達(dá)式為：

其中a是一個(gè)比例因子，當(dāng)a=0時(shí)，無懲罰費(fèi)用，a值越大，就意味著因備件短缺和過剩引起的懲罰費(fèi)用越高。明顯，最優(yōu)預(yù)防維護(hù)周期tp是a的函數(shù)，最優(yōu)值和可以通過對(duì)tp和L求解TC最小值求得。

可寫為：

式中 且 是的方差。所以，

預(yù)防維修周期開始時(shí)，其最優(yōu)備件數(shù)量可以通過令求得。

即：

由此表明在預(yù)防性維修周期內(nèi)，最優(yōu)備件數(shù)量須等于預(yù)計(jì)維修（故障）數(shù)。

同理，對(duì)于給定的a，最優(yōu)預(yù)防維修周期長(zhǎng)度可以通過令求解。

式中 ，求解上式可得最優(yōu)值 。

2.3 應(yīng)用舉例引入優(yōu)化模型

在制藥及食品行業(yè)中，對(duì)衛(wèi)生等級(jí)要求非常高，一些公用設(shè)施例如純水機(jī)組、無油壓縮機(jī)組等都地非常關(guān)鍵的設(shè)備，因?yàn)榇祟惞迷O(shè)施停機(jī)會(huì)導(dǎo)致大面積甚至全廠停產(chǎn)，生產(chǎn)損失會(huì)造成很高費(fèi)用。高速壓縮機(jī)的異形雙旋齒葉輪會(huì)產(chǎn)生疲勞裂紋。葉輪疲勞壽命可以通過振動(dòng)疲勞實(shí)驗(yàn)中振幅與頻率的乘積（AF值）來評(píng)估。若一個(gè)葉輪表現(xiàn)出非常低的AF值，那么應(yīng)當(dāng)更換葉輪以避免裂紋擴(kuò)展。因?yàn)橹芷谛蚤_展疲勞實(shí)驗(yàn)費(fèi)用昂貴，所以維修人員通常根據(jù)預(yù)防性維修計(jì)劃中的時(shí)間更換葉輪。當(dāng)預(yù)防性維修周期結(jié)束時(shí)更換葉輪的費(fèi)用是$250，而在期中更換的費(fèi)用是$1000。相鄰故障之間隔時(shí)間用參數(shù)λ=0.005的二階Erlang分布來表達(dá)。設(shè)a=0.8，使得總費(fèi)用最小之最優(yōu)備件數(shù)量及預(yù)防性維修周期。利用模型來求解：

二階Erlang分布的概率密度函數(shù)如下：

預(yù)防維修周期tp中的預(yù)計(jì)故障數(shù)：

∴

故障數(shù)的方差依據(jù)Cox（1962）[81]所討論結(jié)果獲得

將以上兩式代入

可得

代入數(shù)值得

求得： （h）

對(duì)應(yīng)預(yù)防維修周期內(nèi)之預(yù)計(jì)故障數(shù)是0.163。所以，最優(yōu)備件數(shù)量為1.163，這個(gè)數(shù)值代表每個(gè)運(yùn)行單元的備件數(shù)量。

此模型運(yùn)算的困難是預(yù)防性維修周期tp內(nèi)，其預(yù)計(jì)故障數(shù)方差的估計(jì)。Cox（1962）[8]給出此方差的漸進(jìn)解，此解是關(guān)于故障時(shí)間分布均值和標(biāo)準(zhǔn)差的一個(gè)函數(shù)，表達(dá)式如下：

3 基于最小停產(chǎn)損失的預(yù)防性維護(hù)體系優(yōu)化模型研究

對(duì)于流水線生產(chǎn)系統(tǒng)，某些企業(yè)因?yàn)橥C(jī)導(dǎo)致產(chǎn)量損失，相比較維修費(fèi)用而言產(chǎn)量損失更加重要，通常采用周期性檢測(cè)與預(yù)防性維修相結(jié)合的維護(hù)方法，檢測(cè)能夠及時(shí)地給決策部門提供準(zhǔn)確的信息。此類情況下，檢測(cè)是周期性地進(jìn)行的。當(dāng)檢測(cè)到部件故障時(shí)，對(duì)其進(jìn)行即時(shí)維修或安排預(yù)防性更換。假如在檢測(cè)期間沒有檢測(cè)到部件故障，那么檢測(cè)期間的停機(jī)將導(dǎo)致產(chǎn)量損失費(fèi)用（相比產(chǎn)量損失檢測(cè)費(fèi)用可忽略）。顯然，頻繁檢測(cè)可以減少故障損失費(fèi)用但會(huì)增加非故障停機(jī)損失，繼而影響總費(fèi)用。因此需要一個(gè)檢測(cè)計(jì)劃，使得檢測(cè)到故障時(shí)其預(yù)計(jì)費(fèi)用最小，并且，假設(shè)檢測(cè)到故障時(shí)要更換部件，也應(yīng)使費(fèi)用最少。

3.1 優(yōu)化模型研究

試考慮一系統(tǒng)，通過周期性檢測(cè)來判斷是否需要進(jìn)行維修或更換，同時(shí)在必要之情況下對(duì)其進(jìn)行預(yù)防性維修。假設(shè)在檢測(cè)后，組件和檢測(cè)前比壽命相同之概率為p，和新組件壽命相同之概率為q（Nakagawa，1984）[9]。需要估計(jì)該部件的故障前工作時(shí)間及故障前預(yù)計(jì)檢測(cè)次數(shù)，需要估計(jì)總預(yù)計(jì)費(fèi)用及檢測(cè)到故障時(shí)的單位時(shí)間內(nèi)預(yù)計(jì)費(fèi)用，還需要求解使預(yù)計(jì)費(fèi)用最小之最優(yōu)檢測(cè)次數(shù)。

