基于變頻率區(qū)間約束的結(jié)構(gòu)材料優(yōu)化設(shè)計

趙志軍，榮見華，黃方林，俞燎宏

(1.中南大學(xué)土木工程學(xué)院，長沙 410000;2.長沙理工大學(xué)汽車與機械工程學(xué)院，長沙 410076; 3.長沙學(xué)院土木工程系，長沙 410003)

基于變頻率區(qū)間約束的結(jié)構(gòu)材料優(yōu)化設(shè)計

趙志軍1，3，榮見華2，黃方林1，俞燎宏2

(1.中南大學(xué)土木工程學(xué)院，長沙 410000;2.長沙理工大學(xué)汽車與機械工程學(xué)院，長沙 410076; 3.長沙學(xué)院土木工程系，長沙 410003)

針對頻率約束的結(jié)構(gòu)材料優(yōu)化問題，基于結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化思想，提出變頻率區(qū)間約束的結(jié)構(gòu)材料優(yōu)化方法。借鑒均勻化及ICM(獨立、連續(xù)、映射)方法，以微觀單元拓撲變量倒數(shù)為設(shè)計變量，導(dǎo)出宏觀單元等效質(zhì)量矩陣及導(dǎo)數(shù)，進而獲得頻率一階近似展開式。結(jié)合變頻率區(qū)間約束思想，獲得以結(jié)構(gòu)質(zhì)量為目標函數(shù)、頻率為約束條件的連續(xù)體微結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化近似模型;采用對偶方法求解。通過算例驗證該方法的有效性及可行性，表明考慮質(zhì)量矩陣變化影響所得優(yōu)化結(jié)果更合理。

微結(jié)構(gòu);拓撲優(yōu)化;頻率約束;材料設(shè)計

對有序多孔材料靜態(tài)彈性行為及動力學(xué)分析研究，由性能分析到實驗制備等獲得大量成果［1－2］。由于有序多孔材料構(gòu)成的復(fù)雜大型結(jié)構(gòu)離散完全計算量巨大，等效連續(xù)介質(zhì)分析方法研究取得較大進展。其中，代表體單元法(Representative Volume Element，RVE)及數(shù)學(xué)均勻化方法為兩種求解周期性多孔材料等效材料特性的代表性方法?；谛?shù)展開理論的均勻化方法具有較嚴格的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，廣泛用于復(fù)合材料彈性常數(shù)預(yù)測。均勻化理論將周期性多孔材料結(jié)構(gòu)力學(xué)分析問題分解為微結(jié)構(gòu)與宏觀結(jié)構(gòu)問題，并通過微結(jié)構(gòu)的等效材料特性及特征位移(稱影響函數(shù))實現(xiàn)兩尺度有限元分析耦合。Xing等［1］提出周期性復(fù)合材料的高效近似分析方法，如特征單元(eigenelement)法與基于高階單元的serendipity特征單元法等。Sigmund［3］提出的復(fù)合材料微結(jié)構(gòu)單胞拓撲優(yōu)化設(shè)計理論，已躋身材料研究領(lǐng)域前沿。Hassani等［4－5］對均勻化理論進行過系統(tǒng)闡述。Niu等［6］采用均勻化方法進行結(jié)構(gòu)最大自然頻率兩種尺度拓撲優(yōu)化設(shè)計。Huang等［7］基于漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法(Evolutionary StructuralOptimization，ESO)進行最大剛度的結(jié)構(gòu)材料設(shè)計。Zuo等［8］采用漸進優(yōu)化方法實現(xiàn)結(jié)構(gòu)最大自然頻率的多尺度拓撲優(yōu)化設(shè)計。然而，該方法忽略了結(jié)構(gòu)質(zhì)矩陣變化影響。盡管已開展基于拓撲優(yōu)化的材料設(shè)計，但涉及結(jié)構(gòu)頻率要求的材料設(shè)計較有限。

本文借鑒均勻化方法及ICM(獨立、連續(xù)、映射)方法，以微觀單元拓撲變量倒數(shù)為設(shè)計變量，從有限元基本理論出發(fā)，推導(dǎo)出宏觀單元等效質(zhì)量矩陣及導(dǎo)數(shù)，結(jié)合等效彈性模量顯示表達［4－5］，獲得頻率的一階近似顯式展開式。結(jié)合變頻率區(qū)間約束思想，獲得以結(jié)構(gòu)質(zhì)量為目標函數(shù)、頻率為約束條件的連續(xù)體微結(jié)構(gòu)(即材料)拓撲優(yōu)化近似模型，并采用對偶方法進行求解。利用兩算例驗證本文方法的有效性與可行性。

