疊加法在繪制彎矩圖中的應(yīng)用

詹景元　石煜威　朱芳振

摘 要：彎矩圖是結(jié)構(gòu)力學(xué)最為重要和基礎(chǔ)的知識(shí)點(diǎn)，是后續(xù)變形和位移計(jì)算的關(guān)鍵內(nèi)容。但是現(xiàn)在的大部分教材對(duì)于彎矩圖的繪制技巧和一些特殊情況的處理方法的介紹并不是很多，只是通過(guò)幾道例題去將彎矩圖的畫(huà)法展現(xiàn)出來(lái)，讓學(xué)生自己去理解，這便使得不少學(xué)生對(duì)于彎矩圖的繪制感到無(wú)從下手。文章通過(guò)對(duì)書(shū)本上例題的理解分析，總結(jié)出疊加法運(yùn)用在繪制彎矩圖中的一些簡(jiǎn)單的基本理念和分析方法。

關(guān)鍵詞：彎矩圖；疊加法；靜定結(jié)構(gòu)

1 疊加法的介紹

1.1 疊加法的前提條件

材料力學(xué)討論的桿件均滿(mǎn)足幾個(gè)基本假設(shè)，其中，小變形假設(shè)是指構(gòu)件在承受荷載作用時(shí)，所產(chǎn)生的變形和構(gòu)件的原始尺寸相比非常微小。由于變形量微小，我們?cè)谘芯織U件的支反力、內(nèi)力、應(yīng)力、變形等問(wèn)題時(shí)都可以用構(gòu)件的原始尺寸和形狀進(jìn)行計(jì)算，不必考慮構(gòu)件受荷變形后尺寸變化給計(jì)算帶來(lái)的影響。同時(shí)，采用構(gòu)件的原始尺寸進(jìn)行計(jì)算所得的支反力、內(nèi)力、應(yīng)力、變形均與梁上的荷載保持線(xiàn)性關(guān)系。

1.2 疊加法的使用條件

疊加法的理論依據(jù)就是疊加原理，它不僅可以用來(lái)梁的位移，也可用來(lái)計(jì)算梁的支反力、內(nèi)力和應(yīng)力；它不僅可用于梁，也可用于拉（壓）桿和其他結(jié)構(gòu)。一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)構(gòu)件或結(jié)構(gòu)上同時(shí)作用幾個(gè)荷載時(shí)，如果各荷載產(chǎn)生的效果（應(yīng)力、反力、內(nèi)力和位移等）互不影響（或影響甚小可忽略不計(jì)），則它們所產(chǎn)生的總效果即等于各荷載單獨(dú)作用時(shí)所產(chǎn)生的效果總和（或?yàn)榇鷶?shù)和，或?yàn)槭噶亢?，由所求的物理量的性質(zhì)而定）。在土木工程實(shí)踐中，一般的梁工作時(shí)變形很小，由梁上荷載產(chǎn)生的剪力和彎矩與荷載呈線(xiàn)性關(guān)系，并且其跨長(zhǎng)的改變可以略去不計(jì)。因此當(dāng)梁上同時(shí)受到幾個(gè)載荷作用時(shí)，由每一個(gè)載荷所引起的梁的內(nèi)力將不受其他載荷的影響，滿(mǎn)足疊加原理的條件，即可用疊加法來(lái)計(jì)算梁的內(nèi)力（包括剪力、彎矩等）。

