多段壓裂水平井壓力動態(tài)特征分析

趙超，肖潔，許正棟，吳友梅，丁志文，王一帆

（1.中國石油大學(xué)（石油）石油工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 102249；2.中國石油華北油田公司勘探開發(fā)研究院，河北 任丘 062552；3.中國石油北油田公司采油工程研究院，河北 任丘 062552；4.中國石油塔里木油田分公司勘探開發(fā)研究院，新疆 庫爾勒 841000）

致密氣藏的天然氣產(chǎn)量已占國內(nèi)天然氣總年產(chǎn)量的1/5左右，其開發(fā)也越來越受到重視。由于致密砂巖氣藏具有低孔、低滲、裂縫發(fā)育等地質(zhì)特征[1]，多段壓裂水平井已經(jīng)成為開發(fā)此類氣藏的重要技術(shù)手段。目前，國內(nèi)對壓裂水平井的研究主要集中在預(yù)測穩(wěn)態(tài)產(chǎn)能[2-6]，對壓裂水平井非穩(wěn)態(tài)滲流規(guī)律研究較少。國外學(xué)者發(fā)表了均勻流量裂縫、無限導(dǎo)流裂縫和有限導(dǎo)流能力裂縫井的非穩(wěn)態(tài)滲流數(shù)學(xué)模型，并繪制了相應(yīng)壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線圖版[7-13]，但這些研究大多假定裂縫具有無限導(dǎo)流能力和裂縫導(dǎo)流能力恒定。微地震監(jiān)測和實(shí)驗(yàn)研究可以觀測到壓裂過程中復(fù)雜的裂縫網(wǎng)絡(luò)，裂縫沿著延伸方向多數(shù)為不規(guī)則，因此沿著裂縫延伸方向?qū)Я髂芰Σ豢赡芎愣ú蛔儭?/p>

筆者根據(jù)致密氣藏地質(zhì)特征，考慮人工裂縫變導(dǎo)流能力的影響，建立了致密氣藏多段壓裂水平井試井模型，應(yīng)用數(shù)學(xué)物理方法獲得了該模型的半解析解，分析應(yīng)力敏感效應(yīng)和變導(dǎo)流能力裂縫對壓裂水平井壓力動態(tài)特征的影響。

1 物理模型

裂縫沿x軸方向延伸，與y軸交叉，并沿y軸隨機(jī)分布（見圖 1）。將裂縫翼分成 N 等份，（xi，N，yi）為第 i條裂縫翼第N段的中點(diǎn)坐標(biāo)。數(shù)學(xué)模型假設(shè)條件：1）致密氣藏包含基質(zhì)和裂縫的雙重孔隙介質(zhì)，而且頂?shù)追忾]，具有恒定厚度；2）每條裂縫由兩翼組成，兩翼可以不等長，每一翼具有不同導(dǎo)流能力，沿裂縫延伸方向，導(dǎo)流能力發(fā)生變化；3）氣體在天然裂縫中的流動滿足達(dá)西定律（由于基質(zhì)滲透率很低，流體從基質(zhì)向裂縫中的流動為擬穩(wěn)態(tài)竄流），同時(shí)考慮天然裂縫應(yīng)力敏感性；4）多段壓裂水平井定產(chǎn)量生產(chǎn)，但每條裂縫產(chǎn)量不同；5）致密氣藏的初始地層壓力為pi，忽略毛細(xì)管力和重力的影響。

圖1 裂縫沿水平井分布示意

2 數(shù)學(xué)模型

2.1 無因次參數(shù)

式中：m為擬壓力，Pa/s；Kfi為天然裂縫初始滲透率，m2；h 為地層厚度，m；psc為標(biāo)準(zhǔn)大氣壓力，Pa；Q 為定產(chǎn)條件下的水平井產(chǎn)量，m3/s；T為地層溫度，K；pi為初始地層壓力，Pa；p 為壓力，Pa；μ 為氣體黏度，Pa·s；Z 為氣體偏差因子；t為時(shí)間，s；φ 為孔隙度；Ct為壓縮系數(shù)，Pa-1；為裂縫翼平均長度，m；λ 為竄流系數(shù)；α 為形狀因子；ω為儲容比；M為裂縫條數(shù)；為裂縫單位長度流量，m3/（s·m）；r為徑向距離，m；FS 為天然裂縫距離；y為裂縫間距，m；qw為裂縫翼總流量；C為裂縫導(dǎo)流能力，μm2·m；w 為裂縫寬度，m；γ 為應(yīng)力敏感系數(shù)，Pa-1。下標(biāo) D，f，F(xiàn)，m，sc 分別表示無因次、天然裂縫、人工裂縫、基質(zhì)、標(biāo)準(zhǔn)狀況。

2.2 氣藏滲流數(shù)學(xué)模型

考慮氣體從基質(zhì)向天然裂縫流動為擬穩(wěn)態(tài)竄流和天然裂縫系統(tǒng)應(yīng)力敏感效應(yīng)，根據(jù)真實(shí)氣體狀態(tài)方程、運(yùn)動方程、連續(xù)性方程，可以得到天然裂縫和基質(zhì)系統(tǒng)控制方程[13]。