1 微觀尺度下單元拓撲變量與過濾函數(shù)

設(shè)宏觀結(jié)構(gòu)由周期性多孔材料組成?；诖眢w單元法及數(shù)學(xué)均勻化方法思想，宏觀結(jié)構(gòu)由宏觀單元構(gòu)成，而宏觀單元作為微觀結(jié)構(gòu)(即材料)由微觀單元構(gòu)成。設(shè)第s號微觀單元的拓撲變量為t。用過濾函數(shù)fD(t)識別第s號微觀單元彈性矩陣、fm(t)識別第s號微觀單元密度。單元材料特性參數(shù)識別式為

式中:［D0］為微觀單元固有彈性模量矩陣;ρ0為微觀單元固有材料密度;［Ds］為識別后彈性模量矩陣;ρs為識別后材料密度。

密度及彈性模量矩陣的過濾函數(shù)分別采用分式有理式與冪指數(shù)函數(shù)形式，即

本文算例中取v=3.5，α=1.0。

2 微觀尺度下頻率近似顯式表示式

2.1 宏觀結(jié)構(gòu)總剛度陣對微觀單元設(shè)計變量導(dǎo)數(shù)

宏觀尺度下，第i號宏觀單元剛度矩陣［2－3］可表示為

式中:Vi為第i號宏觀單元體積;[B]為宏觀單元應(yīng)變矩陣;［D］H為宏觀單元等效彈性模量矩陣［4－5］，表示式為

式中:［D］H為宏觀結(jié)構(gòu)等效彈性模量矩陣;Y為單胞(宏觀單元)體積(對均勻劃分的結(jié)構(gòu)單元網(wǎng)格，Y= Vi);［D］為微觀結(jié)構(gòu)基材料的彈性模量矩陣;［b］為微觀結(jié)構(gòu)基材料應(yīng)變矩陣;［u］為初應(yīng)變場引起的位移場;S為單胞內(nèi)微觀單元個數(shù);［us］為第s個微觀單元節(jié)點位移向量;［bs(ξk，ηr)］為第s個微觀單元高斯積分點(ξk，ηr)(對二維問題)處應(yīng)變矩陣;Hk，r為積分權(quán)系數(shù);ns為高斯積分點個數(shù)，本文ns=2;Ys為第s個微觀單元體積。

為求解［u］，需在微觀單元結(jié)構(gòu)上施加初應(yīng)變場，其等效節(jié)點荷載計算式為

式中:［P］為初應(yīng)變場等效節(jié)點荷載;［ε0］為應(yīng)變場，對平面應(yīng)力問題，{1，0，0}T，{0，1，0}T，{0，0，1}T為［ε0］的列向量。

類似，式(7)可表示成第i號宏觀單元的高斯積分求和形式。宏觀整體剛度矩陣對微觀單元設(shè)計變量的導(dǎo)數(shù)可表示為

2.2 宏觀結(jié)構(gòu)整體質(zhì)量陣對微觀單元設(shè)計變量導(dǎo)數(shù)

宏觀單元任意點單位體積的慣性力可表示為

宏觀單元慣性力形成的節(jié)點力向量可表示為

式中:Vi為第i號宏觀單元體積。

宏觀尺度下，第i號宏觀單元等效質(zhì)量矩陣可表示為

宏觀整體質(zhì)量矩陣對微觀單元設(shè)計變量的導(dǎo)數(shù)可表示為

2.3 頻率一階近似展開式

結(jié)構(gòu)頻率對微觀設(shè)計變量的導(dǎo)數(shù)為

式中:{φj，i}為第j階振型向量與第i號單元相關(guān)部分。進而可得頻率一階近似展開式為

3 變頻率區(qū)間約束優(yōu)化模型處理及求解方法

設(shè)結(jié)構(gòu)宏觀單元個數(shù)為N，每個宏觀單元劃分為S個微觀單元，其單元編號可設(shè)為s(s=1，2，…，S)。其中J為頻率約束階數(shù);t為第s個拓撲變量;為其下限;w為第i個宏觀單元第s個單元固有重量。優(yōu)化求解模型為

式中:β1，β2為頻率約束限變化因子，可在0.02～0.08間取值。變頻率區(qū)間限ω，ω在一輪優(yōu)化迭代中不變，在下一輪優(yōu)化迭代中ω，ω按式(18)變化，為頻率約束的下、上限值。

