AFM壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器類Hammerstein建模與參數(shù)辨識(shí)*

徐運(yùn)揚(yáng),徐康康,沈 平

(中南大學(xué)高性能復(fù)雜制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,長(zhǎng)沙 410012)

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AFM壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器類Hammerstein建模與參數(shù)辨識(shí)*

徐運(yùn)揚(yáng),徐康康,沈 平*

(中南大學(xué)高性能復(fù)雜制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,長(zhǎng)沙 410012)

AFM(Atomic Force Microscope,原子力顯微鏡)中的壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器具有率相關(guān)遲滯非線性特性,這會(huì)影響AFM的掃描和定位精度。針對(duì)傳統(tǒng)靜態(tài)遲滯模型不能反映系統(tǒng)率相關(guān)動(dòng)態(tài)遲滯特性的缺陷,提出Hammerstein模型以描述壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器的靜態(tài)和動(dòng)態(tài)遲滯特性。利用最小二乘支持向量機(jī)結(jié)合奇異值分解法對(duì)模型中的參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,模型能體現(xiàn)壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器的率相關(guān)遲滯特性,精度高于傳統(tǒng)靜態(tài)遲滯模型,建模方法對(duì)此類系統(tǒng)具有較好的應(yīng)用價(jià)值。

壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器;非線性建模;Hammerstein模型;系統(tǒng)辨識(shí);支持向量機(jī)

AFM中的壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器是掃描和成像系統(tǒng)中的關(guān)鍵部件[1],其響應(yīng)速度快,具有納米級(jí)的定位精度。但同時(shí)其輸入輸出表現(xiàn)為非光滑、多值映射的遲滯回環(huán)特性,即同一個(gè)輸入電壓值可能對(duì)應(yīng)多個(gè)輸出位移[2],若不對(duì)遲滯進(jìn)行補(bǔ)償,則會(huì)影響AFM掃描和定位精度,導(dǎo)致成像的畸變。因此,研究這種非線性關(guān)系并建立其準(zhǔn)確的模型,并對(duì)遲滯加以補(bǔ)償,對(duì)提高壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器的運(yùn)動(dòng)控制精度具有重要的意義。

對(duì)壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器的遲滯建模,國(guó)內(nèi)外學(xué)者做了大量的工作。如基于Preisach模型的建模方法[3],雖然能較好地描述壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器的遲滯非線性特性,但模型結(jié)構(gòu)復(fù)雜,建模過(guò)程需要大量特定的實(shí)驗(yàn),實(shí)際應(yīng)用不便。另外還有PI(Prandtl-Ishlinskii)模型[4],雖也能描述遲滯非線性,但由于其算子關(guān)于原點(diǎn)奇對(duì)稱而實(shí)際遲滯曲線大都是非對(duì)稱的,這會(huì)引入建模誤差,影響模型精度。其他的智能建模法,如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[5],受限于算法本身,存在局部極小值點(diǎn),容易陷入過(guò)訓(xùn)練,且網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)、類型的選擇過(guò)分依賴于經(jīng)驗(yàn),這都會(huì)影響模型的預(yù)測(cè)效果。以上模型均屬于靜態(tài)模型,實(shí)際上壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器的驅(qū)動(dòng)電壓和輸出位移間還存在率相關(guān)遲滯非線性特性[6],即遲滯的程度同輸入電壓的頻率有關(guān)。這說(shuō)明壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器的遲滯特性同時(shí)包含靜態(tài)非線性和線性動(dòng)態(tài)特性[7]。因此有必要對(duì)模型的形式加以改進(jìn),以提高模型的精度。

Hammerstein模型是一類塊結(jié)構(gòu)的非線性動(dòng)態(tài)模型[8],這類模型由線性動(dòng)態(tài)模塊和非線性靜態(tài)模塊組成,其已被證明能描述一大類非線性系統(tǒng)[9]。模型簡(jiǎn)單,參數(shù)辨識(shí)容易。受此啟發(fā),本文提出基于Hammerstein模型的壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器遲滯模型,這種模型能描述壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器的靜態(tài)非線性以及動(dòng)態(tài)特性,并具有較高的預(yù)測(cè)精度。

