大體積混凝土溫控通水參數(shù)優(yōu)選數(shù)學(xué)模型

朱優(yōu)平，李同春，馮樹(shù)榮，石青春，蘇軍安

(1.中國(guó)電建集團(tuán) 中南勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院有限公司， 長(zhǎng)沙 410014； 2.河海大學(xué) 水利水電學(xué)院， 南京 210098)

大體積混凝土溫控通水參數(shù)優(yōu)選數(shù)學(xué)模型

朱優(yōu)平1,2，李同春2，馮樹(shù)榮1，石青春1，蘇軍安1

(1.中國(guó)電建集團(tuán) 中南勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院有限公司， 長(zhǎng)沙 410014； 2.河海大學(xué) 水利水電學(xué)院， 南京 210098)

在滿足工程要求的前提下，優(yōu)選溫控參數(shù)，可以大幅度提高工程效益，節(jié)約社會(huì)資源，但是目前沒(méi)有通用性強(qiáng)的大體積混凝土溫控參數(shù)優(yōu)選數(shù)學(xué)模型，溫控參數(shù)還只能憑經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)選取，以致溫控方案的選取并非是相對(duì)造價(jià)最低的最優(yōu)方案，因而不利于控制工程建設(shè)成本。鑒于此，對(duì)大體積混凝土溫控參數(shù)優(yōu)選數(shù)學(xué)模型進(jìn)行研究，首次推導(dǎo)出了考慮水管間距、冷卻水溫沿程變化和流量等影響的無(wú)熱源和有熱源混凝土平均溫度計(jì)算公式，進(jìn)而提出了以大體積混凝土溫控措施總費(fèi)用為目標(biāo)函數(shù)，以破壞強(qiáng)度準(zhǔn)則為約束方程的溫控參數(shù)優(yōu)選數(shù)學(xué)模型，并編制了求解該模型的遺傳算法程序。實(shí)例計(jì)算表明：該模型簡(jiǎn)捷、高效，計(jì)算結(jié)果合理，可為工程的溫控設(shè)計(jì)提供參考。同時(shí)，模型的通用性和實(shí)用性都較強(qiáng)，便于在工程中運(yùn)用。

大體積混凝土；溫控措施；數(shù)學(xué)模型；遺傳算法；冷卻水管

1 研究背景

對(duì)大體積混凝土結(jié)構(gòu)進(jìn)行溫度控制，已有幾十年的歷史。溫度控制涉及多個(gè)學(xué)科知識(shí)，其主要措施有表面噴霧、流水養(yǎng)護(hù)、預(yù)冷骨料和冷卻通水等。在滿足工程需要的前提下，可供選擇的溫控方案有很多，其產(chǎn)生的溫控費(fèi)用是不一樣的，在大體積混凝土結(jié)構(gòu)中該問(wèn)題尤為突出，因澆筑方量很大，優(yōu)選混凝土溫控參數(shù)，可以顯著降低工程成本，節(jié)約社會(huì)資源。國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)大體積混凝土溫控參數(shù)優(yōu)選進(jìn)行了深入的研究。丁寶瑛等[1]將非線性規(guī)劃理論應(yīng)用到溫控優(yōu)化設(shè)計(jì)中，采用網(wǎng)格法和復(fù)形法對(duì)如何選擇混凝土澆筑塊基礎(chǔ)溫差這一問(wèn)題進(jìn)行了深入研究。后來(lái)，王正中[2]在其研究的基礎(chǔ)上，通過(guò)對(duì)溫度仿真計(jì)算結(jié)果的回歸分析，擬合出了均勻溫差應(yīng)力系數(shù)和非均勻溫差的應(yīng)力的經(jīng)驗(yàn)公式，以強(qiáng)度控制標(biāo)準(zhǔn)為約束條件對(duì)控制混凝土基礎(chǔ)溫差的溫控措施進(jìn)行了優(yōu)化。李榮湘等[3]提出了適用于在溫控優(yōu)化中求解溫度場(chǎng)的分解迭加法，將實(shí)際溫度場(chǎng)劃分為一系列平均溫度場(chǎng)，然后逐個(gè)進(jìn)行降溫計(jì)算。任智中[4]在不同部位的混凝土澆筑塊采用不同的溫度控制標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)澆筑塊尺寸、澆筑間歇時(shí)間、保溫板厚度等因素進(jìn)行了優(yōu)化。文獻(xiàn)[5]通過(guò)大量的數(shù)值仿真計(jì)算，對(duì)具體工程中的各種溫控措施進(jìn)行了系統(tǒng)的研究，得出了一批很有價(jià)值的成果。E.M.R.Fairbairn等[6]采用遺傳算法對(duì)大體積混凝土的溫度控制進(jìn)行了優(yōu)化。過(guò)去的研究都是在特定工程下優(yōu)選溫控參數(shù)，不便于推廣到其他工程中應(yīng)用，因此，工程中設(shè)計(jì)出的溫控方案，并不是以相對(duì)造價(jià)最低為原則設(shè)計(jì)出來(lái)的，而是單純以經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)的可行性方案，不利于控制工程建設(shè)成本。本文所提出的溫控參數(shù)優(yōu)選數(shù)學(xué)模型，不僅能夠快速設(shè)計(jì)出最優(yōu)溫控方案，而且可以應(yīng)用到任何工程中，通用性強(qiáng)。為了建立溫控參數(shù)優(yōu)選數(shù)學(xué)模型，考慮水管間距、冷卻水溫沿程變化和流量等對(duì)混凝土平均溫度的影響，首次推導(dǎo)出了在通水冷卻條件下無(wú)熱源和有熱源混凝土平均溫度的2個(gè)計(jì)算公式，然后以溫控措施的總費(fèi)用最低作為優(yōu)選目標(biāo)，以混凝土的破壞強(qiáng)度準(zhǔn)則為約束方程，建立了大體積混凝土溫控參數(shù)優(yōu)選數(shù)學(xué)模型。模型的求解是一個(gè)非線性優(yōu)化問(wèn)題，方法有很多種，本文在算例中選用效率較高的遺傳算法進(jìn)行求解，通過(guò)自編程序計(jì)算表明，該方法簡(jiǎn)捷、高效，計(jì)算結(jié)果合理，可以為工程的溫控設(shè)計(jì)提供參考。

