懸臂Kagome夾心板獨(dú)立模態(tài)空間振動(dòng)控制研究

郭空明，江俊

(1.西安電子科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，西安 710071;2.西安交通大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710049)

懸臂Kagome夾心板獨(dú)立模態(tài)空間振動(dòng)控制研究

郭空明1，2，江俊2

(1.西安電子科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，西安 710071;2.西安交通大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710049)

針對(duì)懸臂板撓度大、低頻振動(dòng)突出問(wèn)題，對(duì)懸臂Kagome夾心板的振動(dòng)主動(dòng)控制進(jìn)行研究。建立結(jié)構(gòu)及壓電作動(dòng)器有限元模型;將獨(dú)立模態(tài)空間控制與模態(tài)觀(guān)測(cè)器相結(jié)合，提出懸臂Kagome夾心板的主動(dòng)控制策略;針對(duì)突風(fēng)載荷作用下夾心板基于獨(dú)立模態(tài)空間的振動(dòng)控制進(jìn)行仿真，重點(diǎn)研究觀(guān)測(cè)器極點(diǎn)對(duì)控制效果影響。結(jié)果表明，所提控制方法能顯著提高懸臂Kagome夾心板結(jié)構(gòu)的阻尼特性，觀(guān)測(cè)器衰減系數(shù)越大控制效果越好;該夾心板在振動(dòng)控制方面較傳統(tǒng)板結(jié)構(gòu)優(yōu)勢(shì)明顯。

懸臂板;Kagome夾心板;獨(dú)立模態(tài)空間控制;模態(tài)觀(guān)測(cè)器

航空航天領(lǐng)域新材料作用日漸突出。Kagome夾心板［1］作為超輕多孔材料除具有輕質(zhì)、高比剛度、高比強(qiáng)度等優(yōu)越性能外，在振動(dòng)控制方面亦具有明顯優(yōu)越性。普通板結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制一般通過(guò)表面粘貼約束層阻尼或壓電片實(shí)現(xiàn)，不僅影響板面的平整性亦增加質(zhì)量及厚度。而Kagome夾心板板面被Kagome類(lèi)型平面桁架代替，通過(guò)將一小部分桁架替換成作動(dòng)器，可實(shí)現(xiàn)板面高效變形。因此若將少部分桁架替換為阻尼器或作動(dòng)器，便可分別實(shí)現(xiàn)被動(dòng)［2］與主動(dòng)控制［3］。該方法所需作動(dòng)器、阻尼器數(shù)較少，安裝方便，且不影響板面形狀。

外伸式懸臂薄板為航天航空領(lǐng)域中常見(jiàn)結(jié)構(gòu)。如無(wú)人機(jī)機(jī)翼、衛(wèi)星太陽(yáng)能帆板、板狀天線(xiàn)等。由于航天航空對(duì)重量的限制及此類(lèi)結(jié)構(gòu)一般無(wú)需承受較大載荷致其剛度較低，在受擾動(dòng)時(shí)易引發(fā)衰減緩慢的低頻振動(dòng)，需進(jìn)行減振設(shè)計(jì)。傳統(tǒng)的振動(dòng)抑制方法有動(dòng)力吸振［4］、被動(dòng)控制［5］、主動(dòng)控制［6］及半主動(dòng)控制［7］等。動(dòng)力吸振及半主動(dòng)控制因會(huì)顯著增加結(jié)構(gòu)質(zhì)量而在航空航天領(lǐng)域中應(yīng)用較少。被動(dòng)耗能控制對(duì)高頻振動(dòng)抑制效果較好，而對(duì)低頻效果則不佳。故在航天航空領(lǐng)域中，振動(dòng)主動(dòng)控制方法逐漸受到重視。

在結(jié)構(gòu)振動(dòng)中能量往往集中于少數(shù)幾階模態(tài)，一般為低階模態(tài)。尤其對(duì)自由響應(yīng)而言，由于結(jié)構(gòu)自身阻尼作用，高階模態(tài)振動(dòng)較快衰減，故在振動(dòng)主動(dòng)控制中往往只需控制少數(shù)低階模態(tài)。獨(dú)立模態(tài)空間控制［8］(IMSC)即為模態(tài)控制方法。該方法計(jì)算量小、針對(duì)性強(qiáng)且可靈活選擇控制律，已成為主動(dòng)控制的常用方法。因模態(tài)坐標(biāo)無(wú)法由傳感器直接測(cè)得，故IMSC需與模態(tài)濾波器［8］或模態(tài)觀(guān)測(cè)器［3］結(jié)合使用。

