新型水驅(qū)前緣解析法研究及應(yīng)用

高文君，左毅，蔡喜東，白芳，馬金蘭

（1.中國石油吐哈油田分公司勘探開發(fā)研究院，新疆 哈密 839009；2.中國石油吐哈油田分公司鄯善采油廠，新疆 鄯善 838202）

0 引言

目前及今后較長一段時期，注水開采仍是開發(fā)砂巖油田的主要方式[1]。了解水驅(qū)油機理和深化其理論研究，是注水油田開發(fā)參數(shù)計算、動態(tài)分析及預(yù)測、數(shù)值模擬、后續(xù)開發(fā)方案制定及調(diào)整的基礎(chǔ)[2-7]。在經(jīng)典水驅(qū)油理論中，含水率是通過萊文萊特函數(shù)式確定的[8]。20世紀90年代中后期，國內(nèi)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)油田在中高含水期油水相對滲透率比的變化規(guī)律比較符合指數(shù)式后，萊文萊特函數(shù)式便轉(zhuǎn)化為以含水飽和度為自變量的Logistic解析方程式，該方程式（也稱“S”含水飽和度曲線）也成為現(xiàn)階段研究和建立各種水驅(qū)計算方法的理論基礎(chǔ)[9]。但在高含水期，油水相對滲透率比與含水飽和度在半對數(shù)坐標圖上并不呈線性關(guān)系，反映出指數(shù)式不適用于描述高含水期油水相對滲透率比變化規(guī)律。加上國內(nèi)眾多油田相繼進入高含水期，需重新構(gòu)建新的油水相對滲透率比關(guān)系和萊文萊特的解析式，來滿足高含水期水驅(qū)開發(fā)指標計算和注水效果評價的需要。

國內(nèi)外學(xué)者從不同角度相繼提出的油水相對滲透率比關(guān)系式，主要有指數(shù)式、方次式、Willhite式，以及針對高含水階段提出的Bing式、Song式和Liu式等改進型指數(shù)式[10-14]。其中，指數(shù)式以及改進型指數(shù)式還不能完全描述兩相滲流區(qū)間的滲流特征。為此，本文在新的油水相滲模型基礎(chǔ)上[15]，給出了一種新型的油水相滲比關(guān)系式——Gao簡化式。該關(guān)系式在一定條件下可以轉(zhuǎn)化為方次式和Willhite式。同時，結(jié)合Welge方程和萊文萊特函數(shù)式，推導(dǎo)出了其對應(yīng)水驅(qū)油理論解析式，方便了注水開發(fā)指標的計算和經(jīng)典圖形的計算機自動繪制。

1 理論基礎(chǔ)

1.1 分流量方程

不考慮毛細管力和重力的作用，利用達西式和連續(xù)方程，可得到分流量方程（即萊文萊特函數(shù)式）[8]：

式中：fw為含水率；Kro為油相相對滲透率；Krw為水相相對滲透率；μr為油水黏度比。

1.2 Welge方程

1952年，Welge給出了水驅(qū)前緣含水飽和度方程、前緣后平均含水飽和度方程和油井見水之后油層平均含水飽和度方程（也稱Welge方程）[16]。隨后又給出一種簡單的求解方法（圖解法），即在含水率與含水飽和度關(guān)系曲線上，從束縛水飽和度（點A′）作含水率曲線的切線，切點對應(yīng)的含水飽和度（點B）即為前緣含水飽和度，對應(yīng)含水率（點C）為前緣含水率；延伸切線與含水率為1.0的直線相交，其對應(yīng)含水飽和度（點D）為前緣后平均含水飽和度（見圖1）。

式中：fw′（Swf）為前緣含水飽和度時含水率的導(dǎo)數(shù)；fw（Swf）為前緣含水飽和度時含水率；分別為前緣含水飽和度、束縛水飽和度、前緣后平均含水飽和度、見水后油層平均含水飽和度、出口端含水飽和度；fw′（Swe）為出口端含水飽和度時含水率的導(dǎo)數(shù)；fwe為出口端含水率。

圖1 含水率與含水飽和度關(guān)系

1.3 見水后其他衍生方程

驅(qū)油效率Ed的計算公式為

無因次累計產(chǎn)油量Npd（累計產(chǎn)油量與孔隙體積之比）的計算公式為

無因次累計注水量Wid（也稱注入孔隙體積倍數(shù)）的計算公式為

式中：A為巖石滲流橫截面積，m2；φ為孔隙度；L為注采井距，m；Wi為累計注水量，m3。

2 新型水驅(qū)前緣解析式的建立

從經(jīng)典水驅(qū)油理論中容易看出，分流量方程是出口端含水飽和度的隱函數(shù)方程，其數(shù)值是通過某點出口端含水飽和度對應(yīng)的油水相滲數(shù)據(jù)經(jīng)分流量方程計算得到的，這樣會得到一組出口端含水飽和度與含水率離散點。在確定水驅(qū)前緣飽和度時，先將含水飽和度與含水率離散點連接成光滑曲線，再根據(jù)圖解法確定，過程比較繁瑣、原始。若將離散的相滲數(shù)據(jù)點處理為油水相滲比為出口端含水飽和度的函數(shù)，那么，前面的分流量方程、水驅(qū)前緣含水飽和度方程、前緣后平均含水飽和度方程、Welge方程均依次轉(zhuǎn)化成以出口端含水飽和度為自變量的函數(shù)，這樣經(jīng)典水驅(qū)油理論中利用圖解法確定關(guān)鍵指標及參數(shù)就轉(zhuǎn)化為利用數(shù)值分析法來確定。