2 通水冷卻條件下混凝土平均溫度的計(jì)算

冷卻水管中流動(dòng)的水吸收混凝土中散發(fā)出來(lái)的熱量，以更高的溫度從出口流出，從而達(dá)到降低混凝土溫度的目的。大體積混凝土中冷卻水管具有數(shù)量大且蛇形彎曲等特點(diǎn)，要嚴(yán)格求出其降溫速率是極其困難或者可以說(shuō)是不現(xiàn)實(shí)的。雖然現(xiàn)有的數(shù)值計(jì)算能夠較精確地模擬出冷卻水管的效果，但是每個(gè)工程的水管布置形式、水管間距、通水流量、通水溫度、混凝土澆筑溫度等一般都不同，在確定混凝土降溫速率與邊界條件和初始條件的函數(shù)關(guān)系時(shí)，需要設(shè)計(jì)大量的工況進(jìn)行仿真，從計(jì)算結(jié)果中擬合出其函數(shù)關(guān)系，這樣做不僅嚴(yán)重浪費(fèi)了計(jì)算機(jī)資源，而且其結(jié)果的可信度也還有待進(jìn)一步考究。

美國(guó)懇務(wù)局和我國(guó)朱伯芳院士都曾就含冷卻水管混凝土溫度計(jì)算進(jìn)行了深入研究，分別采用分離變量法和拉普拉斯變換法求解了極坐標(biāo)下混凝土柱體的熱傳導(dǎo)問(wèn)題，得到了混凝土平均溫度的級(jí)數(shù)解，近似取第一項(xiàng)得

(1)

式中a1b為特征方程的第一根，當(dāng)b/c=100時(shí)，a1b=0.716 7,在b/c≠100時(shí)，需要查閱已經(jīng)制作好的數(shù)學(xué)表格，這在工程應(yīng)用中不便。為此，本文從極坐標(biāo)下熱傳導(dǎo)方程入手，建立了混凝土降溫速率和澆筑溫度及冷卻通水之間的關(guān)系。

2.1 無(wú)熱源混凝土平均溫度計(jì)算方法

冷卻水管的管壁很薄，在任何時(shí)候，管壁內(nèi)都可以認(rèn)為是平面穩(wěn)定溫度場(chǎng)[7-8]。建立管壁處的極坐標(biāo)熱傳導(dǎo)方程,即

(2)

邊界條件：r=c時(shí)，

T=Tw;

(3)

r=b時(shí)，

T=Tc。

(4)

式中：b，c分別為水管的外半徑和內(nèi)半徑；Tw為水管內(nèi)的水溫；Tc為混凝土的溫度。

求解式(2)至式(4)得到管壁內(nèi)的溫度為

(5)

根據(jù)文獻(xiàn)[9-10]的推導(dǎo)，簡(jiǎn)化后的水管水溫沿程變化應(yīng)滿足：

(6)

