三參數(shù)Weibull分布下基于BRM的LED照明燈壽命預(yù)測(cè)

張建平，陳文龍，陳 曉，應(yīng)開雄，成國梁，邱迎吉，金蓓雯

（1.上海電力學(xué)院 能源與機(jī)械工程學(xué)院，上海 200090；2.上海天逸電器股份有限公司，上海 201611；3.浙江京東方顯示技術(shù)有限公司，浙江 紹興 312000）

1 引 言

發(fā)光二極管（LED）作為一種新型高效的固體光源，與傳統(tǒng)白熾燈和熒光燈相比，具有體積小、壽命長、無毒、高亮度、不易破碎、低能耗、可回收再利用和響應(yīng)速度快等優(yōu)點(diǎn)［1－2］，已廣泛應(yīng)用于顯示屏、背光源、汽車照明、指示信號(hào)燈和景觀照明等各種領(lǐng)域，被譽(yù)為最具發(fā)展?jié)摿Φ牡谒拇彰鞴庠?。隨著半導(dǎo)體技術(shù)的不斷發(fā)展，市場(chǎng)上LED照明燈在正常使用條件下的壽命均高達(dá)數(shù)萬小時(shí)［3］，而目前關(guān)于LED照明燈壽命預(yù)測(cè)方法的國家標(biāo)準(zhǔn)還不明確。為了節(jié)省LED照明燈壽命試驗(yàn)時(shí)間，降低壽命預(yù)測(cè)成本，弄清失效機(jī)理，迫切需要對(duì)其開展加速壽命預(yù)測(cè)的研究，以期在短時(shí)間內(nèi)掌握產(chǎn)品的壽命信息。

目前，國內(nèi)外學(xué)者關(guān)于測(cè)試LED等光電類產(chǎn)品的壽命，主要采用溫度加速應(yīng)力試驗(yàn)或電流加速應(yīng)力試驗(yàn)兩種方法［4］。筆者對(duì)有機(jī)發(fā)光二極管（OLED）利用對(duì)數(shù)正態(tài)分布和最小二乘法（LSM）完成了壽命預(yù)測(cè)［5］。Yazdan Mehr等［6］和 Wang等［7］基于亮度指數(shù)衰減模型預(yù)測(cè)了LED燈珠的壽命。董懿［8］通過三組恒定溫度應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)得到了LED照明燈的壽命信息，但在壽命推算方面，得到的特征壽命誤差較大。

針對(duì)文獻(xiàn)［8］預(yù)測(cè)LED照明燈壽命精度不高的問題，本文利用三參數(shù)Weibull分布和雙線性回歸法（Bilinear Regression Method，BRM）相結(jié)合的方法完成了加速壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析，這種方法的優(yōu)點(diǎn)在于壽命計(jì)算精度高且簡(jiǎn)單易行，是一種快速高效得到LED照明燈壽命信息的方法。

2 壽命預(yù)測(cè)理論模型

2.1 壽命預(yù)測(cè)流程

對(duì)于光電類產(chǎn)品，加速壽命預(yù)測(cè)的基本思想是運(yùn)用較高應(yīng)力水平下的壽命信息來推導(dǎo)正常應(yīng)力水平下的壽命特征，其基本方法是根據(jù)加速壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)選取合適的壽命分布函數(shù)和加速壽命模型，再采用合理的壽命參數(shù)估計(jì)方法完成試驗(yàn)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析，從而得到產(chǎn)品的壽命信息。

對(duì)于LED照明燈，這里采用三參數(shù) Weibull分布函數(shù)、BRM以及Arrhenius加速模型來精確預(yù)測(cè)其壽命，壽命預(yù)測(cè)基本流程如圖1所示。

圖1 LED照明燈壽命預(yù)測(cè)流程Fig.1 Flowchart of life prediction for LED lamps

2.2 壽命分布函數(shù)

Weibull分布在可靠性工程中被廣泛應(yīng)用，尤其適用于產(chǎn)品累計(jì)失效的分布形式，在各種壽命試驗(yàn)的數(shù)據(jù)處理方面，它具有較好數(shù)據(jù)擬合效果［9］。為獲得LED照明燈的壽命信息，先假設(shè)其壽命服從三參數(shù) Weibull分布，則有［10］：

式中：m、η、t0分別為形狀參數(shù)、尺度參數(shù)和位置參數(shù)。實(shí)際上，Weibull三參數(shù)在計(jì)算LED照明燈的壽命中起關(guān)鍵作用。

2.3 壽命參數(shù)估計(jì)

