基于中心流形理論的小水電并網(wǎng)系統(tǒng)Hopf分岔分析

張中華，付景超，李鵬松

(東北電力大學(xué)理學(xué)院，吉林 132012)

基于中心流形理論的小水電并網(wǎng)系統(tǒng)Hopf分岔分析

張中華，付景超，李鵬松

(東北電力大學(xué)理學(xué)院，吉林 132012)

針對小水電并網(wǎng)系統(tǒng)，用Matcont軟件搜尋系統(tǒng)的Hopf分岔點繪制分岔圖;利用中心流形理論將高維電力系統(tǒng)降到二維模型，并通過計算二維模型分岔穩(wěn)定性指標(biāo)的正負(fù)判定原系統(tǒng)Hopf分岔類型。結(jié)果表明，分岔穩(wěn)定性指標(biāo)大于零時電壓失穩(wěn)，小于零時電壓穩(wěn)定。用Matlab軟件對討論結(jié)果進行數(shù)值仿真，證明理論結(jié)果的正確性。

電力系統(tǒng);Hopf分岔;中心流形理論;電壓穩(wěn)定性

電力系統(tǒng)的電壓失穩(wěn)因致電壓崩潰造成巨大損失而被廣泛關(guān)注及研究。電壓失穩(wěn)為系統(tǒng)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性問題，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)失穩(wěn)時存在局部或全局分岔現(xiàn)象為電壓失穩(wěn)的主要原因之一。各種分岔中Hopf分岔［1］為最基本、最具代表性的分岔形式。已有研究表明，Hopf分岔可能先于鞍結(jié)分岔出現(xiàn)而導(dǎo)致電壓失穩(wěn)或崩潰［2］。因此，研究電力系統(tǒng)Hopf分岔具有重大意義。

文獻(xiàn)［3］研究小電源為汽輪發(fā)電機時對負(fù)荷斷面電壓穩(wěn)定影響，利用模態(tài)分析法討論機組勵磁及調(diào)速系統(tǒng)增益環(huán)節(jié)對電壓穩(wěn)定指標(biāo)影響，但對分岔行為未詳細(xì)討論。文獻(xiàn)［4］用Matlab數(shù)值分岔分析軟件對一經(jīng)典單機－動態(tài)負(fù)荷系統(tǒng)進行分岔分析，驗證PQ動態(tài)負(fù)荷模型系統(tǒng)存在鞍結(jié)分岔現(xiàn)象，但未研究Hopf分岔現(xiàn)象。文獻(xiàn)［5］研究小水電并網(wǎng)系統(tǒng)的電壓穩(wěn)定性，并結(jié)合圖形討論機械轉(zhuǎn)矩及勵磁系統(tǒng)增益對電壓穩(wěn)定性影響，但未進行理論分析。電力系統(tǒng)Hopf分岔研究多采用數(shù)值模擬方法［6－9］。本文在文獻(xiàn)［5］基礎(chǔ)上利用中心流形降維理論［10］將高維電力系統(tǒng)降維進行Hopf分岔理論分析，并據(jù)所得分岔穩(wěn)定性指標(biāo)［11］判定原系統(tǒng)Hopf分岔類型。通過Matlab軟件編程驗證理論結(jié)果的正確性，為研究高維電力系統(tǒng)電壓穩(wěn)定性分析提供新途徑。

1 小水電并網(wǎng)系統(tǒng)

該電力系統(tǒng)為負(fù)荷中心含小水電的系統(tǒng)，負(fù)荷采用Walve等值電動機模型及恒定功率負(fù)荷模型并聯(lián)的綜合模型模擬;小水電接入負(fù)荷中心母線，接入線路阻抗忽略不計，見圖1。式中:δ為發(fā)電機轉(zhuǎn)子角(rad);ω為轉(zhuǎn)子角速度(rad/ s);E'q為發(fā)電機暫態(tài)電勢;Efq為發(fā)電機勵磁電勢;V，θ為負(fù)荷母線電壓幅值及相角;P1為負(fù)荷中心恒功率負(fù)荷有功功率;Id為發(fā)電機定子電流直軸分量;P，Q分別為負(fù)荷有功、無功需求;Me為發(fā)電機電磁轉(zhuǎn)矩。各因數(shù)表達(dá)式為

圖1 小水電并網(wǎng)系統(tǒng)簡化模型Fig.1 Simplified model of the grid－connected small hydropower system

2 系統(tǒng)Hopf分岔點尋找及分岔圖

選可變參數(shù)P1為分岔參數(shù)，式(1)取上述參數(shù)值時，利用Matcont軟件可搜尋到系統(tǒng)的四Hopf分岔點。分岔點位置見圖2、圖3。

圖2 平衡點分岔位置圖Fig.2 Bifurcation position diagram near equilibrium

圖3 平衡點分岔位置圖Fig.3 Bifurcation position diagram near equilibrium

圖4 式(1)H1處分岔圖Fig.4 Bifurcation diagram calculated by Eq.(1)for H1

圖5 式(1)H2處分岔圖Fig.5 Bifurcation diagram calculated by Eq.(1)for H2

圖6 式(1)H3處分岔圖Fig.6 Bifurcation diagram calculated by Eq.(1)for H3

圖7 式(1)H4處分岔圖Fig.7 Bifurcation diagram calculated by Eq.(1)for H4

四個Hopf分岔點分別為

式(1)在H1，H2，H3，H4處分岔圖分別見圖4～圖7。由圖中看出，式(1)在H1、H2處的Hopf分岔方向均發(fā)生于臨界點右側(cè)，在H3、H4處的Hopf分岔方向均發(fā)生于臨界點左側(cè)。