式中：cw，ρw，qw分別為冷卻水的質(zhì)量熱容、密度和流量；λp為水管的導(dǎo)熱系數(shù)；Δl為水管的沿程長(zhǎng)度；Γp為混凝土與冷卻水管的交界面。將式(5)代入式(6)得

(7)

式(7)可以改寫(xiě)成一個(gè)普通的一階偏微分方程，即

解方程式(7)得

Tw(l)=(Tcekl-Tc+Tw0)e-kl。

(8)

其中，

(9)

式中Tw0為冷卻水管的進(jìn)口水溫。運(yùn)用式(8)可求出冷卻水管中出口水溫，那么冷卻水管在dt時(shí)間段內(nèi)帶走的熱量為

Q1=cwρwqw(Tw(l)-Tw0)dt。

(10)

在溫度控制中，我們更加關(guān)心的是混凝土斷面的平均溫度，混凝土中的冷卻水管一般為矩形布置，其水平間距為S1，鉛直間距為S2，因此，可以認(rèn)為每根水管的平均冷卻面積為S1×S2。混凝土的熱量通過(guò)冷卻水管中水帶走，混凝土溫度降低，在dt時(shí)間段內(nèi)混凝土損失的熱量為

(11)

由熱量守恒定律，水體帶走的熱量應(yīng)等于混凝土損失的熱量，注意到正負(fù)號(hào)，則有

Q1=-Q2,

(12)

即

(13)

此式也是一個(gè)一階常微分方程，解得

(14)

其中,

(15)

2.2 有熱源混凝土平均溫度計(jì)算方法

上節(jié)主要討論了無(wú)熱源混凝土平均溫度的計(jì)算問(wèn)題，在混凝土后期由于水化熱基本已散發(fā)完畢，因此，運(yùn)用上節(jié)的公式計(jì)算混凝土的平均溫度是合理的，但是在水化反應(yīng)劇烈的施工期就不能運(yùn)用上節(jié)的公式進(jìn)行計(jì)算，下面主要討論有熱源時(shí)混凝土平均溫度的計(jì)算問(wèn)題。

在考慮水化反應(yīng)時(shí)，混凝土中的熱量可以分解為3個(gè)部分，混凝土損失的熱量、冷卻水導(dǎo)出的熱量和水化反應(yīng)放出的熱量。這3部分熱量存在以下的關(guān)系式,即

Q1=-Q2+Q3,

(16)

式中Q3為混凝土在單位時(shí)間內(nèi)放出的熱量。最后得到一個(gè)基本的一階常微分方程

(17)

式中θ為混凝土的絕熱溫升，一般有3種表達(dá)式。解式(17)得

(18)

由式(14)和式(18)分別可以計(jì)算通水條件下無(wú)熱源和有熱源混凝土在任意時(shí)刻的平均溫度，從公式中可以看出，該公式能夠體現(xiàn)澆筑溫度、水管間距、冷卻水溫和冷卻水流量對(duì)混凝土平均溫度的影響，其中的冷卻水溫考慮其在水管中的沿程變化。在其后建立的溫控參數(shù)優(yōu)選數(shù)學(xué)模型的約束方程中，這2個(gè)公式將起到重要的作用。

3 溫控參數(shù)優(yōu)選數(shù)學(xué)模型

3.1 目標(biāo)函數(shù)

在大體積混凝土施工過(guò)程中，有許多種溫控措施可供選擇[11-12]。本文以溫控措施的總費(fèi)用F最低作為優(yōu)選目標(biāo)，較預(yù)冷骨料、冷卻通水而言，表面噴霧和流水養(yǎng)護(hù)等其他措施對(duì)降低混凝土內(nèi)部溫度的效果要小得多，因此，只考慮澆筑溫度和通水冷卻等有關(guān)的參數(shù)變化對(duì)混凝土溫控費(fèi)用的影響，目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式為

minF=[k1S1S2l(Ta-Tc0+

k2qwt(Ta-Tw0)]/S1S2l。

(19)

式中：F為1 m3混凝土的溫控費(fèi)用；k1是使得1 m3混凝土降低1℃所需的費(fèi)用；l為冷卻水管長(zhǎng)度；Ta為氣溫；Tc0為混凝土的澆筑溫度；k2是使得1 m3水降低1℃所需的費(fèi)用；qw為冷卻通水流量；t為冷卻通水時(shí)間。