線性回歸是利用稱為線性回歸方程的最小平方函數(shù)對(duì)一個(gè)或多個(gè)自變量和因變量之間關(guān)系進(jìn)行建模的一種回歸分析方法，在統(tǒng)計(jì)學(xué)中應(yīng)用十分廣泛，單一回歸性方法誤差較大，而雙線性回歸法極大地提高了計(jì)算的精度。因此，這里基于BRM來計(jì)算Weibull函數(shù)的3個(gè)參數(shù)。

將式（1）進(jìn)行變形，可以得到以下兩種形式的線性函數(shù)式：

上式均可簡(jiǎn)寫為：

其中：

對(duì)于線性回歸方程

由LSM公式可得到：

由式（5）及（7）可得形狀參數(shù)m為：

再結(jié)合A1＝m可得到尺度參數(shù)η表達(dá)式為：

由式（6）及（7）可得到位置參數(shù)：

事實(shí)上，式（9）、（10）及（11）分別是關(guān)于 m、η以及t0的計(jì)算公式，可以記為一般函數(shù)，即有：

由式（12）可知，m與t0是相互迭代的算式，可通過迭代的方式求解參數(shù)m、η以及t0，具體迭代流程圖如圖2所示。

2.4 擬合精度衡量

為了衡量曲線擬合的精度，即擬合值與真實(shí)值之間的偏差程度，通常采用殘差平方和Q作為統(tǒng)計(jì)分析指標(biāo)。Q即為所有觀測(cè)點(diǎn)距回歸直線的殘余誤差的平方和。它是在排除掉因試驗(yàn)誤差、x對(duì)y的非線性影響以及其他未加控制因素的影響情況下，得到x對(duì)y的變差，用于考慮x與y之間的線性關(guān)系。Q可用式（13）表示：

殘余標(biāo)準(zhǔn)差ε是回歸方程的精度參數(shù)，估計(jì)出y的隨機(jī)波動(dòng)量，其值愈小，回歸方程的準(zhǔn)確度

圖2 基于三參數(shù)Weibull函數(shù)的BRM迭代流程圖Fig.2 BRM iterative flowchart based on threeparameter Weibull function

愈高，ε可寫為：

式中：N為樣本個(gè)數(shù)。

3 試驗(yàn)數(shù)據(jù)

在LED照明燈壽命預(yù)測(cè)研究中，文獻(xiàn)［8］在保證加速效果達(dá)到最大而且失效機(jī)理不變的情形下，以溫度為加速應(yīng)力開展了3組恒定應(yīng)力T1＝333.15K、T2＝353.15K、T3＝378.15K的加速壽命試驗(yàn)，樣品數(shù)均為n1＝n2＝n3＝10，在光通量衰減到初始值70%作為失效標(biāo)準(zhǔn)情形下的樣品失效時(shí)間列于表1。

表1 三組恒定應(yīng)力試驗(yàn)下樣品的失效時(shí)間［8］Tab.1 Sample failure time of three groups of constant－stress tests［8］

4 統(tǒng)計(jì)與分析

為提高LED照明燈壽命預(yù)測(cè)的計(jì)算精度和效率，這里采用自行開發(fā)的壽命預(yù)測(cè)軟件來完成對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的計(jì)算與分析。

4.1 加速壽命方程的確定

在采用三參數(shù)Weibull函數(shù)描述LED照明燈壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)分布基礎(chǔ)上，基于BRM對(duì)表1中的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，求得各恒定溫度應(yīng)力下的形狀參數(shù)、尺度參數(shù)及位置參數(shù)，列于表2。

表2 不同加速應(yīng)力下的Weibull參數(shù)Tab.2 Weibull parameters under different accelerated stresses

假設(shè)LED照明燈加速模型符合Arrhenius方程，則其特征壽命Te－1與溫度應(yīng)力T滿足以下關(guān)系［11］：

式中：α和β為加速參數(shù)，對(duì)壽命預(yù)測(cè)結(jié)果的影響較大。

文獻(xiàn)［8］先將3組 Weibull函數(shù)的參數(shù)代入加速壽命方程中進(jìn)行求解，再把3組加速參數(shù)的均值作為α和β解，為減小誤差，這里采用LSM進(jìn)行計(jì)算，可得：α＝－4.927 8，β＝4 750.186 5。因此，式（15）可重寫為：

實(shí)際上，式（16）表征了LED照明燈在各溫度應(yīng)力水平下的加速壽命方程，即為壽命特征圖，如圖2所示。擬合曲線決定系數(shù)R2＝0.992 6，非常接近1，證明了LED照明燈的加速模型完全符合Arrhenius方程的假定，且說明擬合程度很好。