由于頻率與質(zhì)量矩陣、剛度矩陣的關(guān)聯(lián)性，優(yōu)化求解過程中頻率變化趨勢具有雙方向性特點。本文采用式(18)變區(qū)間約束方式將每一迭代步頻率變化控制在一定范圍內(nèi)，該方式既能較好模擬頻率變化的雙方性特點，又能保證一階近似展開式成立，可有效避免目標函數(shù)振蕩現(xiàn)象。

式(17)的求解可轉(zhuǎn)化為

為處理優(yōu)化結(jié)構(gòu)的棋盤格問題，采用類似于文獻［10］方法，對式(19)中所有非人工材料單元對應(yīng)的Asj，Bsj，Csj，as，bs進行修正;將修正后Asj，Bsj，Csj，as，bs代入式(15)。采用對偶理論將模型(19)的規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為對偶規(guī)劃問題求解，即

取φ(λ)的二階近似并略去常數(shù)項，獲得二次規(guī)劃模型為

解此二次規(guī)劃，求出λ，再由K－T條件求出x*、由x=1/ts求出t*，對結(jié)構(gòu)進行修改，通過式(18)近似算出約束頻率限，獲得式(19)的各系數(shù)，重復(fù)求解λ及t*直至‖xs+1－xs‖/‖xs‖≤ε3(s為本輪循環(huán)迭代次數(shù)，ε3為初始給定小量)終止本輪循環(huán)迭代，并將該迭代解用t(k+1)表示。

4 優(yōu)化求解程序設(shè)計

針對微觀結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題，優(yōu)化設(shè)計流程見圖1。

圖1 優(yōu)化設(shè)計流程圖Fig.1 Flow chart of the optimization design

5 算例

5.1 算例一

圖2(a)為80 m×40 m平面應(yīng)力梁，兩端固支，厚度1 m，彈性模量E=1 Pa，泊松比υ=0.3，密度ρ=1.0 kg/m3。宏觀設(shè)計區(qū)域劃分為80×40有限元網(wǎng)格，將單胞劃分為40×40有限元網(wǎng)格，見圖2(b)。

以宏觀結(jié)構(gòu)重量為目標函數(shù)、第一階自振頻率為約束條件，約束限值取=0.01 rad/s，=0.02rad/s。宏觀尺度80 m×40 m兩端固定梁微觀結(jié)構(gòu)優(yōu)化進化歷程見圖3，重量進化歷程見圖4，基頻進化歷程見圖5。本文優(yōu)化結(jié)果與文獻［8］優(yōu)化結(jié)果對比見圖6。本文第33迭代步所得結(jié)構(gòu)重量及頻率較接近文獻［8］結(jié)果，但結(jié)構(gòu)最優(yōu)拓撲有所區(qū)別，體現(xiàn)出考慮質(zhì)量矩陣對設(shè)計變量導(dǎo)數(shù)項所致優(yōu)化結(jié)果的不同。因此忽略質(zhì)量矩陣一階量會產(chǎn)生誤差。

圖2 初始設(shè)計區(qū)域Fig.2 Initial design domain

圖3 宏觀尺度為80×40微觀結(jié)構(gòu)進化歷程Fig.3 The optimization history of micro structure of the 80×40 double－clamped beam

圖4 結(jié)構(gòu)重量進化歷程Fig.4 History of weight fraction

圖5 結(jié)構(gòu)基頻進化歷程Fig.5 History of fundamental frequency

圖6 采用不同優(yōu)化方法所獲得優(yōu)化結(jié)果的對比Fig.6 Comparison on different designs by using different optimization method

5.2 算例二

圖7(a)為60 m×60 m平面應(yīng)力梁，兩端固支，厚度1 m。設(shè)彈性模量E=1 Pa，泊松比υ=0.3，密度ρ= 1.0 kg/m3。宏觀設(shè)計區(qū)域劃分為60×60有限元網(wǎng)格，將微觀單胞劃為40×40有限元網(wǎng)格，見圖7(b)。以結(jié)構(gòu)總重量為目標函數(shù)、第一階自振頻率為約束條件，約束限值取=0.02 rad/s，=0.03 rad/s，宏觀尺度為60 m×60 m兩端固定梁微觀結(jié)構(gòu)優(yōu)化進化歷程見圖8，重量進化歷程見圖9，基頻進化歷程見圖10。

圖7 初始設(shè)計區(qū)域Fig.7 Initial design domain

圖8 宏觀尺度為60×60微觀結(jié)構(gòu)進化歷程Fig.8 The optimization history of micro structure of the 60×60 double－clamped beam

