考慮供給風(fēng)險及銷售努力的動態(tài)定價問題研究

□慶艷華 左小德

[1.廣州中醫(yī)藥大學(xué) 廣州 510405; 2.暨南大學(xué) 廣州 510623]

引言

隨著科技的進(jìn)步和市場競爭的加劇，企業(yè)所面臨的環(huán)境變得更加復(fù)雜和不確定，從而導(dǎo)致供應(yīng)鏈風(fēng)險日益增長。不論哪種風(fēng)險發(fā)生在供應(yīng)鏈的哪個環(huán)節(jié)，都有可能對整個供應(yīng)鏈條造成巨大的影響。如何減少這種不確定性對企業(yè)的影響是學(xué)術(shù)界和企業(yè)同時面臨的嚴(yán)峻挑戰(zhàn)。盡管較多的研究是有關(guān)需求不確定的，但顯然不確定性并不是需求獨(dú)有的特征，供給也同樣具有這個特征。目前已經(jīng)有很多關(guān)于供給風(fēng)險的研究[1]。其中文獻(xiàn)[2]對比了確定的供給和不確定的供給情況下的供應(yīng)鏈系統(tǒng)績效，并證明穩(wěn)定的供給狀況會帶來更好的供應(yīng)鏈整體績效，不過該文獻(xiàn)采用的是固定定價策略[2]。而文獻(xiàn)[3]研究了一個反應(yīng)型的定價策略，它研究的是不確定的供給和確定的需求，并假設(shè)需求受價格的影響[3]。文獻(xiàn)[4]則更進(jìn)一步研究了同時面臨隨機(jī)供給和隨機(jī)需求情況下的動態(tài)定價策略，分析了不同情況下動態(tài)定價的應(yīng)用及供應(yīng)鏈系統(tǒng)的收益[4]。國內(nèi)較多的研究是關(guān)于供應(yīng)鏈風(fēng)險的，而供給風(fēng)險的研究相對較少。其中文獻(xiàn)[5]的研究涉及到了供給的風(fēng)險，探討了供應(yīng)商違約問題，即供應(yīng)商無法保證供給的情況對供應(yīng)鏈產(chǎn)生的影響[5]。

過去的研究表明，動態(tài)定價是應(yīng)對不確定性的有效方法。文獻(xiàn)[6]討論了將價格決策延遲到明確市場需求后產(chǎn)生的影響[6]。后來研究進(jìn)一步擴(kuò)展到多周期的動態(tài)定價問題[7]，易逝品或非易逝品的定價[8～9]以及面臨隨機(jī)需求的動態(tài)定價[10]等。但是這些動態(tài)定價問題的研究存在一個共同的特點是假設(shè)供給是穩(wěn)定的，即供給總能夠被滿足，不存在供給風(fēng)險。

另一方面，越來越多的企業(yè)發(fā)現(xiàn)通過銷售努力（如促銷活動）對需求的影響也可以有效降低需求不確定對企業(yè)帶來的沖擊。而對于銷售行為的關(guān)注較多的出現(xiàn)在供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)的文獻(xiàn)中[11～12]，盡管部分文獻(xiàn)也關(guān)注了考慮銷售努力的訂貨批量問題，但是更多的是從供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)的角度開展研究。文獻(xiàn)[13]的研究假設(shè)銷售努力影響需求，不同的是產(chǎn)品的價格是固定的，其結(jié)果顯示較高的銷售努力會增加需求，從而增加利潤，但是當(dāng)供給很穩(wěn)定，即供給風(fēng)險很小的時候，銷售努力就不是很有必要了[13]。而在動態(tài)定價的文獻(xiàn)里，很少考慮到銷售努力行為對需求產(chǎn)生的影響。從過去的文獻(xiàn)可以看出，關(guān)于動態(tài)定價、供給風(fēng)險和銷售努力的研究通常都是分別開展的。目前還缺乏動態(tài)定價和銷售努力共同作用于供給風(fēng)險的研究。當(dāng)供給量不確定，價格和銷售努力共同對需求產(chǎn)生影響的情況下，動態(tài)定價策略和銷售努力水平的變化會對企業(yè)獲利帶來什么樣的影響，如何確定定價水平和銷售努力水平來降低不確定的影響，實現(xiàn)利潤最大化即是本文所要研究的問題。本文的研究是在文獻(xiàn)[4]的基礎(chǔ)上開展的，尋找在不同供給水平下最優(yōu)的價格及銷售努力水平，并通過數(shù)值實驗嘗試找出什么情況下更適合開展加入銷售努力的動態(tài)定價策略。本文通過引入供給風(fēng)險因素，構(gòu)建了修正的報童模型，并加入價格和銷售努力共同影響需求的假設(shè)（為了簡化分析，假設(shè)需求的潛在市場規(guī)模是不變的）。在此基礎(chǔ)上，文章分析了動態(tài)定價和銷售努力對于抵消供給不確定的作用，并通過數(shù)值實驗的結(jié)果進(jìn)行驗證，試圖找出在存在供給風(fēng)險時，什么樣的情況下動態(tài)定價和銷售努力能夠帶來更多的利潤。

