一類混沌系統(tǒng)的狀態(tài)量化反饋鎮(zhèn)定控制器設(shè)計

翟因虎，王銀河，范永青

(廣東工業(yè)大學(xué)1. 自動化學(xué)院；2. 信息工程學(xué)院, 廣東 廣州 510006；3.西安郵電大學(xué) 自動化學(xué)院， 陜西 西安 710121)

一類混沌系統(tǒng)的狀態(tài)量化反饋鎮(zhèn)定控制器設(shè)計

翟因虎1，2，王銀河1，范永青3

(廣東工業(yè)大學(xué)1. 自動化學(xué)院；2. 信息工程學(xué)院, 廣東 廣州 510006；3.西安郵電大學(xué) 自動化學(xué)院， 陜西 西安 710121)

用狀態(tài)反饋法對含量化器的一類混沌系統(tǒng)的漸進鎮(zhèn)定進行了研究.混沌系統(tǒng)的動力學(xué)狀態(tài)方程的非線性項為任意整數(shù)階的齊次函數(shù).設(shè)計的更新律中量化器針對一類非線性項為高次齊次函數(shù)的混沌系統(tǒng)，數(shù)值仿真結(jié)果表明，若非線性控制器中存在量化環(huán)節(jié)時，原非線性控制器將無法鎮(zhèn)定此類系統(tǒng).為有效反饋鎮(zhèn)定此類混沌系統(tǒng)，設(shè)計了一種新的含自適應(yīng)量化器的非線性控制器.量化器中設(shè)置兩個互為倒數(shù)的自適應(yīng)放大器，使量化器具有自適應(yīng)的量化范圍和量化誤差界，從而可自適應(yīng)量化系統(tǒng)各種狀態(tài).同時應(yīng)用Lyapunov原理和滑模變結(jié)構(gòu)控制理論，推導(dǎo)得到量化器的放大系數(shù)和量化誤差上界的更新律.一些典型混沌系統(tǒng)的數(shù)值仿真結(jié)果表明，所設(shè)計的非線性控制器可以有效自適應(yīng)量化系統(tǒng)狀態(tài)，并反饋鎮(zhèn)定上述類型的混沌系統(tǒng).

混沌系統(tǒng)； 狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定； 自適應(yīng)量化器； 狀態(tài)量化

在工程實踐與應(yīng)用中，由于組件眾多、結(jié)構(gòu)復(fù)雜和元器件性能為非線性等原因，某些工程系統(tǒng)容易產(chǎn)生不規(guī)則和不可預(yù)測的混沌行為，這些混沌行為可能會危害系統(tǒng)正常運轉(zhuǎn)[1].因此，幾十年來，混沌系統(tǒng)的鎮(zhèn)定吸引了科學(xué)與工程界的關(guān)注,其中通過狀態(tài)反饋控制法鎮(zhèn)定混沌系統(tǒng)是研究的一個重要方面[2-8]. 然而，這些研究成果中，需要混沌系統(tǒng)的連續(xù)時間狀態(tài)測量值，即連續(xù)的測量狀態(tài)值直接傳遞給反饋控制器.實際上，隨著計算機控制技術(shù)的發(fā)展，用作控制器輸入信號的系統(tǒng)狀態(tài)通常需要用一些額外的信息處理設(shè)備如傳感器、編碼器和傳輸設(shè)備等進行檢測和傳輸. 文獻[9]提到，因為硬件設(shè)備總會導(dǎo)入某種形式的不精確性，系統(tǒng)狀態(tài)不可能精確測定. 當(dāng)利用數(shù)字裝置時，產(chǎn)生測量誤差的一個重要原因是由于只能獲取狀態(tài)的量化值，即控制器的輸入信號實際上只能是狀態(tài)的有限個量化數(shù)值[10]. 隨著計算機數(shù)字控制技術(shù)的普及，由于數(shù)字控制過程 A/D和D/A轉(zhuǎn)換器的作用，數(shù)字控制器和混沌系統(tǒng)必將交互作用互相影響. 由于數(shù)模轉(zhuǎn)換器比特位數(shù)是有限的，混沌系統(tǒng)的真實狀態(tài)變量的有限字長表達或量化效應(yīng)顯示為有效帶寬通信信道，因而數(shù)字狀態(tài)反饋控制器可能導(dǎo)致非預(yù)定的鎮(zhèn)定控制結(jié)果. 例如，量化可導(dǎo)致極限環(huán)或者混沌行為，也可導(dǎo)致數(shù)字反饋系統(tǒng)的不穩(wěn)定性[11-12].文獻[12]研究了有DSP芯片系統(tǒng)的狀態(tài)與輸入信號量化的效應(yīng)，結(jié)果表明，一些連續(xù)系統(tǒng)，若取比較高的采樣頻率，系統(tǒng)對量化系數(shù)不確定性較敏感，這更易導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定. 混沌系統(tǒng)是一種特殊的非線性系統(tǒng)，對初始狀態(tài)極端敏感. 因此混沌系統(tǒng)的狀態(tài)量化更可能導(dǎo)致不穩(wěn)定. 所以有必要對狀態(tài)量化反饋控制的混沌系統(tǒng)的鎮(zhèn)定方法加以研究.