圖3 壽命特征圖Fig.3 Life characteristic pattern

4.2 壽命分布模型的K－S檢驗(yàn)

由于每組試驗(yàn)樣本容量較小，均為10個(gè)，故在K－S檢驗(yàn)時(shí)選取較大的顯著性水平，這里取α＝0.2。對(duì)3組應(yīng)力下試驗(yàn)樣品的失效時(shí)間進(jìn)行檢驗(yàn)，計(jì)算得到的 K－S統(tǒng)計(jì)量為：D1n，2，3＝｛0.1067，0.1004，0 . 1220｝ ＜ D0.2，10＝ 0.3226。因此說明了每組加速應(yīng)力水平下的失效時(shí)間均通過了K－S檢驗(yàn)，從而證明了LED照明燈壽命服從三參數(shù)Weibull分布假設(shè)的成立。

4.3 回歸方程的顯著性檢驗(yàn)

為了說明三參數(shù)Weibull分布下基于BRM的LED照明燈壽命預(yù)測(cè)結(jié)果的精確性，將由式（16）計(jì)算出殘余標(biāo)準(zhǔn)差ε（N＝10）與文獻(xiàn)［8］的殘余標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行對(duì)比，其結(jié)果列于表3。

表3 殘余標(biāo)準(zhǔn)差的對(duì)比Tab.3 Comparison of residual standard deviation

從表3不難看出，本文三組應(yīng)力條件下的殘余標(biāo)準(zhǔn)差均比文獻(xiàn)［8］的小，由此可說明本文數(shù)據(jù)處理與計(jì)算的方法更為準(zhǔn)確，使預(yù)測(cè)出的LED照明燈在正常工作條件下的壽命更接近真實(shí)值。

4.4 壽命的計(jì)算與對(duì)比

三參數(shù)Weibull分布下，LED照明燈在正常溫度應(yīng)力下的平均壽命計(jì)算公式為：

式中：Γ（·）為伽馬函數(shù)，η0和m分別為正常溫度應(yīng)力下的尺度參數(shù)和形狀參數(shù)。

將正常溫度應(yīng)力T0＝298.15K代入式（16），可得正常工作條件下的尺度參數(shù)η0＝46218.283 3。在各溫度應(yīng)力水平下LED照明燈的失效機(jī)理不變，即形狀參數(shù)m不變，可通過各加速應(yīng)力下的形狀參數(shù)取加權(quán)平均來獲得，則有：

將表2中的mi（ｉ＝１，２，３）以及每組加速應(yīng)力下的試驗(yàn)樣品數(shù)量代入式（18），可得到m＝2.6323。在工程應(yīng)用中，通常將實(shí)際使用中的最小壽命作為位置參數(shù)t0，對(duì)表2中3組溫度應(yīng)力和位置參數(shù)數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合，可得LED照明燈正常工作條件下位置參數(shù)t0＝12934.7h。因此，結(jié)合式（15）和（17）便可得其特征壽命Te－1 ＝60140.4h，平均壽命μ＝54879.1h。

將本文和文獻(xiàn)［8］計(jì)算的特征壽命均與國際上最權(quán)威的ALTA9加速壽命數(shù)據(jù)分析軟件（試用版）所得出的壽命（Weibull分布下）進(jìn)行比較，結(jié)果見表4?？梢钥闯?，文中所算出的特征壽命相對(duì)誤差僅為3.21%，而文獻(xiàn)［8］的誤差比本文高出10倍以上，這進(jìn)一步說明了本文預(yù)測(cè)LED照明燈壽命的精度較高。

表4 壽命比較Tab.4 Life comparison

5 結(jié) 論

通過三參數(shù)Weibull分布下基于BRM對(duì)3組恒定應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)與分析，可得出以下結(jié)論：

（1）各組溫度應(yīng)力下的壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)均通過了K－S檢驗(yàn)理論，證實(shí)了三參數(shù) Weibull分布函數(shù)適用于描述LED照明燈的壽命分布。

（2）經(jīng)殘余標(biāo)準(zhǔn)差的對(duì)比與分析以及壽命結(jié)果的比較，說明了基于三參數(shù) Weibull分布下的BRM壽命預(yù)測(cè)方法得出的LED照明燈壽命精度較高。

（3）加速壽命曲線的決定系數(shù)非常接近1，證明了LED照明燈的加速模型完全符合Arrhenius方程。

（4）精確得到的LED照明燈的壽命信息，為LED照明燈的生產(chǎn)廠商和用戶有較好的參考價(jià)值。

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