本文基于懸臂Kagome夾心板有限元模型，以抑制突風(fēng)載荷下結(jié)構(gòu)豎向位移、轉(zhuǎn)角為目的，用IMSC對(duì)夾心板進(jìn)行振動(dòng)控制，以控制力上限最小化為準(zhǔn)則對(duì)作動(dòng)器位置進(jìn)行優(yōu)化，并著重研究模態(tài)觀(guān)測(cè)器增益與控制效果之關(guān)系。

1 Kagome夾心板及壓電作動(dòng)器有限元模型

1.1 懸臂Kagome夾心板有限元模型

Kagome夾心板由面板、四面體狀?yuàn)A心層(灰色)及Kagome平面桁架(黑色，桁架在形狀、尺寸及材料上完全相同)構(gòu)成，見(jiàn)圖1。

圖1 Kagome夾心板示意圖Fig.1 Schematic of Kagome sandwich plate

本文研究的Kagome夾心板結(jié)構(gòu)有限元模型見(jiàn)圖2。模型由PATRAN建立，面板離散為918個(gè)cquad4單元;桁架均用cbar單元，共2 556根，其中Kagome桁架1 278根。板、桁架規(guī)格見(jiàn)表1。計(jì)算所得前四階模態(tài)固有頻率及振型見(jiàn)圖3，其中A、B兩點(diǎn)為結(jié)構(gòu)響應(yīng)觀(guān)測(cè)點(diǎn)。由圖3看出，懸臂夾芯板固有頻率較低，尤其第一階僅4.9 Hz。第一階模態(tài)振型為一階彎曲，第二階模態(tài)振型為一階扭轉(zhuǎn)，三、四階模態(tài)為高階彎曲與彎扭組合。由于結(jié)構(gòu)振動(dòng)頻率較低，適合用主動(dòng)振動(dòng)控制方法。

圖2 懸臂Kagome夾芯板及Kagome平面桁架有限元模型Fig.2 Finite element models of cantilever Kagome sandwich plate and Kagome planar truss

表1 面板、桁架材料及尺寸Tab.1 Material parameters and size of face sheet and truss rods

圖3 懸臂Kagome夾心板1～4階模態(tài)固有頻率及振型Fig.3 Natural frequencies and modal shapes of mode 1～4 of cantilever Kagome plate

1.2 壓電作動(dòng)器有限元模型

本文用壓電作動(dòng)器進(jìn)行主動(dòng)控制。忽略壓電單元自感應(yīng)電場(chǎng)。壓電堆動(dòng)力學(xué)方程［9］為

式中:ρ為壓電堆密度;A為壓電堆截面積;L為壓電堆總長(zhǎng);x1，x2為壓電堆兩端點(diǎn)位移;cE33為常電場(chǎng)E作用下壓電堆軸向彈性模量;n為壓電堆所含壓電片個(gè)數(shù);d33為壓電應(yīng)變系數(shù);φ為壓電片兩端電勢(shì)差。

壓電作動(dòng)器結(jié)構(gòu)見(jiàn)圖4。其中預(yù)壓彈簧可使壓電堆處于受壓狀態(tài)，使作動(dòng)器既可產(chǎn)生推力也可產(chǎn)生拉力;球鉸用于防止壓電堆受到彎曲、扭轉(zhuǎn)作用。

圖4 壓電作動(dòng)器示意圖Fig.4 Sketch of the piezoelectric actuator

結(jié)合連桿和及壓電堆有限元模型，并凝聚掉內(nèi)部自由度，得壓電作動(dòng)器在局部坐標(biāo)下的有限元模型為

式中:［Me］為質(zhì)量矩陣;［Ke］為剛度矩陣;［Kce］為位移變量與電勢(shì)變量耦合矩陣;{qe}為位移向量;φ為電勢(shì)變量。矩陣［Me］，［Ke］，［Kce］表達(dá)式為

式中:k1，k3為兩連桿剛度;k2為壓電堆、外套及預(yù)壓彈簧等效剛度;mp為壓電堆質(zhì)量;m1，m3為兩連桿質(zhì)量;mt為外套及預(yù)壓彈簧總質(zhì)量。其它部件質(zhì)量較小，可忽略。

在設(shè)計(jì)尺寸下作動(dòng)器軸向剛度與原桿件軸向剛度基本一致，替換作動(dòng)器幾乎不對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性產(chǎn)生影響。當(dāng)外加電壓為V時(shí)φ=－V，作動(dòng)器作動(dòng)力為

