基于互相關(guān)系數(shù)的二元隨機(jī)過程偽回歸探討

劉薇，常振海，張德生

（1.天水師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅 天水 741001；2.西安理工大學(xué) 理學(xué)院，西安 710054）

0 引言

偽回歸現(xiàn)象一直受到學(xué)者的重視，如文獻(xiàn)［1-6］。考慮兩個(gè)變量的回歸模型

文獻(xiàn)［7］指出，偽回歸現(xiàn)象的一個(gè)重要標(biāo)志是關(guān)于系數(shù)β1＝0的t檢驗(yàn)有較高的拒絕率，很好的擬合優(yōu)度R2，但同時(shí)DW統(tǒng)計(jì)量實(shí)現(xiàn)值較小。因此，傳統(tǒng)方法中，多數(shù)文獻(xiàn)都討論系數(shù)β1的估計(jì)量＾β1的分布情況，比如基于t統(tǒng)計(jì)量的檢驗(yàn)，或討論＾β1的分布的改進(jìn)，或DW統(tǒng)計(jì)量的極限分布等，以此來避免偽回歸現(xiàn)象的產(chǎn)生，如文獻(xiàn)［8-11］。

本文從另外一個(gè)角度（互相關(guān)系數(shù)）來討論偽回歸現(xiàn)象產(chǎn)生的內(nèi)在原因以及相應(yīng)的對(duì)策。記隨機(jī)過程X的滯后k階互相關(guān)系數(shù)和相應(yīng)樣本互相關(guān)系數(shù)分別為

1 偽回歸產(chǎn)生的原因及處理

記隨機(jī)過程Y＝｛Yt，t≥0｝和X＝｛Xt，t≥0｝分別為應(yīng)變量時(shí)間序列和協(xié)變量時(shí)間序列，假設(shè)X，Y聯(lián)合（弱）平穩(wěn)，且互不相關(guān)，則在正態(tài)性假設(shè)下，Bartlett［14］證明，兩個(gè)互相關(guān)系數(shù)的估計(jì)的方差為

這里，ρXX（k），ρYY（k）分別表示X，Y 的k階滯后自相關(guān)系數(shù)。從而，

（Ⅰ）若X，Y聯(lián)合（弱）平穩(wěn)，互不相關(guān)，且其中有一個(gè)為白噪聲過程。

那么，方差就進(jìn)一步簡化為

此時(shí)，

（Ⅱ）若X，Y聯(lián)合（弱）平穩(wěn)，互不相關(guān)，且均自相關(guān)。

其中et為0均值，同方差的白噪聲過程，同理at也是0均值，同方差的白噪聲過程。

在隨機(jī)過程X，Y 均平穩(wěn)的情況下，φX，φY應(yīng)小于1，從（8）式能看出，當(dāng)φX，φY都接近于1時(shí)，（k））與規(guī)則”中的名義量值1／n的比率就趨于無窮大。因此，即使在應(yīng)變量和協(xié)變量相互獨(dú)立的情況下，不加質(zhì)疑地應(yīng)用規(guī)則”來判定樣本互相關(guān)系數(shù)的顯著性，勢必會(huì)導(dǎo)致更多的錯(cuò)誤判斷。

同AR（1）過程相似，當(dāng)θX，θY接近于1時(shí)，方差明顯大于，此時(shí)，仍以“規(guī)則”來判定樣本互相關(guān)系數(shù)是否顯著為0，無疑會(huì)導(dǎo)致更多的錯(cuò)誤判斷。

（Ⅲ）若X，Y非平穩(wěn)，互不相關(guān)。

為了避免復(fù)雜的數(shù)學(xué)式子沖淡我們對(duì)產(chǎn)生偽回歸原因的分析，這里我們僅用語句進(jìn)行簡單的結(jié)論性描述，詳細(xì)的理論可以在文獻(xiàn)［12］中找到。在這種情形下，樣本互相關(guān)系數(shù)方差偏大的問題更加嚴(yán)重，甚至在大樣本下，樣本互相關(guān)系數(shù)也不再近似服從正態(tài)分布（注意在情形（Ⅰ）和情形（Ⅱ）下，樣本互相關(guān)系數(shù)極限分布仍為正態(tài)分布［14］，只是方差變化了）。因此，在這種情況下，用“規(guī)則”來判定樣本互相關(guān)系數(shù)的顯著性，就會(huì)顯得在眾多不可能的滯后階上存在互相關(guān)關(guān)系，結(jié)論嚴(yán)重不可信。