3.2 約束方程

混凝土中產(chǎn)生裂縫的根本原因是拉應(yīng)力超過(guò)了混凝土的抗拉極限，如果水泥品種和基巖特性等條件已經(jīng)確定，控制混凝土的溫差ΔT，就可以有效地減少混凝土產(chǎn)生的溫度應(yīng)力，對(duì)混凝土的防裂是極其有利。按照強(qiáng)度破壞準(zhǔn)則，混凝土不產(chǎn)生的裂縫的條件為[13]

σT[σ] 。

(20)

式中 [σ]為混凝土的抗拉強(qiáng)度，在實(shí)際工程中，出于對(duì)結(jié)構(gòu)安全性能的考慮，一般要把安全系數(shù)引入到計(jì)算中去，則將式(20)改寫(xiě)為

σT[σ]/K。

(21)

式中K為安全系數(shù)，常取值在1.1～1.5之間，其具體取值要考慮工程結(jié)構(gòu)的重要性。

考慮自身體積變形和徐變后，內(nèi)部混凝土溫度應(yīng)力可以近似表示為

(22)

式中：ΔT為混凝土的降溫量；α為混凝土的線膨脹系數(shù)；E為混凝的彈性模量；R為基巖或老混凝土對(duì)新混凝土的約束系數(shù)，其值隨混凝土尺寸、材料性質(zhì)和基巖剛度變化的；Kp為混凝土的徐變松弛系數(shù)；μ為混凝土的泊松比；εg為混凝土的自身體積變形。

將式(22)代入式(21)得到防止出現(xiàn)溫度裂縫的條件，即

ΔT

(23)

在大體積混凝土內(nèi)部，式(23)中的ΔT即為混凝土的基礎(chǔ)溫差：

ΔT=maxTc-Tf。

(24)

式中：maxTc為混凝土的最高溫度，即式(14)和式(18)中Tc的最大值；Tf為混凝土的穩(wěn)定溫度，一般為多年氣溫平均值。

4 模型求解及程序設(shè)計(jì)

由式(19)和式(23)構(gòu)成的大體積混凝土溫控參數(shù)優(yōu)選數(shù)學(xué)模型是一個(gè)非線性優(yōu)化問(wèn)題，其求解方法繁多，其中遺傳算法作為一種全局優(yōu)化搜索算法，為解決最優(yōu)化問(wèn)題提供了一個(gè)有效的途徑和通用框架[10]。本文的求解方法采用遺傳算法，當(dāng)然也可以采用其他求解方法。依據(jù)式(14)或式(18)、式(19)和式(23)，采用遺傳算法并應(yīng)用Fortran語(yǔ)言編制程序進(jìn)行求解，遺傳算法的基本原理及程序設(shè)計(jì)可參考文獻(xiàn)[14-15]，模型求解具體步驟如下：

(1) 按照當(dāng)?shù)匚飪r(jià)估算出， 1 m3混凝土預(yù)冷1℃所需的費(fèi)用和1 m3水冷卻1℃時(shí)所需的費(fèi)用。

(2) 設(shè)定澆筑溫度、通水時(shí)間、冷卻水溫和水管間距的取值范圍。

(3) 生成初始種群。

(4) 利用式(14)或式(18)計(jì)算出通水結(jié)束時(shí)混凝土的平均溫度，通水結(jié)束后繼續(xù)考慮混凝土水化熱引起的溫升量。利用式(19)計(jì)算溫控費(fèi)用，檢查其基礎(chǔ)溫差ΔT是否滿足式(23)，如果不滿足則給該組合下的溫控費(fèi)用賦一個(gè)大值。

(5) 構(gòu)造適應(yīng)度函數(shù)，本文依據(jù)溫控費(fèi)用，采用基于序的適應(yīng)度函數(shù)，并進(jìn)行遺傳算法里面的復(fù)制、選擇和變異操作。

(6) 重復(fù)第(4)步和第(5)步，直到收斂。

5 算 例

其對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型為

(25)

式(18)中的積分采用6階Newton-Cotes積分公式計(jì)算。遺傳算法進(jìn)行求解時(shí)，澆筑溫度的取值范圍Tc0∈[10,30]，水管入口水溫Tw0∈[10,30]，通水時(shí)間t∈[0,30]，S1×S2∈[1,9]，種群數(shù)量為100，迭代100步。

計(jì)算結(jié)果為，當(dāng)Tc0=28.64，Tw0=26.63，t=5.49，S1×S2=6.17=2.48×2時(shí)，得到F的最小值minF=7.93。

