算籌：一場(chǎng)別開生面的數(shù)學(xué)競(jìng)賽

填下烏賊

如果問：“金庸小說中誰是‘?dāng)?shù)學(xué)達(dá)人？”想必很多人會(huì)不假思索地回答“神算子”瑛姑，她因?yàn)樵鷮?shí)的數(shù)學(xué)功底，所以獲得了和梁山好漢蔣敬一模一樣的外號(hào)，令人印象深刻。

中國(guó)數(shù)學(xué)（或者說“算術(shù)”）歷史非常悠久，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出一般人的想象。早在原始社會(huì)末期，隨著私有制和物物交換方式的產(chǎn)生，原始算術(shù)開始萌芽，距今6000多年前的仰韶文化、半坡文化遺址中，就已經(jīng)出現(xiàn)了數(shù)字符號(hào)和幾何圖形。

夏商時(shí)期，中國(guó)出現(xiàn)了世界上最早的十進(jìn)制計(jì)數(shù)法，這是一個(gè)了不起的發(fā)明，一直影響至今。十進(jìn)制或許是因?yàn)殡p手共有十指的原因，但當(dāng)統(tǒng)計(jì)數(shù)字超過十，手指不夠用了，古人就有必要借助于其他的計(jì)數(shù)工具。故而，從西周開始，算籌這種計(jì)數(shù)工具就出現(xiàn)了。在小說《射雕英雄傳》里，這也是瑛姑的武器——用來點(diǎn)穴。

算籌又稱為算、籌、策、算子等，是一種由竹、木、骨、鐵等材質(zhì)制造的扁平薄片，在算盤發(fā)明之前，它統(tǒng)治了中國(guó)近兩千年的計(jì)算歲月。小說中，郭靖和黃蓉第一次看到瑛姑時(shí)，她正趴在地上擺算籌，計(jì)算55225的平方根。

小說中寫道：“那些算子排成商、實(shí)、法、借算四行?！边@些專有名詞，在北宋賈憲的增乘開方法（求高次冪的正根法）和南宋秦九韶的正負(fù)開方術(shù)（高效次方程數(shù)值求解法）里，都曾出現(xiàn)。

黃蓉輕易地口算出55225的平方根是235、34012224的立方根是324，數(shù)學(xué)水平可比瑛姑高多了，估計(jì)比同時(shí)代的秦九韶還要強(qiáng)上幾分。瑛姑不服氣，用“天元之術(shù)”向黃蓉發(fā)起挑戰(zhàn)。

天元術(shù)是宋元時(shí)期發(fā)展起來的設(shè)未知數(shù)列方程的方法，南宋李冶在《敬齋古今黈》中記載了天元術(shù)早期發(fā)展的一些情況：早先東平有一種關(guān)于建立方程的方法算經(jīng)，以仙、明、霄、漢、壘、層、高、上、天、人、地、下、低、減、落、逝、泉、暗、鬼等19個(gè)漢字表示未知數(shù)的各次冪，正冪在上，負(fù)冪在下，以“人”作為常數(shù)項(xiàng)?！渡涞裼⑿蹅鳌分覍?shí)地還原了這個(gè)典故。

瑛姑出的題目是“四元術(shù)”，出現(xiàn)了天元、地元、人元、物元等專有名詞。其實(shí)這些名詞來自元代數(shù)學(xué)家朱世杰的《四元玉鑒》，所謂“四元術(shù)”就是今日的多元高次方程列式與消元解法，雖然也很奇妙，但離9次方的“仙”、負(fù)9次方的“鬼”還差得很遠(yuǎn)，所以根本不會(huì)給黃蓉造成什么麻煩。

惱羞成怒的瑛姑竟然用九宮圖來刁難黃蓉——九宮圖是中國(guó)最早的縱橫圖，亦稱幻方，據(jù)說是從黃帝和大禹時(shí)期的河圖洛書里發(fā)現(xiàn)的。西漢末期的《周易·乾鑿度》記載：“故太一取其數(shù)，以行九宮，四正四維皆合于十五。”換句話說，1～9這9個(gè)數(shù)字放在九宮格里，不論橫豎斜排列，數(shù)字相加都是15。

這道題目非常簡(jiǎn)單，我在小學(xué)三年級(jí)的暑假作業(yè)里就遇到過，也經(jīng)常在各種小學(xué)奧數(shù)班的習(xí)題里見到。但是，瑛姑竟然不知道！

黃蓉背出了九宮格的口訣（也就是答案）：“九宮之義，法以靈龜，二四為肩，六八為足，左三右七，戴九履一，五居中央?！边@個(gè)口訣的出處是北朝甄鸞的《數(shù)術(shù)記遺注》，該書描述說：“九宮者，二四為肩，六八為足，左三右七，戴九履一，五居中央?！币豢跉饨忾_了這個(gè)三階縱橫圖的小秘密。

