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    直井受壓管柱臨界失穩(wěn)長度有限元計算

    2015-05-07 06:26:18丁宇奇
    機(jī)械設(shè)計與制造工程 2015年10期
    關(guān)鍵詞:固支無量扶正

    張 強(qiáng),安 超,丁宇奇,高 磊,蔣 豹

    (東北石油大學(xué)機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院,黑龍江大慶 163318)

    在鉆井、完井、測井、壓裂、采油等工程作業(yè)過程中,大量使用各種尺寸的管柱(包括鉆柱、套管柱、測試管柱、抽油桿管柱、連續(xù)油管等),分析管柱的屈曲行為,對于合理選擇管柱尺寸和確定扶正器的安放位置等具有工程應(yīng)用意義。

    1744年,L.Eu1er對細(xì)長壓桿的穩(wěn)定性進(jìn)行了研究,提出穩(wěn)定性概念并得到了著名的歐拉公式;19世紀(jì)末20世紀(jì)初,S.P.Timoshenko提出了彈性穩(wěn)定理論[1];1962 年,Lubinski等[2]利用能量法對受壓管柱在垂直井中的螺旋屈曲行為進(jìn)行了研究,并首次提出了虛構(gòu)力的概念;1977年,白家祉[3]提出了用縱橫彎曲連續(xù)梁理論,求解井底鉆具組合的受力和變形;1994年,高國華等[4]針對管柱在后屈曲進(jìn)程中載荷與變形的關(guān)系,進(jìn)行了更深入的研究,得到了管柱一、二次螺旋屈曲的臨界載荷。隨著計算機(jī)技術(shù)和仿真技術(shù)的不斷進(jìn)步,人們開始利用計算機(jī)進(jìn)行仿真計算,其中最具代表性的要數(shù)ANSYS有限元計算軟件,該軟件提供了特征值分析方法來研究屈曲問題。

    本文針對直井管柱臨界失穩(wěn)長度的計算進(jìn)行研究,在現(xiàn)有能量法的基礎(chǔ)上,采用特征值屈曲有限元法,利用ANSYS軟件計算直井管柱的臨界失穩(wěn)長度,為工程應(yīng)用提供理論依據(jù)。

    1 能量法

    假設(shè)管柱兩端固支,其底部受軸向壓力的屈曲形態(tài)如圖1所示。在管柱由直線變成彎曲的過程中,管柱的彈性應(yīng)變能增加了△U,同時由于底部軸向壓力F的作用,引起管柱軸向位移的變化,而管柱所做的總功為△W,因此管柱總勢能的增量為△Π =△U+△W。當(dāng)作用在底部的軸向壓力F較小時,管柱總勢能增量為正值,此時管柱的直線平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的。當(dāng)作用在底部的軸向壓力F超過某一數(shù)值時,管柱總勢能增量變成負(fù)值,此時管柱的直線平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。

    圖1 底部受軸向壓力的管柱屈曲形態(tài)

    當(dāng)?shù)撞康妮S向壓力F達(dá)到臨界載荷時,在微小擾動條件下,管柱總勢能不變,即:

    為了求得管柱的臨界載荷,管柱偏離平衡位置后,假設(shè)滿足兩端邊界位移約束的撓曲線函數(shù)為:

    式中:x為管柱橫向位移,m;y為管柱距上部固支處的軸向距離,m;A1為待定系數(shù);L為管柱長度,m。

    對式(2)進(jìn)行一階和二階求導(dǎo),得:

    由于底部受軸向壓力F的作用,引起管柱軸向位移的變化,底部軸向壓力所做的總功為:

    式中:F為管柱底部的軸向壓力,N;δ為軸向位移,m;α1為系數(shù)。

    在距離上部固支處的軸向距離y處,由于管柱自重的分布力,引起微小橫向位移為δx,所做的功為:

    式中:q為管柱自重引起的分布力,N/m。

    管柱受壓產(chǎn)生彎曲變形,增加的能量為:

    式中:E為管柱的彈性模量,GPa;I為管柱的橫截面慣性矩,m4;M為彎矩,N·m;β1為系數(shù)。

    將式(5)~(7)代入式(1),便可求得使底部受壓管柱保持穩(wěn)定的臨界失穩(wěn)長度方程[5]:

    式中:η為約束系數(shù),其中兩端為固支時取74.63,兩端為鉸支時取18.57。

    2 特征值有限元法

    管柱特征值屈曲分析是一種用于確定管柱結(jié)構(gòu)開始變得不穩(wěn)定時的臨界載荷和屈曲構(gòu)型的技術(shù),其基于下列兩個基本假設(shè):1)管柱材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是線性的,符合虎克定律;2)采用小位移。

    分析管柱結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性時,管柱屈曲的臨界載荷可表示為

    式中:PQ為作用載荷,它包括管柱長度引起的自重載荷和底部施加的軸向壓力;λ為管柱屈曲特征值因子。λ的計算公式為

    式中:K為管柱的彈性剛度矩陣,即小位移的線性剛度矩陣;S為管柱的幾何剛度矩陣,即初始應(yīng)力剛度矩陣;ψ為特征位移向量。

    特征值計算時要對所有的載荷作相應(yīng)的縮放,但某些載荷是常數(shù),如底部施加的軸向壓力,而某些載荷是可變的,如管柱長度變化時自重也跟著變化。為了確保從常數(shù)載荷得到的剛度在特征值求解時不被縮放,需在特征解上迭代,調(diào)整可變載荷,也就是反復(fù)調(diào)整管柱的長度,直到特征值等于或接近于1.0,此時計算出來的管柱長度即為臨界失穩(wěn)長度。