3 系統(tǒng)Hopf分岔點類型判定

研究式(1)P1=－3.742 371時的Hopf分岔類型。在分岔點H1處計算導(dǎo)算子的6個特征值為

(λ1，λ2，λ3，λ4，λ5，λ6)=(－4.850 86，－0.079 26+

式中:y=［y1，y2，y3，y4，y5，y6］T，T為分岔點H1處導(dǎo)算子特征值對應(yīng)的特征向量實部、虛部組成的變換矩陣。變換后得

式中:β2為判斷非線性系統(tǒng)在Hopf分岔點處分岔類型的特征量，稱分岔穩(wěn)定性指標(biāo)。

β2＞0時分岔類型為超臨界Hopf分岔，系統(tǒng)在平衡點處發(fā)生等幅振蕩，出現(xiàn)穩(wěn)定極限環(huán);β2＜0時分岔類型為亞臨界Hopf分岔，系統(tǒng)在平衡點處發(fā)生增幅振蕩，出現(xiàn)不穩(wěn)定極限環(huán)。據(jù)規(guī)范形理論［11］知，g20，g11，g02，g21分別為規(guī)范形系統(tǒng)中非線性項在零平衡點處對變量求偏導(dǎo)后的值。對式(5)，在零平衡點條件下計算結(jié)果為

由Hopf分岔理論［1］知，式(5)在平衡點(0，0)處發(fā)生的為亞臨界Hopf分岔，見圖8，仿真初值為(y4，y5) =(10－5，10－5)。因此，式(1)在平衡點H1處發(fā)生的為亞臨界Hopf分岔，見圖9，仿真初值為(δ，ω，E'q，Efd，V，θ)=(2.631 167，1，0.002 401，1.673 169，0.991 794，0.355 225)。由圖9看出，電壓u隨時間t的增加作增幅振蕩，且越來越強烈。即系統(tǒng)在Hopf分岔點H1處發(fā)生亞臨界Hopf分岔致結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定，體現(xiàn)為電壓失穩(wěn)。

圖10 H2鄰域內(nèi)電壓幅值V的仿真曲線Fig.10 Simulation curve of voltage V neighborhood of H2

圖11 H3鄰域內(nèi)電壓幅值V的仿真曲線Fig.11 Simulation curve of voltage V neighborhood of H3

圖12 H4鄰域內(nèi)電壓幅值V的仿真曲線Fig.12 Simulation curve of voltage V neighborhood of H4

圖8 (0，0)鄰域內(nèi)y4仿真曲線及y4－y5平面軌跡Fig.8 Simulation curve of y4and phase trajectory in y4－y5plane neighborhood of(0，0)

圖9 H1鄰域內(nèi)轉(zhuǎn)角δ及電壓幅值V的仿真曲線Fig.9 Simulation curve of rotor angle δ and voltage V neighborhood of H1

由圖8看出，經(jīng)中心流形理論降維后的二維系統(tǒng)在原點(0，0)也發(fā)生亞臨界Hopf分岔，且隨時間增加系統(tǒng)振幅不斷增大。由圖(7)、圖(8)知，中心流形降維并未改變原系統(tǒng)的Hopf分岔性質(zhì)，說明在研究高維非線性動力系統(tǒng)的分岔性質(zhì)時可通過中心流形理論將高維系統(tǒng)降到低維系統(tǒng)進行研究，進一步了解高維系統(tǒng)的非線性性質(zhì)。

用同樣方法可判定式(1)在分岔點H2，H3處的Hopf分岔類型均為亞臨界分岔，在分岔點H4處的Hopf分岔類型為超臨界分岔，見圖10～圖12。在H2的仿真初值為(－1.377 174，1，0.039 78，1.405 589， 0.992 972，－0.481 710)，在H3的仿真初值為(－2.634 906，1，4.885 528，11.274 485，－0.953 628，12.727 280)，在H4的仿真初值為(－1.619 343，1，6.614 190，20.961 744，0.895 191，－1.672 56)。

4 結(jié)論

本文以小水電并網(wǎng)系統(tǒng)模型為例，將中心流形理論與極限環(huán)曲率系數(shù)法相結(jié)合，研究該系統(tǒng)的Hopf分岔類型，并借助Matcont及Matlab軟件對理論結(jié)果進行數(shù)值仿真，驗證所給方法判定Hopf分岔類型的有效性。本文方法可為研究高維電力系統(tǒng)Hopf分岔行為提供新途徑。

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Analysis on Hopf bifurcation of the grid-connected small hydropower system based on center manifold theory

ZHANG Zhong－h(huán)ua，F(xiàn)U Jing－chao，LI Peng－song
(College of Science，Northeast Dianli University，Jilin 132012，China)

The grid－connected small hydropower system was concerned.The Hopf bifurcation point of system was found and bifurcation diagrams were drawn by using Matcont Software.The high－dimensional power system was tranfeered to a two－dimensional system in the light of center manifold theory，and the bifurcation stability coefficient of the twodimensional system was calculated to determine the Hopf bifurcation type of original system.Some conclusions were drawn that the voltage is unstable when the stability coefficientis greater than zero and the voltage is stable when the stability coefficient is less than zero.Matlab Software was applied to verify the discussions.

power system;hopf bifurcation;center manifold theory;voltage stability

O193

A

10.13465/j.cnki.jvs.2015.02.009

吉林省科技發(fā)展計劃項目(20130101065JC);吉林省教育廳“十二五”科技研究項目(吉教科合字［2013］第429號)

2013－10－21修改稿收到日期:2014－01－19

張中華女，博士，講師，1979年11月生郵箱:zhangzhonghua1979@163.com