過去幾十年中，文獻[13-15]應(yīng)用靜態(tài)量化方法鎮(zhèn)定線性系統(tǒng).文獻[16-19]在設(shè)計非線性系統(tǒng)的反饋鎮(zhèn)定控制器時，分析了時變量化方法，結(jié)果表明時變量化法比靜態(tài)量化法能更好地鎮(zhèn)定系統(tǒng). 從數(shù)學(xué)模型的角度看，混沌系統(tǒng)的模型擁有特殊的結(jié)構(gòu),并對參數(shù)極其敏感，這暗示狀態(tài)量化過程可能導(dǎo)致系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的變化并弱化反饋控制器的效率. 基于以上思路，文獻[20]率先將一種時變自適應(yīng)量化方法用于控制一類混沌系統(tǒng)，可鎮(zhèn)定非線性項為二次齊次函數(shù)的混沌系統(tǒng). 這是一種數(shù)學(xué)前提條件比較嚴格的方法，普適性比較差.本文將在其基礎(chǔ)上進行拓展，提高量化狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定法的適用范圍，使之可以自適應(yīng)鎮(zhèn)定非線性項為高次齊次函數(shù)的一大類混沌系統(tǒng).

1 帶有高次齊次函數(shù)的混沌系統(tǒng)

考慮如下混沌動態(tài)系統(tǒng)

(1)

其中系統(tǒng)的狀態(tài)矢量為x=(x1,x2,…,xn)T，x∈Rn，n為系統(tǒng)狀態(tài)維數(shù)，A=(aij)n×n為實數(shù)矩陣，F(xiàn)(x)=(f1(x),f2(x),…,fn(x))T為系統(tǒng)非線性項，C=(c1,c2,…,cn)T∈Rn為常數(shù)項.

假定1 對于系統(tǒng)(1)，假設(shè)

(2)

其中αi>0，‖*‖為歐氏范數(shù)，m為正整數(shù).

2 自適應(yīng)量化器和控制器設(shè)計

利用文獻[16,18]的結(jié)果, 本文將量化器定義為q:Rl→L,z→q(z)，其中L為空間Rl的一個有限子集，z∈Rl為被量化的變量，通過z的量化，Rl被分割為{z∈Rl:q(z)=i}(i∈L).量化器滿足下面兩個條件:

‖q(z)-z‖<ε，當(dāng)‖z‖≤M時，

(3a)

‖q(z)‖>M-ε，當(dāng)‖z‖>M時.

(3b)

其中M為量化范圍界. 式(3a)給出了量化器不飽和時量化誤差的界ε，而式(3b)給出了檢測量化器飽和的條件. 一個典型的量化器公式為

(4)

其中函數(shù)[y]為四舍五入取整函數(shù).

受文獻[16,18-19]的啟發(fā)，可以將一個時變參數(shù)β=β(t)引入到量化器(3)中，形成帶有時變參數(shù)的量化器, 其量化的結(jié)果為

(5)

現(xiàn)在考慮滿足假定1的混沌系統(tǒng)(1), 將控制器u引入到其中形成如下混沌控制系統(tǒng):

(6)

XAT+AX+YT+Y<0，

(7)

其中X>0，且K=YX-1

但是， 如果系統(tǒng)狀態(tài)被量化，則輸入控制器的系統(tǒng)狀態(tài)不再是x而是q(x)，上述非線性控制器改變?yōu)?/p>

u=Kq(x)-F(q(x))-C.

(8)

本文的仿真結(jié)果表明此非線性控制器將導(dǎo)致混沌控制系統(tǒng)(6)失穩(wěn)，結(jié)果如圖1所示. 因此, 有必要考慮系統(tǒng)狀態(tài)被量化的情形下控制器設(shè)計問題.

假定2 針對混沌系統(tǒng)(1),A+K為Hurwitz矩陣.

在系統(tǒng)狀態(tài)被量化的情形下，本文提出帶有形如(5)量化器的控制律:

(9a)

(9b)

其中,K由線性矩陣不等式(7)確定, 正定矩陣P通過解下列Lyapunov方程(10)獲得.

(A+K)TP+P(A+K)=-Q.

(10)

其中Q為任意給定的正定矩陣.

在控制器(9)中, 量化器參數(shù)β(t)的更新律為

(11a)

(11b)

(12a)

(12b)

其中任意實數(shù)λ2>0.

定理1考慮混沌控制系統(tǒng)(6). 如果假定1和2成立, 那么控制器(9)、參數(shù)更新律(11)和自適應(yīng)律(12)能夠保證混沌控制系統(tǒng)(6)漸近穩(wěn)定.