2 振動(dòng)主動(dòng)控制方案

2.1 獨(dú)立模態(tài)空間控制

不考慮外部載荷，含作動(dòng)器的結(jié)構(gòu)方程為

式中:{q}為節(jié)點(diǎn)位移向量;{q·}為速度向量;{q··}為加速度向量;［M］為質(zhì)量矩陣;［D］為阻尼矩陣;［K］為剛度矩陣;［Bs］為作動(dòng)器空間耦合矩陣;{u}為控制力向量;{yd}為位移觀(guān)測(cè)向量;{yv}為速度觀(guān)測(cè)向量;［Cd］為位移觀(guān)測(cè)矩陣;［Cv］為速度觀(guān)測(cè)矩陣。

IMSC所需作動(dòng)器及傳感器數(shù)目相等，均等于需控制的模態(tài)數(shù)。將全部模態(tài)分為控制模態(tài)與剩余模態(tài)兩類(lèi)，下標(biāo)c，r分別對(duì)應(yīng)控制模態(tài)、剩余模態(tài)。設(shè)［ψ］為系統(tǒng)模態(tài)矩陣，含控制模態(tài)［ψc］及剩余模態(tài)［ψr］兩部分，令

式中:{qm}為模態(tài)位移向量，含控制模態(tài){qmc}及剩余模態(tài){qmr}兩部分。

將式(5)代入式(4)，用［ψ］T左乘式(4)第一方程，得

在IMSC中據(jù)模態(tài)位移、速度求得所需模態(tài)控制力向量{fc}，再求出物理控制力向量{u}。設(shè)控制模態(tài)數(shù)為n，則式(8)含n個(gè)由控制模態(tài)組成的獨(dú)立方程，第i階模態(tài)方程為

2.2 模態(tài)觀(guān)測(cè)器

一般情況下，模態(tài)坐標(biāo)下位移、速度等無(wú)法直接測(cè)得。因此需能估計(jì)模態(tài)坐標(biāo)的觀(guān)測(cè)器。對(duì)自由度較多的結(jié)構(gòu)，只選所需控制模態(tài)進(jìn)行觀(guān)測(cè)。為此，將式(6)控制模態(tài)部分寫(xiě)成狀態(tài)空間形式為

式中:［Ac］為系統(tǒng)矩陣;［Bc］為輸入矩陣;［Cc］為輸出

矩陣;{xc}為控制部分狀態(tài)向量，形式有

式中:［P］為Riccati方程的解;［W］為系統(tǒng)噪聲的協(xié)方差矩陣;［V］為測(cè)量噪聲的協(xié)方差矩陣。觀(guān)測(cè)器增益矩陣［Hc］為

由于模態(tài)觀(guān)測(cè)器未考慮剩余模態(tài)，可能造成控制模態(tài)阻尼比增加時(shí)剩余模態(tài)阻尼比反而減小，該現(xiàn)象稱(chēng)為溢出。若某階剩余模態(tài)阻尼比降為負(fù)值，系統(tǒng)會(huì)不穩(wěn)定。為分析主動(dòng)控制作用下系統(tǒng)的穩(wěn)定性，定義觀(guān)測(cè)器的誤差向量為

閉環(huán)矩陣所有特征值實(shí)部均為負(fù)值時(shí)系統(tǒng)才是穩(wěn)定的。矩陣中［Hc］［Cr］使傳感器輸出中帶有剩余模態(tài)的量，稱(chēng)為觀(guān)測(cè)溢出。同時(shí)，剩余模態(tài)通過(guò)［B］［G］對(duì)剩余模態(tài)進(jìn)行激勵(lì)，稱(chēng)為控制溢出。模態(tài)觀(guān)測(cè)器即為減少觀(guān)測(cè)輸出中剩余模態(tài)分量，通過(guò)設(shè)計(jì)觀(guān)測(cè)器增益矩陣將其作為觀(guān)測(cè)噪聲過(guò)濾掉。

為進(jìn)一步減少觀(guān)測(cè)輸出中剩余模態(tài)分量，重寫(xiě)式(17)、(18)［10］為

3 突風(fēng)載荷下懸臂Kagome夾心板振動(dòng)控制

3.1 突風(fēng)載荷及結(jié)構(gòu)響應(yīng)

考慮Kagome夾心板作為機(jī)翼受突風(fēng)擾動(dòng)，設(shè)突風(fēng)載荷垂直于板面并沿展向均勻分布。飛行器受擾運(yùn)動(dòng)只有豎直方向自由度z，以飛行器質(zhì)心為準(zhǔn)，以向下為正。運(yùn)動(dòng)方程［11］為