對(duì)Hammerstein模型參數(shù)辨識(shí)的研究,Krzyzak[10]等使用遞推核回歸法和協(xié)相關(guān)法辨識(shí)Hammerstein模型的參數(shù),對(duì)模型的線性部分使用協(xié)相關(guān)系數(shù)求解,模型的非線性部分由遞推核回歸法得到。Chen[11]等提出遞推最小二乘法辨識(shí)對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)。向微[12]等將線性動(dòng)態(tài)部分和非線性靜態(tài)部分分別用Laguere級(jí)數(shù)和非線性基表示,辨識(shí)得到兩部分的參數(shù)。Pelckmans和Goethal等[13]把最小二乘支持向量機(jī)LS-SVM(Least Squares Support Vector Machine)用于Hammerstein模型參數(shù)的辨識(shí),通過(guò)采用冗余參數(shù)法以及增加約束,辨識(shí)得到了線性部分和非線性部分的系數(shù)。由于最小二乘支持向量機(jī)能很好地表示非線性過(guò)程[14],且其參數(shù)具有冗余性,因此,本文采用最小二乘支持向量機(jī)算法,通過(guò)增加約束條件,結(jié)合奇異值分解,辨識(shí)Hammerstein模型中的參數(shù)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,率相關(guān)遲滯Hammerstein模型能體現(xiàn)系統(tǒng)輸出與輸入信號(hào)頻率間的動(dòng)態(tài)特性,較傳統(tǒng)靜態(tài)遲滯模型更能體現(xiàn)壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器的真實(shí)特性。

1 問(wèn)題構(gòu)造

AFM壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器的輸入輸出特性包含靜態(tài)非線性以及線性動(dòng)態(tài)特性,可用Hammerstein模型進(jìn)行描述[7]。靜態(tài)非線性部分體現(xiàn)系統(tǒng)的靜態(tài)遲滯非線性,動(dòng)態(tài)部分體現(xiàn)系統(tǒng)的率相關(guān)動(dòng)態(tài)特性。

Hammerstein模型是一類塊結(jié)構(gòu)的非線性動(dòng)態(tài)模型,它由一個(gè)靜態(tài)非線性環(huán)節(jié)和一個(gè)動(dòng)態(tài)線性環(huán)節(jié)串聯(lián)組成。壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器Hammerstein模型的結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 Hammerstein模型結(jié)構(gòu)圖

u(t)代表t時(shí)刻的輸入電壓,它經(jīng)過(guò)靜態(tài)遲滯非線性模塊f(·)得到中間變量v(t),該變量再經(jīng)過(guò)線性動(dòng)態(tài)模塊G(·),同e(t)疊加后得到t時(shí)刻的位移輸出y(t),其中e(t)代表未建模的系統(tǒng)特性和隨機(jī)擾動(dòng)。

對(duì)壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器而言,其某一時(shí)刻的輸出與歷史電壓變化以及位移變化情況有關(guān),其輸入輸出關(guān)系能用以下基于Hammerstein結(jié)構(gòu)的方程表達(dá)[9]:

(1)

其中u(t)=[u1(t),…,unu(t)]T表示輸入電壓信號(hào),yi(t)表示輸出位移值,m,n表示系統(tǒng)輸入輸出的階數(shù),nu表示輸入電壓信號(hào)u(t)的采樣個(gè)數(shù)。β=[β1,…,βn]T和Ck=[c1,…,cl,…,cnu]T以及cl=[cl(1),…,cl(m)]T均為系統(tǒng)的回歸參數(shù)。

式(1)中遲滯非線性模塊f[u(t-k)]通?？刹捎们拔奶岬降撵o態(tài)遲滯模型或多項(xiàng)式、樣條線性函數(shù)等描述。但靜態(tài)遲滯模型如Presaich模型存在模型形式復(fù)雜,難以求解和不利于在線控制的特點(diǎn);PI模型算子關(guān)于原點(diǎn)奇對(duì)稱而與實(shí)際非對(duì)稱遲滯曲線不符,存在原理性建模誤差,模型精度有限。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)受限于其算法,容易陷入過(guò)學(xué)習(xí)和局部極小的情況,影響模型的泛化能力。多項(xiàng)式、樣條函數(shù)由于形式相對(duì)簡(jiǎn)單,對(duì)遲滯現(xiàn)象的描述精度有限。因此,尋找合適的模型結(jié)構(gòu)用以描述靜態(tài)遲滯非線性有利于壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器模型精度的提高。