一、模型描述

（一）面臨供給風(fēng)險的動態(tài)定價的決策過程

本文研究的是一個單周期的模型，包括一個零售商和一個供應(yīng)商。其中零售商是決策主體，面臨一個確定的市場（市場潛在規(guī)模確定，需求同時受到價格和銷售努力的影響）。而受各種因素的影響（自然災(zāi)害、突發(fā)事件或人為因素等）產(chǎn)品的供給量是存在風(fēng)險的，并不會剛好得到訂購的量，因此供給存在一定的不確定性。零售商的決策過程如圖1所示。零售商向供應(yīng)商訂貨，訂貨量為Q，供應(yīng)商接到訂單后，由于各種原因，實際的貨物交付量為q，這時零售商根據(jù)實際的供給狀況和市場需求狀況來確定自己的價格p及所需要付出的銷售努力水平e。不同于固定定價策略中Q與p同時確定并且p不再變化的情況，這里的p和e是在Q以及實際交付量q發(fā)生之后才確定的，并且會隨之發(fā)生變化，即定價是動態(tài)的。

因此本文對于動態(tài)定價的研究是分成兩個階段開展的，首先在明確得到供給信息q后確定最優(yōu)價格p*和最優(yōu)努力水平e*，然后在此基礎(chǔ)上確定能夠最大化利潤的訂貨量Q。

圖1 面臨隨機(jī)供給的供應(yīng)系統(tǒng)的決策過程

（二）隨機(jī)供給量

供給的風(fēng)險主要來自于供給量的不確定，有可能是天氣、災(zāi)害或競爭等原因造成產(chǎn)量不足，從而導(dǎo)致無法供給訂貨量。為了簡化分析，本文假設(shè)隨機(jī)供給服從均勻分布[14]。

（三）符號描述

p為零售商購買單位產(chǎn)品的成本；

s為缺貨的懲罰成本；

h為剩余產(chǎn)品的損失成本；

e為零售商為了促進(jìn)銷售而付出的努力；

c(e)=le2表示銷售努力的成本；

a為潛在市場需求；

b、k分別反映了市場需求對零售價格和

努力程度的反應(yīng)的度量；

Q為訂貨量；

q為實際的交貨量，由于存在供給風(fēng)險，

因此并不能按照Q交付；

g為在訂貨量為Q下交付q的概率；

π為利潤。

二、動態(tài)定價策略及期望利潤函數(shù)

（一）考慮銷售努力的動態(tài)定價策略

假設(shè)需求函數(shù)為D（p,e)=a-bp+ke,其中-bp+ke≤ 0，即無論如何努力，總的銷售量不可能超過潛在的市場需求總額。實際供給q服從[0,Q]的均勻分布。零售商的利潤獲得存在三種情況：

將需求函數(shù)代入式（1）中，得到如下利潤函數(shù)，

對上述利潤情況分析：在第一種情況下，不需要做出任何的銷售努力，需求就比供給量要大，這時銷售努力成本為0，零售商所要做的就是制定適當(dāng)?shù)膬r格將全部產(chǎn)品銷售出去，從而獲取最大利潤。即a-bp=q，因此可以得到在給定q下的最優(yōu)策略組合其中

在第二種情況下，需要作出適當(dāng)?shù)匿N售努力從而使產(chǎn)品能夠銷售出去，這時的目標(biāo)是通過合理定價和增加銷售努力出售所有的產(chǎn)品，即D(p,e)=q。因此可以得到在給定q下的最優(yōu)策略組合其中

在第三種情況下，當(dāng)需求量小于供給量時，產(chǎn)品可能不一定能全部銷售出去，而這時努力的目標(biāo)也不是出售所有產(chǎn)品而是利潤最大化。因此可以得到：