無因次裂縫系統(tǒng)控制方程：

無因次基質(zhì)系統(tǒng)控制方程：

無因次初始條件：

無因次邊界條件：

應(yīng)用 Petrobras代換[14]將式（1）線性化：

對ζD應(yīng)用參數(shù)擾動，由于γD的值非常小，零階擾動解可以滿足精度要求，定義為

聯(lián)立式（1）—（6），可以得到頂?shù)追忾]無限大地層中持續(xù)線源解[15]：

式中：K0為零階虛宗貝塞爾函數(shù)；s為拉普拉斯變量。

根據(jù)疊加原理，N×2M 份裂縫微元段在點(diǎn)（xDj，yDj）處引起的壓力降為

式中：N為裂縫翼微元段數(shù)。

2.3 裂縫滲流數(shù)學(xué)模型

流體在裂縫中流動滿足無量綱不穩(wěn)定滲流方程，通過拉普拉斯變換可得

無量綱邊界條件：

無量綱初始條件：

對式（9）兩邊進(jìn)行從0到xD的積分可得

將初始條件式（11）代入式（12）化簡得

對式（13）進(jìn)行0到xD積分。裂縫的一翼被分為N等份，第k份處的壓力降可以表示為

假設(shè)裂縫每一微元段內(nèi)流體均勻流入，則

裂縫內(nèi)流體總流量等于各微元段流量之和：

聯(lián)立式（14）—（16）可得

2.4 模型求解

在流動過程中，根據(jù)裂縫表面壓力和流量的連續(xù)性條件可得

總流量為每條裂縫流量之和，即

聯(lián)立求解可得到拉普拉斯空間中井底流壓和裂縫內(nèi)流量分布，然后通過Stehfest數(shù)值反演轉(zhuǎn)換到實(shí)空間。根據(jù)式（5）可以得到考慮天然裂縫應(yīng)力敏感時(shí)壓裂水平井井底流壓擬壓力[16]：

3 典型曲線繪制及因素分析

以某致密氣藏壓裂水平井為例，研究考慮應(yīng)力敏感和變導(dǎo)流能力裂縫時(shí)的壓裂水平井壓力動態(tài)特征。致密氣藏基本參數(shù)：地層原始壓力pi=29.289 MPa，定產(chǎn)氣量生產(chǎn)，Qsc=104m3/d，地層溫度T=379.14 K，氣體黏度μ=0.027 mPa·s，氣體相對密度0.627，水平井段長度L=1 000 m，裂縫間距ΔyF=300 m，裂縫條數(shù)M=3，裂縫翼長度LF=100 m，基質(zhì)系統(tǒng)滲透率Km=0.05×10-3μm2，天然裂縫系統(tǒng)滲透率 Kf=50.0×10-3μm2，人工裂縫滲透率 KF=0.2×10-3μm2，竄流系數(shù) λ=10-6，氣藏厚度h=10 m，基質(zhì)孔隙度φm=0.086，天然裂縫孔隙度φf=0.008 6，基質(zhì)系統(tǒng)壓縮系數(shù) Ctm=1.08×10-4MPa-1，天然裂縫系統(tǒng)壓縮系數(shù)Ctf=1.08×10-4MPa-1，儲容比ωf=0.1，應(yīng)力敏感系數(shù)γ=0.5 MPa-1。

3.1 流動階段劃分

根據(jù)建立的變導(dǎo)流能力裂縫多段壓裂水平井試井模型，采用Stehfest數(shù)值反演，通過計(jì)算得到無因次擬壓力和擬壓力導(dǎo)數(shù)曲線（見圖2）。

圖2 無因次擬壓力和擬壓力導(dǎo)數(shù)曲線

從圖2可知，對于變導(dǎo)流能力裂縫壓裂水平井，氣體流動階段可以劃分為7個(gè)：1）雙線性流階段，為斜率為1/4的直線段，流體從地層流向水力裂縫和從水力裂縫流向井筒同時(shí)進(jìn)行。此階段只有在考慮水力裂縫有限導(dǎo)流時(shí)才能被觀察到。2）早期線性流階段，為斜率為1/2的直線段，流體線性地由地層流入相應(yīng)裂縫，壓力波未傳到相鄰裂縫，裂縫之間沒有干擾。3）過渡階段徑向流段，為斜率為1/2 M直線段，此段時(shí)間由裂縫長度和裂縫間的距離決定。4）過渡階段線性流段，2個(gè)曲線平行，壓力波到達(dá)相鄰裂縫，不同裂縫間的干擾逐漸變得明顯。5）早期擬徑向流階段，為斜率為1/2的直線段。竄流系數(shù)大小決定了該階段時(shí)間的長短。6）擬穩(wěn)態(tài)竄流階段，擬壓力導(dǎo)數(shù)曲線表現(xiàn)為一個(gè)“凹槽”，流體由基質(zhì)向裂縫中竄流。竄流系數(shù)表示基質(zhì)巖塊向裂縫系統(tǒng)的流動能力。無因次應(yīng)力敏感系數(shù)主要影響擬壓力導(dǎo)數(shù)曲線的“凹槽”形狀。7）晚期擬徑向流階段，不考慮應(yīng)力敏感效應(yīng)時(shí)，為斜率為1/2的直線段?？紤]應(yīng)力敏感時(shí)，擬壓力導(dǎo)數(shù)曲線不再是水平直線，而是隨著時(shí)間推移，不斷“上翹”，表明壓力下降更快。