    3 臨界失穩(wěn)長度有限元計算

    3.1 工程實例

    某井采用尾管固井,尾管彈性模量為206GPa,長度為520.0m,外徑為127.0mm,壁厚為9.19mm,浮重為182.2N/m,尾管在鉆井液中的全部質(zhì)量由井底支撐,假設(shè)扶正器為固支。

    圖2給出了兩端固支管柱臨界失穩(wěn)長度隨底部軸向壓力的變化曲線,并與文獻(xiàn)[5]中的結(jié)果進(jìn)行比較。

    圖2 臨界失穩(wěn)長度隨底部軸向壓力變化曲線

    由圖2可見,底部軸向壓力與臨界失穩(wěn)長度呈非線性遞減關(guān)系。管柱靠近井底時,與文獻(xiàn)[5]中的結(jié)果完全吻合,管柱離井底越遠(yuǎn),與文獻(xiàn)[5]中的結(jié)果偏差越大,且小于文獻(xiàn)[5]中的結(jié)果。這是由于管柱遠(yuǎn)離井底時,相鄰扶正器的底部軸向壓力減小,導(dǎo)致對管柱屈曲的影響減小,扶正器的間距增加,導(dǎo)致管柱自重影響增大,使得相鄰扶正器間的管柱撓曲線發(fā)生了變化,因而采用本文的有限元方法計算管柱臨界失穩(wěn)長度更合理。而文獻(xiàn)[5]使用同一個撓曲線函數(shù)計算不同軸向壓力情況下的管柱臨界失穩(wěn)長度,與實際情況存在一定的偏差。

    3.2 無量綱臨界失穩(wěn)長度

    令管柱長度系數(shù)m=(EI/q)1/3,則管柱長度L、每一個失穩(wěn)段底部的軸向壓力Fd和臨界失穩(wěn)長度Lcr可表示為

    式中:ζ是管柱無量綱長度;γ是管柱無量綱臨界失穩(wěn)長度。文獻(xiàn)[6]和[7]將無量綱臨界載荷分別寫成 Q= γ3,k= γ3。

    兩端固支是指在扶正器支承處有彎矩?zé)o轉(zhuǎn)角,兩端鉸支是指在扶正器支承處有轉(zhuǎn)角無彎矩。顯然,井眼內(nèi)的管柱變形在扶正器支承處轉(zhuǎn)角非常有限,而彎矩隨管柱變形的增大而增大,因而管柱在扶正器支承處,既不是固支,也不是鉸支,而是介于固支和鉸支之間且以固支為主的一種約束狀態(tài)[5]。

    圖3 臨界失穩(wěn)長度隨底部軸向壓力的無量綱變化曲線

    在兩端固支和鉸支條件下,圖3給出了無量綱臨界失穩(wěn)長度隨底部無量綱壓力載荷的變化曲線,由圖可見,兩種約束條件對管柱臨界失穩(wěn)長度影響較大,無量綱臨界失穩(wěn)長度隨著底部軸向壓力的增加而逐漸減小。工程應(yīng)用中,管柱無量綱臨界失穩(wěn)長度應(yīng)介于固支臨界失穩(wěn)長度和鉸支臨界失穩(wěn)長度之間,且應(yīng)更接近于兩端固支臨界失穩(wěn)長度。得出無量綱臨界失穩(wěn)長度后,利用式(12),便可求出管柱的臨界失穩(wěn)長度值。

    4 結(jié)束語

    本文采用特征值屈曲的有限元法,計算得出的管柱臨界失穩(wěn)長度更合理,可用于石油行業(yè)中井下各種直井受壓管柱的臨界失穩(wěn)長度分析,對扶正器合理安放間距具有一定的指導(dǎo)意義。

    本文研究的管柱線性屈曲問題,處于管柱屈曲的初始階段,今后可考慮在管柱受井壁約束的條件下,采用特定的有限元法,進(jìn)行直井有重管柱非線性后屈曲研究,分析計算管柱正弦屈曲和螺旋屈曲的臨界失穩(wěn)長度及其臨界載荷。

    [1] Timoshenko S P.彈性穩(wěn)定理論[M].北京:科學(xué)出版社,1965.

    [2] Lubinski A,Althouse W S,Logan JL.Helical buckling of tubing sealed in packers[J].Journal of Petroleum Technology,1962,14(6):655-670.

    [3] 白家祉.應(yīng)用縱橫彎曲連續(xù)梁理論求解鉆具組合的受力與變形[C]//國際石油工程會議論文集.北京:石油出版社,1982:67-69.

    [4] 高國華,李琪,張建仁.管柱在垂直井眼中的屈曲分析[J].西安石油學(xué)院學(xué)報,1996,11(1):33-35.

    [5] 覃成錦,徐秉業(yè),高德利.垂直井中管桿柱的扶正器安放問題研究[J].石油鉆采工藝,2000,22(3):8-12.

    [6] 劉洋,楊永波,梁樞平.軸向均布載荷下壓桿穩(wěn)定問題的DQ解[J].力學(xué)與實踐,2005,27(2):44-47.

    [7] 李清祿,李世榮.受均布載荷壓桿后屈曲形態(tài)的數(shù)值計算[J].力學(xué)與實踐,2010,32(3):41-43.

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