2 驅(qū)動(dòng)器率相關(guān)Hammerstein建模

2.1 基于LS-SVM的率相關(guān)Hammerstein模型表示

支持向量機(jī)是基于統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論的新型機(jī)器學(xué)習(xí)方法,同其他傳統(tǒng)機(jī)器學(xué)習(xí)方法如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相比,其關(guān)注結(jié)構(gòu)經(jīng)驗(yàn)最小化而非經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)最小化,這使得支持向量機(jī)在小樣本學(xué)習(xí)、強(qiáng)非線性系統(tǒng)等領(lǐng)域比傳統(tǒng)學(xué)習(xí)方法更具優(yōu)勢(shì)[16]。因此可利用支持向量機(jī)對(duì)壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器靜態(tài)遲滯非線性部分進(jìn)行描述。

y[u(t)]=ωTφ[u(t)]+d,ω∈Z,b∈R

(2)

式中的參數(shù)ω,d待求。根據(jù)結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小原理,該回歸問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為一個(gè)等式約束問(wèn)題,其最優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)如下:

(3)

滿足等式約束條件:

yi=ωTφ[u(t)]+d+ei,i=1,2,…,N

(4)

目標(biāo)函數(shù)(3)的第1項(xiàng)對(duì)應(yīng)模型的泛化能力,第2項(xiàng)表示模型的精確性,正的常數(shù)ρ是模型泛化能力和精確性的一個(gè)折中參數(shù),可以根據(jù)需要進(jìn)行調(diào)整,ei是第i個(gè)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和預(yù)測(cè)輸出間的誤差。

根據(jù)LS-SVM理論,Hammerstein模型中第k時(shí)刻的非線性項(xiàng)可表示為:

cl(k)f(ul(t-k))=cl(k)(ωTφ(ul(t-k))+d)

(5)

(6)

該式即為基于LS-SVM的壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器率相關(guān)遲滯Hammerstein模型。

2.2 基于LS-SVM的Hammerstein模型參數(shù)辨識(shí)

式(6)表示的最優(yōu)化問(wèn)題可以寫成如下形式:

(7)

(8)

式中t=r,…,T,r=max(m,n)+1。

為求解方程(7)在約束條件(8)下的優(yōu)化問(wèn)題,使用拉格朗日乘子法構(gòu)造拉格朗日函數(shù)如下:

(9)

式中αt,δk是拉格朗日乘子。由拉格朗日函數(shù)的最優(yōu)值條件:

(10)

得到如下線性方程組:

(11)

式中:

Qu(T×T)(τ,t)=φT(u(τ))φ(u(t)),t,τ=1,…,T

待求的參數(shù)αt,δk,βi,c可以通過(guò)求解方程組(11)得到,下面通過(guò)奇異值分解法求解回歸參數(shù)Ck(k=1,…,m),構(gòu)造式(12):

(12)

式(12)右邊為已知項(xiàng),因此對(duì)其進(jìn)行

奇異值分解即可求得系數(shù)矩陣Ck。至此,式(1)中的參數(shù)β和Ck得以確定。

3 實(shí)驗(yàn)研究

為驗(yàn)證模型的效果,對(duì)壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器0～100 Hz輸入頻率下的率相關(guān)遲滯特性進(jìn)行建模。實(shí)驗(yàn)設(shè)備如圖2所示。

圖2 實(shí)驗(yàn)儀器圖

AFM是美國(guó)Veeco公司的Dimension Icon,其壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器X、Y、Z3個(gè)軸向上均能承受-220 V～+220 V的電壓。實(shí)驗(yàn)采樣頻率為20 kHz,設(shè)備工作在開(kāi)環(huán)模式下,取X軸向的壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器輸入輸出特性進(jìn)行研究。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,輸入信號(hào)頻率低于1 Hz時(shí),壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器的遲滯環(huán)幾乎不發(fā)生變化,因而取1 Hz輸入頻率下驅(qū)動(dòng)器的輸入輸出數(shù)據(jù)建立靜態(tài)模型,該模型體現(xiàn)壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器的靜態(tài)遲滯特性。

PI模型[17-18]是Presaich模型的一種子模型,較傳統(tǒng)Presaich模型而言,其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,運(yùn)算量更小,該模型輸出不隨輸入頻率的變化而改變,屬于靜態(tài)模型。在輸入信號(hào)頻率變化時(shí),將PI模型與率相關(guān)遲滯Hammerstein模型的輸出結(jié)果進(jìn)行比較,可以直觀地看到率相關(guān)模型對(duì)頻率變化的描述效果。