瑛姑面如死灰，黃蓉適時(shí)“補(bǔ)刀”，又列出了四四圖、五五圖、百子圖，這些都是縱橫圖。黃蓉口述了四四圖的口訣：“以十六字依次作四行排列，先以外四角對(duì)換，一換十六，四換十三，后以內(nèi)四角對(duì)換，六換十一，七換十。這般橫直上下斜角相加，皆是三十四?！边@段文字一字不差地記載在南宋楊輝的《續(xù)古摘奇算法》之“易換術(shù)”中，這是解開四階縱橫圖的不二法門。

雖然縱橫圖早在《周易》時(shí)代就已問世，但楊輝是世界上最早對(duì)幻方進(jìn)行系統(tǒng)研究的數(shù)學(xué)家。他把縱橫圖從單一的方形擴(kuò)展到圓形、梅花形、雪花形、九宮八卦形乃至連環(huán)形，楊輝的奇異形縱橫圖因其多樣性和對(duì)稱性，創(chuàng)造了縱橫圖研究的一個(gè)巔峰?！吨袊?guó)科學(xué)技術(shù)史》的作者李約瑟對(duì)此深表欽佩。

在小說中，黃蓉又顯擺了九宮八卦圖的奧秘，說：“那九宮每宮又可化為一個(gè)八卦，八九七十二數(shù)，以從一至七十二之?dāng)?shù)，環(huán)繞九宮成圈，每圈八字，交界之處又有四圈，一共一十三圈，每圈數(shù)字相加，均為二百九十二?！?/p>

金庸小說中的“九宮八卦圖”就是楊輝創(chuàng)造的“連環(huán)圖”，由9個(gè)小圈三三組合，一共構(gòu)成13個(gè)小圈，每個(gè)小圈上的數(shù)字相加總值衡為292。

為了反擊瑛姑，黃蓉也布下了三道難題，分別是：包括日、月、水、火、木、金、土、羅睺、計(jì)都的“七曜九執(zhí)天竺筆算”，“立方招兵支銀給米題”和“鬼谷算題”。有熱心的讀者表示，前面兩道題分別講的是不定積分和等差數(shù)列，而最后一題據(jù)我考證，出自東晉末期的《孫子算經(jīng)》，答案是23。

這么看來，瑛姑的算術(shù)水平確實(shí)不如黃蓉，比之黃藥師更是天差地別，她要破解桃花島的迷宮救出老頑童，難度確實(shí)不小。

中國(guó)古代數(shù)學(xué)是世界科技、文化寶庫(kù)中一顆璀璨的明珠，在四大文明古國(guó)的數(shù)學(xué)史上，中國(guó)數(shù)學(xué)持續(xù)繁榮的時(shí)間最長(zhǎng)，所取得的成績(jī)也最為光彩奪目。中國(guó)古代數(shù)學(xué)先后歷經(jīng)了兩漢、魏晉南北朝和宋元三個(gè)發(fā)展高峰，并在明清之交與西方數(shù)學(xué)展開了積極的交流與合作。

作為基礎(chǔ)學(xué)科，中國(guó)數(shù)學(xué)在古代還是頗受重視的：《伏羲女媧圖》上，伏羲手持矩、女媧手持規(guī)，代表“天圓地方”；周代的貴族教育體系，稱之為“六藝”，指的是禮、樂、射、御、書、數(shù)，其中的“數(shù)”就是算數(shù)（算術(shù)、數(shù)學(xué)）；《周髀算經(jīng)》和《九章算術(shù)》開創(chuàng)了中國(guó)數(shù)學(xué)的先河；隋唐兩宋，都有專門的國(guó)家算術(shù)研究機(jī)構(gòu)，還有專門針對(duì)算術(shù)的科舉考試項(xiàng)目……然而，明清以后，隨著八股文壟斷科舉，中國(guó)數(shù)學(xué)走向了沒落。反觀西方，歐洲逐步邁進(jìn)資本主義社會(huì)，近代數(shù)學(xué)受生產(chǎn)力的刺激快速發(fā)展。這一進(jìn)一退之間，中國(guó)和西方國(guó)家數(shù)學(xué)水平的差距越拉越大。

金庸小說中，“數(shù)學(xué)”元素并不多見，無非瑛姑的算籌、黃蓉的試題、黃真的算盤。黃真是明末清初人物，彼時(shí)算盤已經(jīng)徹底取代了算籌，被應(yīng)用于中國(guó)人的日常生活中，但黃真的算術(shù)水平可能非常一般，他手上的那把算盤是兵器而不是計(jì)算器，說起來也是相當(dāng)可惜的。