Taylor展開(kāi)式在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

韓寶燕

（山東工藝美術(shù)學(xué)院公共課教學(xué)部，山東 濟(jì)南250000）

1 利用泰勒公式求行列式的值

若一個(gè)行列式可看做x的函數(shù)（一般是x的n次多項(xiàng)式）,記作f（x）,按泰勒公式在某處x0展開(kāi),用這一方法可求得一些行列式的值.

例1 求n階行列式

解 記fn（x）=D,按泰勒公式在z處展開(kāi)：

易知

由（3）得,fk（z）=z（z-y）k-1,k=1，2，…,n.時(shí)都成立根據(jù)行列式求導(dǎo)的規(guī)則,有

因?yàn)椋╢1（x）=x），于是fn（x）在x=z處的各階導(dǎo)數(shù)為

把以上各導(dǎo)數(shù)代入（2）式中,有

2 利用泰勒公式證明導(dǎo)數(shù)不等式

分析：f（x）在[0，1]上二次可微，且最小值-1≠0，所以在（0，1）內(nèi)一定有極值點(diǎn)，該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0，題中可知f（x）二次可微，從這點(diǎn)我們可以想到使用泰勒公式，而要證明的結(jié)論中右邊是一個(gè)常數(shù)，故選在最小值點(diǎn)x0處泰勒展開(kāi)。

解：不妨設(shè)x0∈（0，1）為f（x）在[0,1]上的最小值點(diǎn)，則f（x0）=-1，f′（x0）=0，f（x）在x0處的泰勒公式：

，ξ是介于x與x0之間的某個(gè)值.

綜上所述，存在一點(diǎn)ξ∈（0，1），使f″（ξ）≥8.

3 利用泰勒公式判斷級(jí)數(shù)的斂散性

當(dāng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)表達(dá)式是由不同類型函數(shù)式構(gòu)成的繁難形式時(shí),往往利用泰勒公式將級(jí)數(shù)通項(xiàng)簡(jiǎn)化成統(tǒng)一形式,以便利用判斂準(zhǔn)則.

分析：直接根據(jù)通項(xiàng)去判斷該級(jí)數(shù)是正向級(jí)數(shù)還是非正向級(jí)數(shù)比較困難,因而也就無(wú)法恰當(dāng)選擇判斂方法,注意到,若將其泰勒展開(kāi)為的冪的形式,開(kāi)二次方后恰與相呼應(yīng),會(huì)使判斂容易進(jìn)行.

故該級(jí)數(shù)是正向級(jí)數(shù).

又因?yàn)?

所以

4 利用泰勒公式求高階導(dǎo)數(shù)在某些點(diǎn)的數(shù)值

如果f（x）泰勒公式已知,其通項(xiàng)中的加項(xiàng)（x-x0）n的系數(shù)正是（x0），從而可反過(guò)來(lái)求高階導(dǎo)數(shù)數(shù)值,而不必再依次求導(dǎo).

例4 求函數(shù)f（x）=x2ex在x=1處的高階導(dǎo)數(shù)f（100）（1）（2）.

解 設(shè)x=u=1,則

而g（u）中的泰勒展開(kāi)式中含u100的項(xiàng)應(yīng)為,從g（u）的展開(kāi)式知u100的項(xiàng)為u100,因此

［1］華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系,編.數(shù)學(xué)分析：上冊(cè)[M].3版.北京：高等教育出版社,2001(2008重印).

［2］華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系,編.數(shù)學(xué)分析：下冊(cè)[M].3版.北京：高等教育出版社,2001(2008重印).

［3］閆曉紅,王貴鵬,主編.數(shù)學(xué)分析全程導(dǎo)學(xué)及習(xí)題全解：上冊(cè)[M].北京：中國(guó)時(shí)代經(jīng)濟(jì)出版社,2006,2.

［4］閆曉紅,王貴鵬,主編.數(shù)學(xué)分析全程導(dǎo)學(xué)及習(xí)題全解：下冊(cè)[M].北京：中國(guó)時(shí)代經(jīng)濟(jì)出版社,2006,2.

［5］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系,編.高等數(shù)學(xué)：上冊(cè)[M].6版.北京：高等教育出版社,2007,6(2009重印).

［6］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系,編.高等數(shù)學(xué)：下冊(cè)[M].6版.北京：高等教育出版社,2007.6(2009重印).