(13)

s(λmax(AT+A)‖x‖2+2‖F(xiàn)(x)‖‖x‖-

(14)

(15)

(16)

(17)

3 數(shù)值仿真

本文從文獻[21-24]中選擇4個典型的混沌系統(tǒng)進行數(shù)值仿真. 這4個系統(tǒng)的系統(tǒng)狀態(tài)維數(shù)依次為3到6維，系統(tǒng)非線性項分別含2到5次齊次函數(shù)，混沌系統(tǒng)的具體參數(shù)如表1所示，其中K為混沌控制系統(tǒng)的增益矩陣，x0為混沌控制系統(tǒng)的初始狀態(tài)，常數(shù)項C都為0.

首先用非線性控制器(8)對表1的4個典型混沌系統(tǒng)進行反饋鎮(zhèn)定，其中系統(tǒng)狀態(tài)是被靜態(tài)均勻量化器(4)量化，數(shù)值仿真結(jié)果依次如下圖1的(a)至(d)所示.

表1 4個用于數(shù)值仿真混沌系統(tǒng)的參數(shù)表

圖1的仿真結(jié)果表明，非線性控制器(8)無法反饋鎮(zhèn)定混沌控制系統(tǒng)(6).

是否可以使用文獻[19]中的方法反饋鎮(zhèn)定上述一類混沌系統(tǒng)？文獻[19]的核心思想是找出混沌系統(tǒng)所有非線性項的Hessian矩陣的最大特征值，用于更新非線性控制器(9)中量化器的時變參數(shù). 為此，必須假定所有Hessian矩陣為常數(shù)矩陣，從而混沌系統(tǒng)的非線性項必須為2次以下齊次函數(shù)，即文獻[19]適用范圍僅為非線性項為2次以下齊次函數(shù). 而文獻[21-24]中混沌系統(tǒng)的非線性項都含有3次以上的高次齊次函數(shù)，所得Hessian矩陣必然為時變矩陣，無法確定最大的特征值，從而無法使用文獻[19]方法進行數(shù)值仿真. 因此, 必須重新設(shè)計非線性控制器.

圖2的數(shù)值仿真結(jié)果表明，對于非線性項含3次以上高次齊次函數(shù)的混沌系統(tǒng)，可用本文方法設(shè)計的非線性控制器自適應(yīng)量化狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定.

圖1 非線性控制器(8)反饋鎮(zhèn)定各混沌系統(tǒng)的數(shù)值仿真圖

圖2 非線性控制器(9)反饋鎮(zhèn)定各混沌系統(tǒng)的數(shù)值仿真圖

4 結(jié)論

反饋鎮(zhèn)定混沌系統(tǒng)的過程引入量化機制后，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和控制性能都可能發(fā)生變化，設(shè)計與量化器特性相關(guān)的非線性控制器，是實現(xiàn)和提高狀態(tài)量化反饋控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的重要方法. 本文設(shè)計了一種含具有時變參數(shù)的量化器的非線性控制器，可以較好地反饋鎮(zhèn)定一類非線性項含高次齊次函數(shù)的混沌系統(tǒng).本文對超過40個的3到6維的此類混沌系統(tǒng)進行了數(shù)值仿真，驗證了本文方法的適用性. 本文方法涵蓋了文獻[19]所采用的方法，使其成為本文方法的一個特例. 大數(shù)據(jù)時代的來臨，使得混沌及其控制的數(shù)字化具有越來越重要的意義，而量化是數(shù)字化中最重要的一環(huán)，未來有必要對基于量化機制的混沌、復(fù)雜混沌網(wǎng)絡(luò)及其控制過程進行更加深入的研究.

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Stabilization for a Class of Chaotic Systems with Adaptive Quantizers

Zhai Yin-hu1,2, Wang Yin-he1, Fan Yong-qing3

(1. School of Automation；2. School of Information Engineering, Guangdong University of Technology, Guangzhou 510006, China；3. School of Automation, Xi'an University of Posts and Telecommunications, Xi'an 710121, China)

This paper investigates the asymptotical stabilization via state feedback for a class of chaotic systems with a quantizer connected on the input channel. The nonlinear terms in the dynamic equation of the chaotic system are represented as the homogeneous functions with arbitrary known orders. The quantizer has one adjustable time-varying parameter with the updated law to be designed, and thus it can quantify adaptively online the state variables of the chaotic systems according to control scheme. With the help of the updated law and adaptive law of estimated boundary error of quantization, the nonlinear adaptive controller is proposed in this paper to ensure the chaotic system to be stabilized asymptotically in the presence of the quantizer. Finally, some simulation examples are utilized to demonstrate the validity of the results in this paper.

chaotic systems; state feedback stabilization; adaptive quantizer; state quantization

2015- 01- 05

國家自然科學(xué)基金資助項目(61273219,61305098)

翟因虎(1974-)，男，講師，博士研究生，主要研究方向為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)辨識與控制等.

10.3969/j.issn.1007- 7162.2015.03.006

TP273+.2

A

1007-7162(2015)03- 0028- 07