式中:M為飛行器質(zhì)量;LG為突風(fēng)引起的總升力，計(jì)算公式為

式中:ρ為空氣密度;S為機(jī)翼表面積;U為飛行速度; CL為升力系數(shù);α為攻角;wG為突風(fēng)速度。

將式(23)代入式(22)得

設(shè)突風(fēng)載荷作用于1/4弦長(zhǎng)處，對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行突風(fēng)響應(yīng)模擬，重點(diǎn)觀(guān)察懸臂板豎向位移及扭轉(zhuǎn)。觀(guān)測(cè)點(diǎn)為圖1中A、B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)為豎向位移觀(guān)測(cè)點(diǎn)。無(wú)量綱扭轉(zhuǎn)角φ的計(jì)算式為

式中:zA，zB分別為A、B兩點(diǎn)豎向位移;b為懸臂板寬度。

圖5 突風(fēng)載荷下豎向位移及轉(zhuǎn)角的響應(yīng)Fig.5 Responses of vertical displacement and angle of rotation under gust load

對(duì)暫態(tài)激勵(lì)，高階模態(tài)頻衰減較快，且加速度傳感器帶寬有限，無(wú)法測(cè)得一定范圍外的高階信號(hào)，不考慮此模態(tài)引發(fā)的溢出。因此可采用模態(tài)截?cái)喾椒ㄟM(jìn)行時(shí)域計(jì)算。設(shè)傳感器截止頻率約1 000 Hz，取前200階模態(tài)(最高頻率1 030 Hz)，模態(tài)阻尼比取1%。計(jì)算獲得豎向位移及轉(zhuǎn)角的時(shí)、頻域響應(yīng)見(jiàn)圖5。由圖5看出，位移、轉(zhuǎn)角衰減較慢，尤其位移，由于振動(dòng)頻率較低，1 s后仍未充分衰減。

3.2 控制效果

由圖5知，位移、轉(zhuǎn)角分別以第一、二階模態(tài)為主，故用IMSC對(duì)兩階模態(tài)進(jìn)行控制，所需作動(dòng)器數(shù)目、傳感器數(shù)目為2。需替換兩根桁架作為作動(dòng)器，占Kagome平面桁架的0.16%，桁架總數(shù)的0.08%。通過(guò)作動(dòng)器合理優(yōu)化布置，可在給定模態(tài)作動(dòng)力前提下使所需物理作動(dòng)力盡量小。因此用作動(dòng)器優(yōu)化方法［2］使作動(dòng)力上限盡量小。優(yōu)化目標(biāo)為使矩陣［Bmc］的最小奇異值σmin最大化，即

因只需確定兩根作動(dòng)器位置，組合優(yōu)化問(wèn)題計(jì)算量較小，可用遍歷方法取得最優(yōu)解。傳感器位置由每階模態(tài)中z向位移最大節(jié)點(diǎn)確定。作動(dòng)器、傳感器位置見(jiàn)圖6中粗實(shí)線(xiàn)及三角形。所用電容式三軸加速度傳感器體積小、重量輕，布置于Kagome桁架連結(jié)點(diǎn)。對(duì)所測(cè)加速度積分便可獲得節(jié)點(diǎn)速度及位移。由于系統(tǒng)頻率較低，為使結(jié)構(gòu)振動(dòng)盡快衰減，取前兩階模態(tài)期望達(dá)到模態(tài)阻尼比為7.5%。

圖6 作動(dòng)器和傳感器的位置Fig.6 Placements of actuators and sensors

式(21)中，［V］可抑制觀(guān)測(cè)輸出中剩余模態(tài)成分。［V］越大抑制效果越好，但也會(huì)使觀(guān)測(cè)器收斂速度變慢。因此就觀(guān)測(cè)器對(duì)控制效果影響進(jìn)行研究。固定［W］=［I］，分別取［V］=［I］，5［I］，10［I］，20［I］，其中［I］為單位矩陣，獲得不同觀(guān)測(cè)器增益矩陣［Hc］。對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)進(jìn)行特征值分析，在復(fù)平面繪制各情況下觀(guān)測(cè)器一對(duì)閉環(huán)極點(diǎn)，見(jiàn)圖7。由圖7看出，［V］越小，復(fù)平面觀(guān)測(cè)器極點(diǎn)越靠左，誤差衰減越快。

