P-理想下半環(huán)的新特性

李小光

(西安航空學(xué)院 理學(xué)院,陜西 西安 710077)

P-理想下半環(huán)的新特性

李小光

(西安航空學(xué)院 理學(xué)院,陜西 西安 710077)

研究P-理想下半環(huán)的一些新特性。以P-理想為工具，構(gòu)造冪等P-理想、素P-理想，半素P-理想，并給出一些新結(jié)論，從而定義弱P-正則半環(huán)。應(yīng)用P-理想，研究半環(huán)具有的一些新特性，具有一定的實際意義。

全P-冪等半環(huán)； 弱P-正則半環(huán)；全P-素半環(huán)

設(shè)(R,+,?)是半環(huán)，(R,+)是交換半群，(R，?)是分配半群，存在乘法單位元和吸收零元，則?a∈R,a?0=0?a=0，a+0=0+a=a。若?a，b∈R,a?b=b?a，則R是交換半環(huán)。若a∈R,?x∈R,axa=a,則稱a∈R是正則的，若半環(huán)R中每一個元素都是正則的，則半環(huán)R是正則的。若S是一個半環(huán)，且半環(huán)R的運算在S中封閉，則稱半環(huán)S是半環(huán)R的子集。若A是半環(huán)R的非空子集，滿足

(Ⅰ) ?a，b∈R,則a+b∈R;

(Ⅱ)a∈R,r∈R,則ra∈R(ar∈R)

則稱A是半環(huán)R的左(右)理想。

若A既是半環(huán)R的左理想，又是半環(huán)R的右理想，則A是半環(huán)R的理想。

若I,J是半環(huán)R的理想，則I+J={i+j|i∈I∧j∈J}是半環(huán)R的理想，且I+J?I,J。IJ={∑aibi|ai∈I∧bi∈J}是半環(huán)R的理想，且IJ?I∩J。若I是半環(huán)R的理想，a+b∈I,a∈I,則b∈I,稱I是半環(huán)R的K-理想。令P+(R)={x∈R|nx=(n+1)x,?n∈N},則稱P+(R)是半環(huán)R的理想，但不是K-理想[1]。

定理1[1]若R是半環(huán)，令a∈P+(R),?b∈R,n∈N,滿足a+nb=(n+1)b，則b∈P+(R)。

定義1[1-2]設(shè)R是半環(huán)，I是(左或右)理想,滿足

(Ⅰ)?x∈R,n∈N,則nx+a=(n+1)x；

(Ⅱ)?a∈I,則x∈I,

稱I是R的P-(左或右)理想。

由文獻[1]知，P-理想的交集是P-理想，但是P-理想的和不是P-理想。由文獻[2]可知，P-理想不是K-理想，一般情況下，K-理想也不是P-理想。

定義2[2]設(shè)R是半環(huán)，A?R,定義

定理2[2]設(shè)R是半環(huán)，I,J是R的理想，且I是R的P-理想，下面的結(jié)論成立：

1 素P-理想

定義3 設(shè)R是半環(huán)，A,B是R的P-理想，A∩B=I，(A∩B?I),則A=I或B=I(A=I或B=I)稱A是強不可約P-理想。

顯然，強不可約P-理想是不可約P-理想。

定理3 設(shè)R是半環(huán)，I是R的素理想，a∈R,a?I,則R中存在不可約P-理想H,I?H,a?H。

證明 如果{Hi|i∈Ω}是R中P-理想的鏈，I?Hi，a?Hi，則∪Hi是R的P-理想，且a?∪Hi。R的所有P-理想的集合包含I,不包含a，都有一個最大元素H。若H=A∩B,A,B是R的P-理想，則構(gòu)造H，a∈A,b∈B,a∈A∩B=H,H是矛盾的,因此H一定是不可約P-理想。

定理4 設(shè)R是半環(huán)，I是R的P-理想，R的所有不可約P-理想的交集包含I。

證明 令{Ai|i∈Ω}是包含I的，是R的所有不可約P-理想族，則I?∩Ai。對于反向包含，令x∈R,x?I,則存在不可約P-理想A，I?A,但是x?A,x?∩Ai，所以I=∩Ai。

定理5 設(shè)R是半環(huán)，I是素的P-理想，等價于I是半素P-理想且強不可約。

證明 假設(shè)I是R的素P-理想，則I是R的半素P-理想。A,B是R的P-理想,A∩B?I,AB?A∩B?I,則A?I或B?I,所以I是強不可約的。

相反地，假設(shè)I是半素P-理想，且強不可約，AB?I,則(A∩B)2?AB?I,由半素定義可知，A∩B?I,由強不可約定義可知，A?I或B?I,因此I是素P-理想。

2 全P-冪等半環(huán)

若半環(huán)R的每個理想都是冪等的，則R是全P-冪等半環(huán)[3]。

下面，我們定義全P-冪等半環(huán)，運用上面的命題描述全P-冪等半環(huán)的特性。

定義5 設(shè)R是半環(huán)，若每一個P-理想是冪等的，則稱R是全P-冪等半環(huán)。(若I2=I,則稱P-理想I是冪等的。)