因此，在本例中，要使得混凝土不出現(xiàn)裂縫，每m3混凝土至少應(yīng)花費(fèi)7.93元的溫控費(fèi)用。在該例中，如果未經(jīng)溫控參數(shù)優(yōu)化，憑經(jīng)驗(yàn)取Tc0=25，Tw0=20，t=10，S1×S2=2.25=1.5×1.5，則每m3混凝土需花費(fèi)79.7元的溫控費(fèi)用，大大超過(guò)了優(yōu)選后的溫控費(fèi)用。大壩的混凝土澆筑方量都在幾百萬(wàn)立方以上，因此，對(duì)工程中的溫控參數(shù)進(jìn)行優(yōu)選能節(jié)省幾千萬(wàn)甚至上億元的溫控費(fèi)用，經(jīng)濟(jì)效益顯著。

6 結(jié) 語(yǔ)

為了防止產(chǎn)生裂縫，大體積混凝土要進(jìn)行溫度控制，已經(jīng)在工程界形成了共識(shí)，但是長(zhǎng)期以來(lái)，由于缺少一個(gè)通用性強(qiáng)的大體積混凝土溫控參數(shù)優(yōu)選數(shù)學(xué)模型，溫控方案大多是憑科研設(shè)計(jì)人員的經(jīng)驗(yàn)制定，具有很強(qiáng)的隨意性，并不是溫控總費(fèi)用最低的最優(yōu)方案，無(wú)形中增加了工程的建設(shè)成本。本文針對(duì)大體積混凝土溫控參數(shù)優(yōu)選數(shù)學(xué)模型進(jìn)行研究，具體做了如下幾方面的工作：

(1) 考慮了水管間距、冷卻水溫沿程變化和流量等影響因素，首次推導(dǎo)出了通水冷卻下無(wú)熱源和有熱源混凝土平均溫度的計(jì)算公式。

(2) 提出了大體積混凝土溫控參數(shù)優(yōu)選數(shù)學(xué)模型，以溫控總費(fèi)用最低為目標(biāo)函數(shù)，以強(qiáng)度準(zhǔn)則為約束條件，該模型表述簡(jiǎn)捷，計(jì)算高效，通用性強(qiáng)，便于在工程中推廣應(yīng)用。

(3) 通過(guò)遺傳算法，求解該模型并用其優(yōu)化某一大壩的溫控參數(shù)，結(jié)果表明，優(yōu)化后的溫控費(fèi)用顯著降低，有利于控制工程的建設(shè)成本。

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[14]李敏強(qiáng). 遺傳算法的基本理論與應(yīng)用[M]. 北京：科學(xué)出版社, 2002. (LI Min-qiang. The Basic Theory and Application of Genetic Algorithms[M]. Beijing: Science Press, 2002. (in Chinese))

[15]段玉倩. 遺傳算法及其改進(jìn)[J]. 電力系統(tǒng)及其自動(dòng)化學(xué)報(bào), 1998, 10(1): 39-52. (DUAN Yu-qian. Genetic Algorithm and Its Modification[J]. Proceeding of the CSU-EPSA,1998,10(1): 39-52. (in Chinese))

(編輯：陳紹選)

Mathematical Model of Parameter Optimization forthe Temperature Control of Mass Concrete

ZHU You-ping1,2, LI Tong-chun2, FENG Shu-rong1, SHI Qing-chun1, SU Jun-an1

(1.Power China Zhongnan Engineering Corporation Limited, Changsha 410014, China;2.College of Water Conservancy and Hydropower Engineering, Hohai University, Nanjing 210098, China)

Optimizing temperature control measures under the premise of meeting engineering requirements could improve project efficiency and save social resource. But currently a versatile mathematical model of parameter optimization for the temperature control of mass concrete is in lack, and as a result, the temperature control parameters can only be selected according to experience, which is unfavorable to control the construction cost. In view of this, formulas of mass concrete’s average temperature in the presence and in the absence of heat source were respectively deduced considering the effects of cooling pipe distance, variation of water temperature along the pipe, and flow rate. Furthermore, a mathematical model was built and genetic algorithm to solve the model was presented. The model takes the total cost of temperature control measures as objective function and the strength failure criterion as constraint equation. Calculation examples prove that the model is simple, efficient and reasonable. Moreover, it is versatile and feasible to be applied to engineering practice.

mass concrete; temperature control measure; mathematical model; genetic algorithm；water-cooling pipe

2014-03-17；

2014-05-22

國(guó)家自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目(51079044)；國(guó)家自然科學(xué)基金青年項(xiàng)目(51009056)

朱優(yōu)平(1982-)，男，湖南雙峰人，博士后，主要從事水工結(jié)構(gòu)研究,(電話) 13808462761(電子信箱)zhuyoupingcs@163.com。

10.3969/j.issn.1001-5485.2015.08.023

TV315

A

1001-5485(2015)08-0126-05

2015,32(08):126-130