利用頻率范圍0～100 Hz的隨機(jī)信號(hào)來(lái)激勵(lì)壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器,測(cè)得其輸出值并歸一化。利用基于最小二乘支持向量機(jī)的參數(shù)辨識(shí)法辨識(shí)得到Hammerstein模型中的參數(shù)。模型輸入輸出階數(shù)調(diào)整方法如下:先將m,n設(shè)為某固定值,然后調(diào)整ρ和σ,使用10折交叉驗(yàn)證法[19],使得模型在滿足最小訓(xùn)練誤差的前提下復(fù)雜度最小。得到最優(yōu)ρ和σ值后,再在此基礎(chǔ)上調(diào)節(jié)m和n,得到m和n的最優(yōu)值。經(jīng)驗(yàn)證,最終取Hammerstein模型的階數(shù)m和n分別為3和6,模型正則化參數(shù)ρ=100,σ=0.001。

為評(píng)估所建模型的效果,定義相對(duì)均方根誤差:

(13)

為檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷姆夯芰?分別將10Hz、50Hz、100Hz單一頻率正弦激勵(lì)下率相關(guān)Hammerstein遲滯模型預(yù)測(cè)輸出與實(shí)測(cè)輸出進(jìn)行對(duì)比,正弦信號(hào)的幅值范圍均為0～140V。

圖3 輸入正弦信號(hào)

圖4 Hammerstein模型檢驗(yàn)

對(duì)比結(jié)果如圖4,10Hz輸入信號(hào)下Hammerstein模型的RRMSE為0.012 4,而PI模型達(dá)到了0.279 7。50Hz輸入信號(hào)下,Hammerstein模型的RRMSE為0.027 7,PI模型的RRMSE為0.433 5,100Hz輸入信號(hào)下,Hammerstein模型的RRMSE為0.030 1,PI模型的RRMSE為0.740 9,可見(jiàn)所建模型較靜態(tài)遲滯模型更能體現(xiàn)系統(tǒng)的率相關(guān)遲滯動(dòng)態(tài)特性,且具有良好的泛化能力。

4 結(jié)論

傳統(tǒng)壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器靜態(tài)遲滯模型無(wú)法體現(xiàn)系統(tǒng)率相關(guān)動(dòng)態(tài)遲滯特性,針對(duì)這一不足,本文建立了AFM壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器率相關(guān)遲滯Hammerstein模型,在體現(xiàn)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的前提下,利用支持向量機(jī)描述系統(tǒng)的靜態(tài)線性部分。采用最小二乘支持向量機(jī)和奇異值分解法對(duì)模型中的參數(shù)進(jìn)行辨識(shí),計(jì)算量少,便于實(shí)施。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,本文提出的模型預(yù)測(cè)準(zhǔn)確,較傳統(tǒng)靜態(tài)遲滯模型更能反應(yīng)壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器的真實(shí)特性。建模方法對(duì)此類非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)具有較高的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

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Hammerstein-Based Modeling Approach and Parameter Identification Method for AFM Piezoelectric Actuator*

XUYunyang,XUKangkang,SHENPing*

(State Key Laboratory of High Performance Complex Manufacturing,Changsha 410012,China)

The piezoelectric actuator(PEA)used in the Atomic Force Microscopy(AFM)possesses a feature of rate-dependent hysteresis,which have a negative influence on the scanning and positioning accuracy of AFM.As the traditional static nonlinear hysteresis model can’t reflect the dynamic frequency characteristics of the system,a Hammerstein model here is proposed to describe the static and dynamic hysteresis characteristics of the PEA.The parameters of the model is identified by the least squares support vector machine(LS-SVM)algorithm and the singular value decomposition(SVM)method.The experiment result indicates that the rate-dependent hysteresis is well reflected,and the model accuracy is better than the traditional static hysteresis model,its application value is desirable for the analogous systems.

piezoelectric actuator;nonlinear model;Hammerstein model;system identification;support vector machine

徐運(yùn)揚(yáng)(1989-),男,湖南邵陽(yáng)人,碩士,主要研究方向?yàn)橄到y(tǒng)建模、智能控制以及微納米制造,xuyunyang2008@163.com;

徐康康(1990-),男,安徽淮北人,博士,主要研究方向?yàn)橄到y(tǒng)建模與溫度場(chǎng)的管理與控制,779771244@qq.com;

沈 平(1983-),男,陜西寶雞人,博士,主要從事復(fù)雜過(guò)程建模、自動(dòng)控制、智能控制等方面的研究,dakonglong_31@163.com。

項(xiàng)目來(lái)源:國(guó)家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃基金項(xiàng)目(973)(2011CB013104)

2014-09-10 修改日期:2014-11-07

C:7320G;2860;7230

10.3969/j.issn.1004-1699.2015.01.005

TN792

A

1004-1699(2015)01-0023-05