定義6[1-2]設(shè)R是半環(huán)，若每一個P-理想是冪等的，則稱R是P-正則半環(huán)。

定理6 設(shè)R是半環(huán)，以下結(jié)論是等價的：

(Ⅰ)R是全P-冪等半環(huán)；

(Ⅲ) 若R是包含單位元1的交換半環(huán)，則R是P-正則半環(huán)。

設(shè)L是格，?a,b∈L，?x∈L滿足a∧xb，a∧x包含一個最大的元素C,C稱為a相對于b的偽補，格L稱為布勞沃格。設(shè)LR是一個完備的布勞沃分配格。

以下研究全P-冪等半環(huán)R的P-理想格的一些性質(zhì)。

定理8 設(shè)R是全P-冪等半環(huán)，P是R的P-理想，則下面的結(jié)論是等價的：

(Ⅰ)P是強不可約的；

(Ⅱ)P是不可約的；

(Ⅲ)P是素的。

證明 (Ⅰ)? (Ⅱ)[5-6]，設(shè)A,B是R的P-理想，滿足A∩B=P,當(dāng)P是R的強不可約P-理想時，A?P或B?P,但是P?A并且P?B,這樣A=P或B=P。因此P是不可約的P-理想。

(1)農(nóng)業(yè)資源利用。農(nóng)業(yè)資源包括農(nóng)業(yè)自然資源和農(nóng)業(yè)經(jīng)濟資源，其中農(nóng)業(yè)自然資源是指像土地資源、氣候資源、水資源等在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)過程中可利用的自然環(huán)境因素，農(nóng)業(yè)經(jīng)濟資源是指像交通設(shè)施、農(nóng)業(yè)人口、農(nóng)用機械等在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)過程中可利用的社會經(jīng)濟因素。眾所周知，我國水資源短缺，且時空分布不均勻，隨著農(nóng)業(yè)經(jīng)濟的發(fā)展，在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)過程中水資源利用率不高、浪費等現(xiàn)象日益明顯，水資源污染狀況也日益嚴重。因此，我們要合理高效地利用水資源，本文用各地區(qū)有效灌溉面積(千公頃)與各地區(qū)耕地面積(千公頃)比值表示農(nóng)業(yè)資源利用，用x1表示。

(Ⅲ)?(Ⅰ),令A(yù),B是R的P-理想，滿足A∩B=P,由于AB?A∩B,因此AB?A∩B?P。由于P是素理想，因此A?P或B?P,所以P是強不可約的。

定理9 設(shè)P是半環(huán)R的包含單位元的P-右理想，則下面的結(jié)論是等價的：

(Ⅰ)R是全P-冪指半環(huán)；

(Ⅲ)R的每一個P-理想都是半素的；

(Ⅳ)R的每一個真P-理想是R的素理想的交。

證明 (Ⅰ)?(Ⅱ)，由命題6顯然成立。

(Ⅰ)?(Ⅳ)，由命題4和命題8顯然成立。

(Ⅳ)?(Ⅲ)，由于素P-理想的交集是半素P-理想，由條件可知，每個P-理想都是半素P-理想。

3 全P-素半環(huán)[7-11]

定義7 設(shè)R是半環(huán)，如果R的每一個P-理想都是素P-理想(半素P-理想)，則稱R是全P-素(P-半素)半環(huán)。

顯然，由命題9可知，全P-半素半環(huán)等價于全P-冪等半環(huán)。

定理10 設(shè)R是半環(huán),R是全P-素半環(huán)等價于R是全P-冪等半環(huán)，且R的P-理想的集合在包含運算下是全序的。

證明 當(dāng)R的每個P-理想是素的(半素的)。由命題9，R是全P-冪等半環(huán)。令A(yù),B是R的P-理想，當(dāng)AB?A∩B,A∩B是P-理想，則A?A∩B或B?A∩B。從而A?B或B?A。這樣R的P-理想集合在交運算下是全序的。

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[責(zé)任編輯、校對：周 千]

Semiring Characterized by P-Ideals

LIXiao-guang

(School of Science, Xi'an Aeronautical University, Xi'an 710077, China)

In this paper, the properties of semirings by P-ideals are studied.Through P-ideals, idempotent P-ideals, prime P-ideals and semiprime P-ideals are introduced, and some properties of fully P-idempotent semiring, weakly P-regular semirings, fully P-prime semirings are given accordingly to define weakly P-regular semirings.It is of practical significance to study some new characteristics of semirings.

fully P-idempotent semiring; weakly P-regular semirings; fully P-prime semirings

2015-03-01

陜西省科技廳自然科學(xué)基礎(chǔ)研究基金資助項目(2013JM1019)；西安航空學(xué)院校級科研立項(13XP13)

李小光(1973-)，女，遼寧鐵嶺人，副教授，從事代數(shù)學(xué)及信息論方面的研究。

O153.1

A

1008-9233(2015)03-0058-03