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    Taylor展開(kāi)式在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

    2015-05-15 08:09:02韓寶燕
    科技視界 2015年15期
    關(guān)鍵詞:重印數(shù)學(xué)系展開(kāi)式

    韓寶燕

    (山東工藝美術(shù)學(xué)院公共課教學(xué)部,山東 濟(jì)南250000)

    1 利用泰勒公式求行列式的值

    若一個(gè)行列式可看做x的函數(shù)(一般是x的n次多項(xiàng)式),記作f(x),按泰勒公式在某處x0展開(kāi),用這一方法可求得一些行列式的值.

    例1 求n階行列式

    解 記fn(x)=D,按泰勒公式在z處展開(kāi):

    易知

    由(3)得,fk(z)=z(z-y)k-1,k=1,2,…,n.時(shí)都成立根據(jù)行列式求導(dǎo)的規(guī)則,有

    因?yàn)椋╢1(x)=x),于是fn(x)在x=z處的各階導(dǎo)數(shù)為

    把以上各導(dǎo)數(shù)代入(2)式中,有

    2 利用泰勒公式證明導(dǎo)數(shù)不等式

    分析:f(x)在[0,1]上二次可微,且最小值-1≠0,所以在(0,1)內(nèi)一定有極值點(diǎn),該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0,題中可知f(x)二次可微,從這點(diǎn)我們可以想到使用泰勒公式,而要證明的結(jié)論中右邊是一個(gè)常數(shù),故選在最小值點(diǎn)x0處泰勒展開(kāi)。

    解:不妨設(shè)x0∈(0,1)為f(x)在[0,1]上的最小值點(diǎn),則f(x0)=-1,f′(x0)=0,f(x)在x0處的泰勒公式:

    ,ξ是介于x與x0之間的某個(gè)值.

    綜上所述,存在一點(diǎn)ξ∈(0,1),使f″(ξ)≥8.

    3 利用泰勒公式判斷級(jí)數(shù)的斂散性

    當(dāng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)表達(dá)式是由不同類型函數(shù)式構(gòu)成的繁難形式時(shí),往往利用泰勒公式將級(jí)數(shù)通項(xiàng)簡(jiǎn)化成統(tǒng)一形式,以便利用判斂準(zhǔn)則.

    分析:直接根據(jù)通項(xiàng)去判斷該級(jí)數(shù)是正向級(jí)數(shù)還是非正向級(jí)數(shù)比較困難,因而也就無(wú)法恰當(dāng)選擇判斂方法,注意到,若將其泰勒展開(kāi)為的冪的形式,開(kāi)二次方后恰與相呼應(yīng),會(huì)使判斂容易進(jìn)行.

    故該級(jí)數(shù)是正向級(jí)數(shù).

    又因?yàn)?

    所以

    4 利用泰勒公式求高階導(dǎo)數(shù)在某些點(diǎn)的數(shù)值

    如果f(x)泰勒公式已知,其通項(xiàng)中的加項(xiàng)(x-x0)n的系數(shù)正是(x0),從而可反過(guò)來(lái)求高階導(dǎo)數(shù)數(shù)值,而不必再依次求導(dǎo).

    例4 求函數(shù)f(x)=x2ex在x=1處的高階導(dǎo)數(shù)f(100)(1)(2).

    解 設(shè)x=u=1,則

    而g(u)中的泰勒展開(kāi)式中含u100的項(xiàng)應(yīng)為,從g(u)的展開(kāi)式知u100的項(xiàng)為u100,因此

    [1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系,編.數(shù)學(xué)分析:上冊(cè)[M].3版.北京:高等教育出版社,2001(2008重印).

    [2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系,編.數(shù)學(xué)分析:下冊(cè)[M].3版.北京:高等教育出版社,2001(2008重印).

    [3]閆曉紅,王貴鵬,主編.數(shù)學(xué)分析全程導(dǎo)學(xué)及習(xí)題全解:上冊(cè)[M].北京:中國(guó)時(shí)代經(jīng)濟(jì)出版社,2006,2.

    [4]閆曉紅,王貴鵬,主編.數(shù)學(xué)分析全程導(dǎo)學(xué)及習(xí)題全解:下冊(cè)[M].北京:中國(guó)時(shí)代經(jīng)濟(jì)出版社,2006,2.

    [5]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系,編.高等數(shù)學(xué):上冊(cè)[M].6版.北京:高等教育出版社,2007,6(2009重印).

    [6]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系,編.高等數(shù)學(xué):下冊(cè)[M].6版.北京:高等教育出版社,2007.6(2009重印).

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