為考察觀(guān)測(cè)器極點(diǎn)對(duì)控制效果影響，計(jì)算四種權(quán)矩陣及未施加控制時(shí)五種情況的位移、轉(zhuǎn)角時(shí)間歷程，見(jiàn)圖8。由于轉(zhuǎn)角振動(dòng)頻率較高，為便于觀(guān)察，取小的時(shí)間范圍。由圖8看出，主動(dòng)控制效果非常明顯，較未控制狀態(tài)，位移、轉(zhuǎn)角衰減速度均有較大提高。

計(jì)算獲得四種控制情況下真實(shí)響應(yīng)衰減速率及模態(tài)阻尼比。［V］=［I］，5［I］，10［I］，20［I］時(shí)第一階模態(tài)阻尼比分別為7.48%、6.68%、5.86%、4.88%，第二階模態(tài)阻尼比分別為7.31%、7.06%、6.75%、6.09%。由于觀(guān)測(cè)誤差衰減速率為有限值，因此模態(tài)阻尼比不能精確達(dá)到設(shè)計(jì)的7.5%;而權(quán)矩陣［V］越小，觀(guān)測(cè)器極點(diǎn)越靠近復(fù)平面左側(cè)，誤差衰減越快，所達(dá)真實(shí)模態(tài)阻尼比越接近設(shè)計(jì)值。因此，在保證無(wú)控制溢出前提下，應(yīng)盡量提高觀(guān)測(cè)器衰減速率。

圖7 不同權(quán)矩陣時(shí)觀(guān)測(cè)器極點(diǎn)比較Fig.7 Comparison of observer poles using different weighting matrices

圖8 五種情況下位移、轉(zhuǎn)角響應(yīng)Fig.8 Responses of displacement and angle of rotation in five cases

4 結(jié)論

針對(duì)航空航天領(lǐng)域中懸臂結(jié)構(gòu)振動(dòng)問(wèn)題，本文引入新材料—Kagome夾心板結(jié)構(gòu)實(shí)施振動(dòng)主動(dòng)控制。對(duì)突風(fēng)載荷作用的懸臂Kagome夾心板結(jié)構(gòu)用IMSC方法，以控制力上限最小化為目標(biāo)，利用作動(dòng)器實(shí)現(xiàn)對(duì)結(jié)構(gòu)前兩階模態(tài)振動(dòng)控制。結(jié)論如下:

(1)對(duì)懸臂Kagome夾心板用IMSC進(jìn)行主動(dòng)控制，只需用作動(dòng)器替換結(jié)構(gòu)中極少桁架桿，便會(huì)有較好的振動(dòng)控制效果。

(2)觀(guān)測(cè)器誤差收斂速度會(huì)影響實(shí)際達(dá)到的模態(tài)阻尼比，在保證閉環(huán)穩(wěn)定性前提下應(yīng)使觀(guān)測(cè)器收斂速度盡量加快。

(3)由于作動(dòng)器布置于Kagome平面桁架，不會(huì)影響面板形狀及厚度。對(duì)易產(chǎn)生低頻振動(dòng)的懸臂板結(jié)構(gòu)，Kagome夾心板應(yīng)用前景較好。

(4)通過(guò)研究觀(guān)測(cè)器增益與控制效果之關(guān)系知，權(quán)矩陣越小誤差衰減越快，真實(shí)模態(tài)阻尼比越接近設(shè)計(jì)值。應(yīng)在保證無(wú)控制溢出前提下盡量提高觀(guān)測(cè)器衰減速率。

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Independent modal space vibration control of cantilever Kagome sandwich plate

GUO Kong－ming1，2，JIANG Jun2
(1.School of Electronic and Mechanical Engineering，Xidian University，Xi＇an 710071，China;
2.State Key Laboratory for Strength and Vibration of Mechanical Structures，Xi＇an Jiaotong University，Xi＇an 710049，China)

Active vibration of a kind of cantilever Kagome sandwich plate was studied.A finite element model of the cantilever structure with piezoelectric actuator was established.An active control strategy for cantilever Kagome sandwich plate was proposed by combining the independent modal space control with a modal observer.Aiming at one kind of gust load，the independent modal space control of Kagome sandwich plate was simulated，while the influence of observer poles on the control effect was focused on.The results show that the control method can significantly improve the damping properties，and a greater attenuation factor of the observer can get better control effect.Therefore，Kagome sandwich panel has obvious advantages over traditional board structure in vibration control aspect.

cantilever plate;Kagome sandwich plate;independent modal space control;modal observer

O328;V214.3

A

10.13465/j.cnki.jvs.2015.02.010

中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專(zhuān)項(xiàng)資金項(xiàng)目(K5051304012)

2013－11－08修改稿收到日期:2014－01－15

郭空明男，博士，講師，1985年生