3.2 變導(dǎo)流能力裂縫的影響

為了更加真實(shí)地反映多段壓裂水平井實(shí)際裂縫特征，筆者建立的多段壓裂水平井模型考慮裂縫的影響因素包括：各裂縫翼不等長、裂縫沿著水平井段非均勻分布、各裂縫翼導(dǎo)流能力不同且在每翼內(nèi)沿著裂縫延伸方向?qū)Я髂芰Πl(fā)生變化（裂縫每部分導(dǎo)流能力都可以不同）。但為了便于研究沿著裂縫延伸方向?qū)Я髂芰Φ淖兓瘜毫丫畨毫μ卣鞯挠绊?，選定參數(shù)繪制相應(yīng)曲線時(shí)，假設(shè)裂縫各翼性質(zhì)相同，且都由2種不同的導(dǎo)流能力組成。

圖3、圖4為低導(dǎo)流能力裂縫壓裂水平井?dāng)M壓力曲線和擬壓力導(dǎo)數(shù)曲線。變導(dǎo)流能力裂縫在縫口（靠近井筒處）導(dǎo)流能力較低，在縫端具有較高導(dǎo)流能力。從圖3可以看出，變導(dǎo)流能力擬壓力和擬壓力導(dǎo)數(shù)曲線在雙線性流開始時(shí)，更加靠近x=100時(shí)（裂縫導(dǎo)流能力CFD=10）壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線，表明此時(shí)流動主要受低導(dǎo)流能力部分裂縫的影響。但隨時(shí)間增加，曲線逐漸靠近x=0時(shí)（裂縫導(dǎo)流能力CFD=500）曲線，表明流動逐漸由裂縫高導(dǎo)流能力部分控制。從圖3還可以看出，隨著x增大，由裂縫高導(dǎo)流能力控制流動出現(xiàn)時(shí)間推遲。

圖3 不同長度低導(dǎo)流能力裂縫縫口下擬壓力曲線

圖4 不同長度低導(dǎo)流能力裂縫縫口下擬壓力導(dǎo)數(shù)曲線

從圖5、圖6可知，隨著x增加，擬壓力和擬壓力導(dǎo)數(shù)曲線逐漸從x=100（裂縫導(dǎo)流能力CFD=100）過渡到x=0（裂縫導(dǎo)流能力CFD=1）。由圖6可知，變導(dǎo)流能力擬壓力導(dǎo)數(shù)曲線更接近x=100時(shí)的擬壓力導(dǎo)數(shù)曲線，因?yàn)榭p口不僅是流動開始時(shí)氣體從地層流入裂縫的主要通道，也是氣體從縫端部分流入水平井筒的通道，對變導(dǎo)流能力曲線影響更大。另外，隨著x增加，變導(dǎo)流能力裂縫總導(dǎo)流能力增加，早期擬徑向流出現(xiàn)時(shí)間更早。

圖5 不同長度高導(dǎo)流能力裂縫縫口下擬壓力曲線

圖6 不同長度高導(dǎo)流能力裂縫縫口下擬壓力導(dǎo)數(shù)曲線

4 結(jié)論

1）綜合考慮天然裂縫應(yīng)力敏感和人工裂縫變導(dǎo)流能力的影響，建立了致密氣藏變導(dǎo)流能力多段壓裂水平井試井新模型，并通過將人工裂縫劃分成不同微元段，獲得了該模型的半解析解。與目前已有的壓裂水平井試井模型相比，新模型考慮裂縫導(dǎo)流能力沿著裂縫延伸方向是變化的，更加符合壓裂后裂縫實(shí)際情況。

2）根據(jù)新模型，繪制了典型無因次擬壓力和擬壓力導(dǎo)數(shù)曲線。按照典型曲線，氣體流動可以劃分為7個(gè)流動階段，分別為雙線性流、線性流、過渡階段擬徑向流、過渡階段線性流、早期擬徑向流、擬穩(wěn)態(tài)竄流和晚期擬徑向流。

3）分析了變導(dǎo)流能力裂縫對壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線的影響。變導(dǎo)流能力裂縫主要影響雙線性流、線性流和過渡階段徑向流。本文模型對致密氣藏更加精確地進(jìn)行試井解釋具有一定指導(dǎo)意義。

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