圖9 結(jié)構(gòu)重量進化歷程Fig.9 History of weight fraction

圖10 結(jié)構(gòu)基頻進化歷程Fig.10 History of fundamental frequency

6 結(jié)論

針對頻率約束拓撲優(yōu)化問題，提出變頻率區(qū)間約束的連續(xù)體微觀結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化方法，并給出兩算例。結(jié)論如下:

(1)所提方法能有效優(yōu)化設(shè)計考慮頻率約束的連續(xù)體微觀結(jié)構(gòu)。

(2)在頻率近似式中，考慮宏觀單元等效質(zhì)量矩陣的一階量影響，可使優(yōu)化近似模型更有效，更能避免目標函數(shù)振蕩現(xiàn)象發(fā)生。

［1］Xing Y F，Yang Y.An eigenelement method of periodical composite structures［J］.Composite Structures，2011，93(2): 502－512.

［2］Neto M A，Yu W B，Tang T，et al.Analysis and optimization of heterogeneous materials using the variational asymptoticmethodforunitcellhomogenization［J］. Composite Structures，2010，92(12):2946－2954.

［3］SigmundO.Materialswithprescribedconstitutive parameters:aninversehomogenizationprobiem［J］. Internationai Journai of soiids and Structures，1994，31(17): 2313－2329.

［4］Hassani B，Hinton E.A review of homogenization and topology optimization I－h(huán)omogenization theory for media with periodic structure［J］.Comput Struct，1998，69(6):707－717.

［5］Hassani B，Hinton E.A review of homogenization and topology optimization II－analytical and numerical solution of homogenization equations［J］.Comput Struct，1998，69(6): 719－738.

［6］Niu B，Yan J，Cheng G.Optimum structure with homogeneous optimum cellular material for maximum fundamental frequency［J］.Struct Multidisc Optim，2009，39(2):115－132.

［7］Huang X，Zhou S W，Xie Y M，et al.Topology optimization of microstructures of cellular materials and composites for macrostructures［J］.Computational Materials Science，2013，67:397－407.

［8］Zuo Zhi－h(huán)ao，Huang Xiao－dong，Rong Jian－h(huán)ua，et al.Multiscale designofcompositematerialsandstructuresfor maximum natural frequencies［J］.Materials and Design，2013，51:1023－1034.

［9］Yi Y M，Park S H，Youn S K.Design of microstructures of viscoelastic composites for optimal damping characteristics［J］.International Journal of Solids and Structures，2000，37(35):4791－4810.

［10］邢曉娟，榮見華，鄧果.一種變頻率約束限的結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化方法［J］.振動與沖擊，2008，27(10):56－60.

XING Xiao－juan，RONG Jian－h(huán)ua，DENG Guo.A structural topologic optimization method based on varying frequency constraint limits［J］.Journal of Vibration and Shock，2008，27(10):56－60.

Topology optimization of micro structures with varying frequency interval constraints

ZHAO Zhi－jun1，3，RONG Jian－h(huán)ua2，HUANG Fang－lin1，YU Liao－h(huán)ong2
(1.School of Civil Engineering，Central South University，Changsha 410000，China; 2.School of Automotive and Mechanical Engineering，Changsha University of Science and Technology，Changsha 410076，China; 3.Department of Civil Engineering，Changsha University，Changsha 410003，China)

Based on the idea of structural topology optimization，a structural material optimization method considering varying frequency interval constraints was proposed.By use of homogenization and ICM(Independence，Continuity and Mapping)method，the effective mass matrix and its derivatives were established by taking the reciprocal topological variables of micro structural elements as design variables，and the first order approximate explicit functions of frequency interval constraints were constructed.Integrating with the idea of varying frequency interval constraints，a topological optimization model of micro structures was formed by taking the structural mass as objective function and the frequency as constraint function.Here，a dual solving method was adopted.The results of two examples show that the proposed method is feasible and effective，and the optimal result obtained by the proposed method，where the variation of mass matrix is considered，is more reasonable.

micro structure;topology optimization;frequency constraint;material design

TU311.3;TB123

A

10.13465/j.cnki.jvs.2015.02.018

國家自然科學(xué)基金項目(11372055，51228801);長沙理工大學(xué)橋梁工程湖南省普通高校重點實驗室開放基金(10KA07);長沙學(xué)院科研基金項目(CDJJ－10010110)

2013－11－08修改稿收到日期:2014－01－28

趙志軍男，博士生，講師，1982年2月生

榮見華男，博士，教授，1963年7月生

郵箱:rongjhua@yahoo.com.cn