將文獻[15]中油、水相對滲透率模型直接相比，并取油、水相滲指數(shù)均為歸一化含水飽和度Swd的一次線形函數(shù)，可得到一種新型油水相滲比關(guān)系式——Gao簡化式：

式中：a，b，c，m，n 分別為待定常數(shù)；Sor為殘余油飽和度。

2.1 分流量解析方程

將式（8）代入式（1），得到分流量解析式：

2.2 Sw分布函數(shù)、Swf方程及wbt解析式

對式（9）兩邊含水飽和度求導(dǎo)，并整理，得到含水飽和度分布函數(shù)解析式（或稱含水率導(dǎo)數(shù)曲線）：

由式（10）可知，前緣含水飽和度方程即為

式中：Swfd為歸一化前緣含水飽和度。

由式（2）和式（11）整理得：

很顯然，式（12）轉(zhuǎn)化成關(guān)于函數(shù)求解的問題。對于這個復(fù)雜函數(shù)式，可以采用數(shù)值分析中的二分法、梯度法、迭代法，或利用Excel中的單變量求解法來確定。

確定關(guān)鍵參數(shù)后，前緣后平均含水飽和度的解析式為

2.3 Sw，Npd及Wid解析方程

將式（9）和式（10）代入到水驅(qū)油基礎(chǔ)理論式中，依次可以得到油井見水之后油層平均含水飽和度、無因次累計采油量和無因次累計注水量等解析方程。

2.4 驅(qū)油效率解析式

將式（14）代入式（5），得到驅(qū)油效率解析式：

3 實例應(yīng)用

丘陵油田地層原油黏度為0.263 6 mPa·s，地層水黏度為0.367 8 mPa·s，屬低黏低滲油田，其Ⅱ類儲層標準油水相對滲透率數(shù)據(jù)見表1。

首先，按式（9）確定油水相滲比關(guān)系式的待定參數(shù)。從擬合結(jié)果可以看出，Gao簡化式擬合程度最高，效果最優(yōu)（見圖2）。

表1 丘陵油田Ⅱ類儲層油水相對滲透率數(shù)據(jù)

圖2 丘陵油田Ⅱ類儲層油水相對滲透率比變化曲線

其次，將確定的油水相滲比關(guān)系式代入分流量方程中，得到含水率與含水飽和度方程，并利用各自對應(yīng)的解析式，計算出前緣含水飽和度、前緣平均含水飽和度、前緣含水率和驅(qū)油效率等（見表2）。從計算結(jié)果可以看出，不同方法確定的前緣含水飽和度基本分布在0.650 0左右，與圖解法確定的0.628 2基本一致。因此，利用解析法確定前緣含水飽和度，可以減少人為因素的影響。

表2 不同方法確定丘陵油田Ⅱ類儲層注水開發(fā)指標結(jié)果

最后，繪制經(jīng)典含水率與含水飽和度曲線，標注切線、含水率導(dǎo)數(shù)曲線（見圖3）。從所作的含水率與含水飽和度關(guān)系曲線特點來看，前緣含水飽和度并不位于含水飽和度分布函數(shù)的極值點，而是大于該極值點所對應(yīng)的含水飽和度[13]。其原因是，含水飽和度分布函數(shù)是反映含水率隨含水飽和度變化快慢的物理量，而前緣含水飽和度反映的是含水飽和度突變的點，突變點雖然含水率變化很大，但相比含水飽和度的變化就顯得很小，所以含水率的導(dǎo)數(shù)就小。而在注入水“前緣”還未達到油井端時，由于毛細管力和重力的作用，油層底部提前見水，這時含水率增幅相比含水飽和度增幅大，含水率導(dǎo)數(shù)出現(xiàn)極值點。當(dāng)油井端含水飽和度超過極值點之后，油層已進入完全水動力驅(qū)動階段。因此，文獻[17]提出的“前緣含水飽和度是含水飽和度分布函數(shù)的極值點”觀點，值得進一步商榷。

圖3 丘陵油田Ⅱ類儲層含水率與含水飽和度關(guān)系

同時，利用分流量方程和無因次累計注水量解析式，可以作出含水率與注水孔隙體積倍數(shù)的曲線；利用驅(qū)油效率和無因次累計注水量解析式，也可作出驅(qū)油效率與注水孔隙體積倍數(shù)的曲線（見圖4）。

圖4 丘陵油田Ⅱ類儲層水驅(qū)油效率曲線

根據(jù)這2條曲線，確定最終驅(qū)油效率為0.555 6，對應(yīng)最大有效注入孔隙體積倍數(shù)為0.749 6，這與水驅(qū)油實驗得到的最終驅(qū)油效率0.560 0相近?？傊瑢鹘y(tǒng)水驅(qū)油理論中的隱函數(shù)式轉(zhuǎn)化成等效的含水飽和度解析式后，水驅(qū)指標計算會更加方便，各種經(jīng)典圖形繪制更易實現(xiàn)自動化。

4 結(jié)論

1）水驅(qū)油理論中，各種解析式均轉(zhuǎn)化為含水飽和度的函數(shù)，有利于實現(xiàn)計算機編程和圖形自動繪制。

2）利用相滲數(shù)據(jù)確定的前緣飽和度大于含水飽和度分布函數(shù)所對應(yīng)的極值點含水飽和度，說明受重力和毛細管力的影響，水驅(qū)前緣處并不是含水率導(dǎo)數(shù)的極值點。

3）從丘陵油田應(yīng)用效果來看，Gao簡化式適應(yīng)性較好，相關(guān)系數(shù)較高。

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