1.3 疊加法的使用準(zhǔn)備

梁的內(nèi)力采用疊加法來(lái)求解時(shí)，必須要對(duì)簡(jiǎn)單梁承受單個(gè)基本荷載時(shí)的內(nèi)力分布比較熟悉，這樣疊加計(jì)算才會(huì)比較簡(jiǎn)單便捷。疊加法以一系列簡(jiǎn)單梁承受單種荷載的彎矩圖為基礎(chǔ)，簡(jiǎn)單梁包括簡(jiǎn)支梁和懸臂梁，單種荷載包括單獨(dú)承受集中力荷載、分布荷載和外力偶作用。其實(shí)懸臂梁也可看成由一個(gè)普通的簡(jiǎn)支梁和一個(gè)一端有外力偶作用的簡(jiǎn)支梁疊加而成。因此，疊加法歸根結(jié)底的基本單元就是簡(jiǎn)支梁，簡(jiǎn)支梁的特點(diǎn)是兩端鉸支處無(wú)承受彎矩的能力，若鉸支處梁上無(wú)外力偶作用時(shí)，該處的彎矩值為零；有外力偶作用時(shí)，該處的彎矩值等于外力偶矩的值。利用這一特點(diǎn)，結(jié)合簡(jiǎn)支梁承受簡(jiǎn)單荷載時(shí)的彎矩圖，不難用疊加法做出其彎矩圖。

2 疊加法的運(yùn)用

2.1 疊加法在靜定結(jié)構(gòu)彎矩圖中的運(yùn)用

在結(jié)構(gòu)力學(xué)中靜定結(jié)構(gòu)有靜定多跨梁和靜定平面剛架等，通常出現(xiàn)將結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為由許多個(gè)簡(jiǎn)支梁和懸臂梁組成，然后梁上作用有簡(jiǎn)化后的各種均布荷載和集中力作用的情況。按照材料力學(xué)中的解法，要先求解所有的支反力，通過(guò)支反力與梁上各種荷載的關(guān)系做出梁的剪力圖，最后根據(jù)剪力圖的面積做出彎矩圖。

而運(yùn)用疊加法就可以少求支反甚至不用求支反便可以做出彎矩圖，先選定梁上的一些控制截面，這些控制截面通常為結(jié)點(diǎn)處、集中力或力偶作用處，分布荷載的起點(diǎn)終點(diǎn)處的截面，然后根據(jù)這些控制截面判斷出與這些截面有關(guān)而且這段梁上的荷載比較簡(jiǎn)單的支座，通過(guò)平衡關(guān)系求出其支反力，再取隔離體算出控制截面的彎矩值，將各個(gè)控制截面處的彎矩在彎矩圖上畫(huà)出來(lái)，并用虛線(xiàn)連接起來(lái)，將各個(gè)控制截面之間的梁上荷載作用產(chǎn)生的彎矩圖在虛線(xiàn)的基礎(chǔ)上疊加出來(lái)。將彎矩圖畫(huà)出之后，根據(jù)其斜率和剪力疊加的關(guān)系做出剪力圖，通過(guò)觀(guān)察在剪力圖上的剪力突變情況算出另外未求得的支反力，這樣就將結(jié)構(gòu)的內(nèi)力圖畫(huà)出來(lái)了，同時(shí)可以再根據(jù)平衡關(guān)系校核所求的內(nèi)力和支反正確與否，提高了解答的正確性。

2.2 疊加法在超靜定結(jié)構(gòu)彎矩圖中的運(yùn)用

在解決靜定結(jié)構(gòu)問(wèn)題中，疊加法的優(yōu)點(diǎn)不是那么突出，但是在解決超靜定結(jié)構(gòu)的問(wèn)題上，疊加法與普通的辦法相比就顯得容易許多。超靜定結(jié)構(gòu)的代表就是連續(xù)多跨梁和超靜定鋼架，而且對(duì)于土木工程專(zhuān)業(yè)來(lái)說(shuō)，超靜定的次數(shù)通常都是很高的。在這種情況下，一個(gè)一個(gè)去求解支座反力再通過(guò)剪力圖得到彎矩圖會(huì)很麻煩，會(huì)浪費(fèi)大量的時(shí)間，顯然這種方法不合理。疊加法的應(yīng)用使得問(wèn)題大大簡(jiǎn)單了，依然要先找出控制截面得到其彎矩的數(shù)值，疊加法的本質(zhì)就是平衡，它通過(guò)疊加各種荷載產(chǎn)生的作用來(lái)求得各個(gè)截面的彎矩值，保證結(jié)構(gòu)截面的彎矩值與實(shí)際值相符合，從而保證結(jié)果的正確性。如果先確?？刂平孛嫣幍膹澗刂登蟮谜_，那么就可以將結(jié)構(gòu)劃分為幾個(gè)區(qū)段，這些個(gè)區(qū)段都可以用一個(gè)兩端承受外力偶的簡(jiǎn)支梁疊加出來(lái)，因?yàn)楹?jiǎn)支梁的兩端是鉸支座并不能承受彎矩，所以將控制截面的彎矩值轉(zhuǎn)化為加在兩端的外力偶進(jìn)行疊加，這樣便保證了沒(méi)有改變梁內(nèi)截面的實(shí)際彎矩值這一基本條件。再通過(guò)區(qū)段疊加法和力法以及位移法，便能快速做出彎矩圖。