針對(duì)上述產(chǎn)生偽回歸的兩個(gè)原因，我們可以用以下處理方法進(jìn)行避免錯(cuò)判。一個(gè)是進(jìn)行統(tǒng)計(jì)方法上的改進(jìn)，另一個(gè)是把隨機(jī)過程X，Y中的一個(gè)化為白噪聲。比較這兩個(gè)處理辦法，后一個(gè)利用時(shí)間序列理論顯然容易實(shí)現(xiàn)，具體過程可以簡單概括如下。

（1）對(duì)協(xié)變量時(shí)間序列X＝｛Xt｝平穩(wěn)化處理，比如差分等，記處理后的序列為Xt＊；

（2）識(shí)別X＊t的合適模型，比如為：，從而協(xié)變量時(shí)間序列X＝｛Xt｝就被化為白噪聲序列了；

（3）對(duì)X＝｛Xt｝施行的處理方法，同樣用在應(yīng)變量序列Yt上，則得

（4）對(duì)序列αt，βt利 用“規(guī)則”來判定樣本互相關(guān)系數(shù)是否顯著為0，進(jìn)而判斷是否為偽回歸。

2 模擬分析

下面我們通過模擬運(yùn)算，直觀的展示和驗(yàn)證第1部分關(guān)于偽回歸的結(jié)論（計(jì)算均利用MATLAB7.5）.首先，設(shè)定X為白噪聲過程，Y為自相關(guān)過程，X，Y不相關(guān)。具體的一個(gè)實(shí)現(xiàn)為

實(shí)現(xiàn)容量為n＝500，得到互相關(guān)系數(shù)見圖1。

很顯然，顯著異于0的樣本互相關(guān)系數(shù)個(gè)數(shù)在規(guī)定的顯著性水平內(nèi)，這些相關(guān)系數(shù)的分布可以用直方圖近似的展示，見圖2。

Fig.1 Sample correlation coefficient of case（Ⅰ）圖1 情形（Ⅰ）下樣本互相關(guān)系數(shù)

Fig.2 Histogram of sample correlation coefficient of case（Ⅰ）圖2 情形（Ⅰ）下樣本互相關(guān)系數(shù)直方圖

由圖2知，這些互相關(guān)系數(shù)的分布十分接近于正態(tài)分布，和理論是相吻合的。因此，這種情形下以“規(guī)則”來判定樣本互相關(guān)系數(shù)是否顯著為0是合適的。

其次，設(shè)定X，Y均為自相關(guān)過程，但X，Y互不相關(guān)。

不妨假設(shè)Xt＝φXXt－1＋et，Yt＝φYYt－1＋at，φX＝φY＝φ，則由（8）式知，互相關(guān)系數(shù)方差增大，誤判率會(huì)增大；同理若假設(shè)Xt＝et－θXet－1，Yt＝et－θYet－1，θX＝θY＝θ，同樣誤判率會(huì)增大。隨著系數(shù)的變化，我們對(duì)這兩種假設(shè)分別計(jì)算出了誤判率，結(jié)果見表1（樣本容量仍為500）。

表1 情形（Ⅱ）下的誤判率Table 1 Error rate of case（Ⅱ）

最后，假定X，Y均非平穩(wěn)，但互不相關(guān)。具體實(shí)現(xiàn)為

樣本容量設(shè)為500，計(jì)算的互相關(guān)系數(shù)見圖3。

由圖3知，在眾多的滯后階上互相關(guān)系數(shù)顯著異于0，并且最值接近于±1，應(yīng)該相關(guān)性很強(qiáng)的，但實(shí)際它們不相關(guān)，產(chǎn)生了嚴(yán)重的誤判。實(shí)際上，這些互相關(guān)系數(shù)的分布幾乎充滿了－1和＋1之間，見圖4。

從圖4中能看出，互相關(guān)系數(shù)的分布應(yīng)該離正態(tài)分布很遠(yuǎn)。因此，此種情形下，偽回歸現(xiàn)象就會(huì)頻繁發(fā)生。

綜合以上3種情形的模擬分析，我們就能更直觀地看到產(chǎn)生偽回歸的原因主要是自相關(guān)性或是非平穩(wěn)性導(dǎo)致了方差增大，從而以“1／n規(guī)則”來判定回歸顯著性時(shí)產(chǎn)生了較大的錯(cuò)判可能性，很順理成章地，避免這種誤判就是去除非平穩(wěn)性和自相關(guān)性，具體可以見下面的實(shí)證分析。

3 實(shí)證分析

樣本數(shù)據(jù)（Xt，Yt）長度范圍是1994.1－2005.12共144對(duì)數(shù)據(jù)，其中Xt代表美國每月牛奶產(chǎn)量（數(shù)據(jù)來源于文獻(xiàn)［15］），其中Yt代表中國每月社會(huì)消費(fèi)品零售總額（數(shù)據(jù)來源于國家統(tǒng)計(jì)局網(wǎng)站①http：／／data.stats.gov.cn／workspace／index？a＝q＆type＝simple＆dimension＝zb＆dbcode＝hgyd＆m＝hgyd＆code＝A020801），如圖5所示。