證明：式（2）中關(guān)于p、e的一階、二階偏導(dǎo)數(shù)分別為：

當(dāng)k2-4bl＜ 0時，可以驗證海賽陣負(fù)定，第三種情況有最優(yōu)解。令p、e的一階偏導(dǎo)數(shù)都為0，求得第三種情況下在給定q下的最優(yōu)策略組合其中

推論 當(dāng)q大于需求量的時候，無論實際供給量的情況如何發(fā)生變化，價格和努力水平?jīng)Q策都不會發(fā)生變化。從式（9）、式（10）中可以看出實際供給量超出需求的情況下的最優(yōu)價格和努力水平與q無關(guān)，而是一個常數(shù)。

將式（3）～（8）分別代入（2）中得到，

對式（9）～（10）進(jìn)行分析整理，得到，

第二種情況的利潤曲線π2與第三種情況下的利潤曲線π3有唯一交點，交點為

令π2=π3，即

根據(jù)式（9）～（11），利潤曲線如圖2所示，其中加粗曲線即為利潤曲線圖，即當(dāng)供給量比較小的時候，零售商會通過銷售努力促進(jìn)銷售，同時進(jìn)一步提升價格，使得收益增加。而當(dāng)供給量較大的時候，零售商并不會努力銷售完所有的產(chǎn)品，而是追求利潤最大，即使會有剩余的商品。

圖2 利潤曲線圖

1．如果k2＜2bl則

2.如果2bl＜k2＜4bl，則

但是，利潤函數(shù)首先要滿足 D(p,e)＜q的條件，因此當(dāng)2bl＜k2＜4bl，最優(yōu)定價并不是這里由于加入銷售努力的因素，出現(xiàn)了與文獻(xiàn)[4]不一致的結(jié)論。

這樣，得到利潤函數(shù)的表達(dá)如下：

（二）不考慮銷售努力的動態(tài)定價策略

不考慮銷售努力的動態(tài)定價情況下，利潤函數(shù)如下所示。

當(dāng)實際供給量小于市場需求的時候，定價的目標(biāo)是出售所有的商品，即而當(dāng)實際供給量大于市場需求的時候，定價的目標(biāo)是追求利潤最大化，此時代入式（15）、式（16），整理得到如下不考慮銷售努力的動態(tài)定價下的利潤函數(shù)，

π1,π2有唯一交點π1在處取得最大利潤。比較得到如圖3所示，其中加粗部分為利潤曲線。

圖3 不考慮銷售努力的動態(tài)定價的利潤曲線

因此可以看到，最優(yōu)價格p*=max(p0,p1)，這與文獻(xiàn)[4]的結(jié)論是一致的。

（三）動態(tài)定價的最大期望利潤函數(shù)

無論是否加入銷售努力因素，動態(tài)定價的期望利潤函數(shù)均如下式（18）所示：

三、固定定價策略及期望利潤函數(shù)

（一）固定定價策略

固定定價策略即在銷售季開始之前，同時確定訂貨批量和價格決策，無論實際供給量如何價格均不會再發(fā)生變化。因此要找到期望利潤最大的（Q,p），其利潤函數(shù)及最大期望利潤函數(shù)如下所示。

（二）固定定價策略的最大期望利潤函數(shù)

四、數(shù)值實驗

通過數(shù)值實驗對前面的分析做進(jìn)一步的研究，并分析動態(tài)定價策略及銷售努力的優(yōu)劣，以及不同參數(shù)產(chǎn)生的影響。在數(shù)值實驗中，參數(shù)的設(shè)置為：a=250，k=2，l=12，c=6，s=60，h=30。

1．表1和圖4顯示，當(dāng)產(chǎn)品（如必需品）的需求彈性很小的時候，動態(tài)定價與固定定價相比能夠帶來更多的利潤。而隨著需求彈性的增加，這種優(yōu)勢越來越不明顯，當(dāng)需求彈性很大的時候，動態(tài)定價就不再能帶來利潤的增加。而表1和圖5則顯示，比較是否增加銷售努力的動態(tài)定價策略，當(dāng)b取值較小的時候，增加銷售努力的動態(tài)定價能夠帶來更多的利潤，而當(dāng)b值逐漸增大，是否增加銷售努力就不那么重要了，而且不同b值之間的利潤情況的差異也在縮小。