假設(shè)被檢測(cè)之系統(tǒng)在t=0時(shí)刻開始運(yùn)行，在時(shí)刻kT（k=1.2…）進(jìn)行檢測(cè)，其中T為常數(shù)且是之前確定好的。系統(tǒng)之累積故障時(shí)間分布函數(shù)為，均值有限且為。故障只能通過檢測(cè)發(fā)現(xiàn)，與連續(xù)兩次檢測(cè)之間時(shí)間長(zhǎng)度相比，檢測(cè)時(shí)間可以忽略（運(yùn)算中）。根據(jù)Nakagawa的研究（1984），通過以下式估計(jì)系統(tǒng)之平均故障前工作時(shí)間：

式中，式中第一項(xiàng)表示至系統(tǒng)故障時(shí)第次與第j次之間的平均時(shí)間，第二項(xiàng)表示系統(tǒng)第j次檢查后進(jìn)行更新之平均時(shí)間，在此之后系統(tǒng)便故障。通過對(duì)上式求解可得：

假如，則在每次檢測(cè)后，系統(tǒng)都如新，且有

相反，如果，則在每次檢測(cè)后，系統(tǒng)壽命不變，則：

由此，故障前之預(yù)計(jì)檢測(cè)次數(shù)可以通過下式獲得

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

假設(shè)c1為每次檢測(cè)需費(fèi)用而c2為未檢測(cè)到故障所造成費(fèi)用，即與單位時(shí)間內(nèi)故障間隔和檢測(cè)相關(guān)的費(fèi)用。檢測(cè)到故障時(shí)需總費(fèi)用可通過下式表達(dá)：

將和代入上式可得：

即

從上式可以看出，，表明其存在一有限的最優(yōu)值使得總預(yù)計(jì)費(fèi)用最小。Nakagawa（1984）給出：

因此

當(dāng)檢測(cè)到故障時(shí)，使單位時(shí)間內(nèi)預(yù)計(jì)費(fèi)用最小之最優(yōu)檢測(cè)時(shí)間間隔。此種情況下，由可得：

即

的極限為且。結(jié)合上式及一個(gè)給定的T值，對(duì)遞增型故障率來說單位時(shí)間內(nèi)預(yù)計(jì)費(fèi)用是p的增函數(shù)。∴

3.2 優(yōu)化模型應(yīng)用舉例

在制藥及食品行業(yè)中，對(duì)衛(wèi)生等級(jí)要求非常高，一些公用設(shè)施例如純水機(jī)組、無油壓縮機(jī)組等都地非常關(guān)鍵的設(shè)備，因?yàn)榇祟惞迷O(shè)施停機(jī)會(huì)導(dǎo)致大面積甚至全廠停產(chǎn)，生產(chǎn)損失人造成很高費(fèi)用，所以需要對(duì)機(jī)組進(jìn)行深度檢測(cè)；具體地說，以AtlasCopco壓縮機(jī)為例將檢測(cè)異形雙旋齒高速輪軸的潛在裂紋。輪軸的故障時(shí)間服從故障率為0.0005/h的指數(shù)分布。每次檢測(cè)費(fèi)用為$120，未檢測(cè)到故障所造成損失為$80，利用模型進(jìn)行求解：

（1） 使檢測(cè)到故障時(shí)，總預(yù)計(jì)費(fèi)用最小之最優(yōu)檢測(cè)時(shí)間間隔；

（2） 使檢測(cè)到故障時(shí)，單位時(shí)間內(nèi)預(yù)計(jì)費(fèi)用最小之最優(yōu)檢測(cè)時(shí)間間隔。

因?yàn)楣收蠒r(shí)間服從指數(shù)分布，則，對(duì)于p的任何值，可簡(jiǎn)化為：

可簡(jiǎn)化為：

使檢測(cè)到故障時(shí)，總預(yù)計(jì)費(fèi)用最小之最優(yōu)檢測(cè)時(shí)間間隔，是使最小的值，即

求得 。

利用可求得使檢測(cè)到故障時(shí)候，單位時(shí)間內(nèi)預(yù)計(jì)費(fèi)用最小的最優(yōu)檢測(cè)時(shí)間間隔為

可求得 。

因此，應(yīng)該以固定的77 h為周期，定期對(duì)雙旋齒輪軸進(jìn)行檢測(cè)。

4 小結(jié)

本文主要針對(duì)設(shè)備維護(hù)與備件庫(kù)存整合優(yōu)化策略和模型中關(guān)鍵問題展開研究，通過研究，豐富并發(fā)展了設(shè)備維護(hù)優(yōu)化的內(nèi)涵和外延。備件庫(kù)存和傳統(tǒng)維護(hù)策略的集成優(yōu)化研究，其中維護(hù)涉及到定期維護(hù)（成批更換維護(hù)策略）和事后維護(hù)（故障后更換策略）。分析了訂貨提前期確定的Brezavscek聯(lián)合維護(hù)策略和模型，以一個(gè)制藥企業(yè)空壓設(shè)備雙旋齒葉輪失效實(shí)例說明模型應(yīng)用，最后基于最小停產(chǎn)損失的預(yù)防性維護(hù)體系優(yōu)化模型研究，并實(shí)例說明模型應(yīng)用。

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作者簡(jiǎn)介

鄭軍輝（1981-），男，浙江寧波象山，助理講師，主要研究方向?yàn)闄C(jī)械數(shù)控模具。

張永軍（1978-），男，西安臨潼，工程碩士，主要研究方向?yàn)樵O(shè)備管理。