Fig.3 Correlation coefficient under non-stationary random process圖3 非平穩(wěn)過程下互相關(guān)系數(shù)

Fig.4 Histogram of correlation coefficient in non-stationary random process圖4 非平穩(wěn)情形下互相關(guān)系數(shù)直方圖

由圖5知，它們有近似的趨勢和季節(jié)性規(guī)律。從我們選的數(shù)據(jù)的實(shí)際意義來看，這兩者之間是沒有關(guān)系的，回歸并不成立，但建立線性回歸模型（1），有結(jié)果

從建立的模型結(jié)果來看，回歸顯著，擬合也還不錯(cuò)，只是DW值較低。這說明用傳統(tǒng)的t檢驗(yàn)難于甄別偽回歸現(xiàn)象。下面我們再從互相關(guān)系數(shù)的角度審視它們，看能否用本文的方法識(shí)別出其偽回歸現(xiàn)象。原始數(shù)據(jù)的互相關(guān)系數(shù)見圖6。

Fig.5 Original data圖5 原始數(shù)據(jù)

Fig.6 Correlation coefficient of original data圖6 原始數(shù)據(jù)互相關(guān)系數(shù)

從圖6能看出，在眾多滯后階上這兩個(gè)變量之間存在強(qiáng)正相關(guān)性，這與實(shí)際意義明顯違背。采用第一部分提出的處理辦法，把Xt和Yt分別化為αt，βt（其中αt為近似白噪聲，βt自相關(guān)，符合文中第I中情形），αt，βt的部分滯后階互相關(guān)系數(shù)見圖7。

從圖7能看出，除了在滯后14階有個(gè)顯著性系數(shù)和在滯后6階有個(gè)邊緣顯著系數(shù)外，沒有一個(gè)系數(shù)顯著。因?yàn)樵谶@35個(gè)樣本互相關(guān)系數(shù)中預(yù)計(jì)會(huì)出現(xiàn)0.05×35＝1.75個(gè)虛假警報(bào)，且很難想象牛奶產(chǎn)量能引導(dǎo)6個(gè)月或14個(gè)月后的社會(huì)消費(fèi)品總額，因此這兩處的顯著性系數(shù)極可能是虛假的警報(bào)。所以，這兩個(gè)序列實(shí)際上是不相關(guān)的，依據(jù)互相關(guān)系數(shù)做出的結(jié)論與實(shí)際意義相吻合，充分說明了基于樣本互相關(guān)系數(shù)探討偽回歸的可行性。

4 結(jié)論

（1）本文通過對(duì)樣本互相關(guān)系數(shù)分布的討論，特別是其方差在3情形下的變化，分析了偽回歸產(chǎn)生的原因是在過程X，Y自身存在相關(guān)性或非平穩(wěn)情況下，樣本互相關(guān)系數(shù)的方差變大，從而以“1／n規(guī)則”來判定樣本互相關(guān)系數(shù)是否顯著為0時(shí)產(chǎn)生了較大的錯(cuò)判可能性，因而就有較大的可能性把本來不存在顯著回歸關(guān)系的兩個(gè)過程判為有顯著的回歸關(guān)系。

（2）為了避免偽回歸現(xiàn)象的出現(xiàn)，我們可以把非平穩(wěn)或存在自相關(guān)的過程X，Y中的一個(gè)過程化為白噪聲過程，然后再用“1／n規(guī)則”來判定。

（3）傳統(tǒng)的偽回歸甄別方法中，因?yàn)槭欠植嫉母倪M(jìn)，大都公式繁雜，難于理解，計(jì)算量較大。相比之下，本文方法只需預(yù)白化一個(gè)隨機(jī)過程，僅計(jì)算互相關(guān)系數(shù)，判斷偽回歸簡單易行。對(duì)于文中結(jié)論分別用模擬分析和實(shí)證分析進(jìn)行了驗(yàn)證和直觀顯示，從模擬和實(shí)證的結(jié)果來看，本文分析的偽回歸產(chǎn)生的原因是正確的，文中提出的處理辦法也是可行的。

（4）這里的討論還是僅限于兩個(gè)變量，且討論的是線性的偽回歸問題。實(shí)際生活中，還有超過兩個(gè)變量間的可能偽回歸關(guān)系。更多變量間的偽回歸問題和非線性的偽回歸關(guān)系的探討是我們關(guān)注的問題。

Fig.7 Correlation coefficient after treating圖7 處理后的互相關(guān)系數(shù)

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