表1 不同b值條件下的數(shù)值實驗結(jié)果

2．表2反映了參數(shù)h s、變化對于三種定價策略產(chǎn)生的影響。表1與表2對比的結(jié)果顯示當(dāng)剩余產(chǎn)品的損失成本h高過缺貨成本s時，相同訂貨批量下的收益都要高于h小于s時的利潤。

表2s=30,h=60條件下的數(shù)值實驗結(jié)果

圖4 不同b值情況下的動態(tài)定價與固定定價的對比

圖5 不同b 值下有銷售努力動態(tài)定價與無銷售努力動態(tài)定價的對比

3．圖6則顯示在實際供給量相同的情況下，由于銷售努力對需求量的促進(jìn)作用，使得需求量具有更大的變動范圍內(nèi)，而在這個更大范圍內(nèi)通過價格的調(diào)節(jié)作用，可以獲得更高的收益。如圖6所示在增加銷售努力的情況下，價格和利潤都高于沒有銷售努力的情況。

圖6 有銷售努力和無銷售努力動態(tài)定價利潤及價格比較

4．當(dāng)實際供給量比較小的時候，采用動態(tài)定價獲益更多，此時銷售努力的作用并不明顯。圖7顯示當(dāng)實際供給量比較小的時候，對于動態(tài)定價來說，銷售努力對獲益的促進(jìn)作用并不大，增加銷售努力也并不會使得利潤有很大程度的提高，但是當(dāng)供給量逐漸增大的時候，銷售努力對利潤的促進(jìn)作用就越來越明顯。而當(dāng)實際供給量較小的時候，采用動態(tài)定價策略的獲益會比采用固定定價策略的獲益要大，但是當(dāng)實際供給量大于某一水平之后，這種利潤的差異就很不明顯了。

5．當(dāng)訂貨批量較小時，采用動態(tài)定價策略的期望收益會高于固定定價但是隨著訂貨批量的增加，這種差異就變得越來越小。而訂貨批量較小時，是否增加銷售努力對于動態(tài)定價的獲益影響并不大，但是當(dāng)訂貨批量逐漸增大，增加銷售努力會帶來更多的利潤。

圖7 動態(tài)定價與固定定價的比較

圖8 動態(tài)定價與固定定價的比較

表3 不同 2/k l 值條件下的數(shù)值實驗結(jié)果

6．銷售努力是否能夠帶來更多的利潤取決于對銷售的促進(jìn)作用和所需付出的成本的比值。隨著比值越來越小，銷售努力帶來的利潤增長也越來越快。當(dāng)2/k l的取值越接近于4b時，如圖9、表3所示，增加銷售努力越?jīng)]有成效。

圖9 不同 2/k l 取值情況下的利潤情況與無銷售努力動態(tài)定價的利潤情況

五、結(jié)論

過去對于動態(tài)定價的研究大多是在需求不確定而供給可靠的假設(shè)下開展的，并且只考慮價格因素對需求的影響，而忽略了銷售努力可能會對需求產(chǎn)生的影響。本文試圖將供給、定價和銷售努力結(jié)合起來，研究在供給隨機(jī)的情況下，需求同時受到價格和銷售努力影響時，報童問題的定價策略、訂購策略以及銷售努力水平的確定。本文給出了面對不同供給情況時的最優(yōu)定價及銷售努力水平，并進(jìn)而確定訂購決策，從而為這類報童問題的定價和訂購量提供了不同的決策方法。

通過數(shù)值實驗，本文觀察到更適合采取動態(tài)定價及增加銷售努力的情況：（1）當(dāng)產(chǎn)品的需求彈性b比較小，實際的供給量q也較小的時候，動態(tài)定價會帶來更多的利潤。（2）當(dāng)實際的供給量q比較大，增加銷售努力往往能帶來更多的利潤。當(dāng)然這種對利潤的促進(jìn)很大程度上取決于其對銷售的促進(jìn)作用和所需付出的成本的比值。當(dāng)增加銷售努力需要付出越來越高的成本時，增加銷售努力就變得越來越?jīng)]有必要了。

為了簡化分析過程，文章假設(shè)供給是服從均勻分布的，且市場的潛在規(guī)模是不變，而沒有考慮隨機(jī)需求的情況。因此尋找更適合的描述供給量的分布以及考慮需求隨機(jī)將是下一步的研究方向。

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