3 疊加法在使用時(shí)的注意事項(xiàng)

彎矩圖在繪制的過(guò)程中，彎矩圖的疊加是指豎標(biāo)的相加而不是圖形的簡(jiǎn)單拼合；為了順利地利用疊加法繪制彎矩圖，應(yīng)牢記簡(jiǎn)支梁在跨中荷載作用下的彎矩圖；對(duì)于任意直桿段，不論其內(nèi)力是靜定的還是超靜定的，不論是等截面直桿或是變截面直桿，不論直桿段內(nèi)各相鄰截面間是連續(xù)的還是定向聯(lián)結(jié)或是鉸聯(lián)結(jié)彎矩疊加法均使用。

在使用疊加法繪制彎矩圖前，關(guān)鍵在于要選定對(duì)的控制截面（結(jié)點(diǎn)、集中力作用點(diǎn)、集中力偶作用點(diǎn)、分布荷載的起點(diǎn)和終點(diǎn)），將結(jié)構(gòu)分成若干段，由截面法或內(nèi)力直接算式求出控制截面的彎矩值。對(duì)于無(wú)荷載區(qū)段，由兩端控制截面的彎矩值繪制出直線(xiàn)彎矩圖，而對(duì)于有荷載作用區(qū)段，用疊加法以簡(jiǎn)支梁的基本受荷彎矩圖繪制出整體的彎矩圖。

4 結(jié)語(yǔ)

土木工程實(shí)踐中，對(duì)實(shí)際結(jié)構(gòu)進(jìn)行抽象簡(jiǎn)化成結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖，計(jì)算后做彎矩圖是工程設(shè)計(jì)中必不可少的步驟，而通過(guò)一步步利用力和力矩平衡方程求解支反，再做出剪力圖進(jìn)而畫(huà)出彎矩圖在工程中是很難實(shí)現(xiàn)的，平衡方程太多還有聯(lián)立求解太過(guò)于麻煩都給彎矩圖的繪制帶來(lái)了太多麻煩。因此，充分利用疊加法來(lái)解決問(wèn)題，不用或少用平衡方程，避免解題麻煩，就能獲得事半功倍的效果，同時(shí)也能培養(yǎng)我們深入分析問(wèn)題繼而用更合適的方法解決問(wèn)題的能力。

參考文獻(xiàn)

[1] 杜云海主編.材料力學(xué)（I）.[M].鄭州大學(xué)出版社，2012.

[2] 樊友景，高洪波主編.結(jié)構(gòu)力學(xué)上冊(cè)[M].鄭州大學(xué)出版社，2012.

[3] 何立勝.疊加原理及其在剪力圖和彎矩圖中的應(yīng)用[J].考試周刊， 2007.

[4] 唐力軍，黃哲君，常建萍.桿系結(jié)構(gòu)的內(nèi)力圖[J].黑龍江水專(zhuān)學(xué)報(bào)， 2002.

作者簡(jiǎn)介：詹景元（1994.09- ），男，河南固始人，鄭州大學(xué)土木工程學(xué)院2012級(jí)本科生，土木工程專(zhuān)業(yè)；石煜威（1994.01- ），男，河南滎陽(yáng)人，鄭州大學(xué)土木工程學(xué)院2012級(jí)本科生，土木工程專(zhuān)業(yè)；指導(dǎo)老師：朱芳振。