均布扭矩作用下工字鋼梁的應(yīng)力計(jì)算

張鷺超

(現(xiàn)代建筑設(shè)計(jì)集團(tuán)-上海建筑設(shè)計(jì)院研究院有限公司 福建廈門 361009)

均布扭矩作用下工字鋼梁的應(yīng)力計(jì)算

張鷺超

(現(xiàn)代建筑設(shè)計(jì)集團(tuán)-上海建筑設(shè)計(jì)院研究院有限公司 福建廈門 361009)

論述工字鋼梁扭轉(zhuǎn)計(jì)算參數(shù)的基本原理，并給出了幾何參數(shù)的計(jì)算方法，作為對即將出版的《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》GB 50017—201X的一種補(bǔ)充，以便工程設(shè)計(jì)人員進(jìn)行計(jì)算。特別指出：絕大多數(shù)工程設(shè)計(jì)人員在計(jì)算開口截面扭轉(zhuǎn)時(shí)，均按自由扭轉(zhuǎn)計(jì)算，然而即便在允許自由翹曲的支座條件下，工字梁的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力也是屬于約束扭轉(zhuǎn)計(jì)算的一種。

扇性面積；雙力矩；翹曲；自由扭轉(zhuǎn)；約束扭轉(zhuǎn)；應(yīng)力計(jì)算

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1 概要

在即將出版的《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》GB 50017—201X中即文獻(xiàn)[1]，提出了受扭構(gòu)件的強(qiáng)度計(jì)算公式：

1.1 受純扭的實(shí)腹構(gòu)件，其抗彎強(qiáng)度可按下式計(jì)算：

(1)

式中B——構(gòu)件截面的雙力矩； ωn——為主扇性坐標(biāo)； Iω——扇性慣性矩。

1.2 受純扭的實(shí)腹構(gòu)件，其抗剪強(qiáng)度可按下式計(jì)算：

(2)

式中Tω——構(gòu)件截面的約束扭轉(zhuǎn)力矩； Tst——構(gòu)件截面的自由扭轉(zhuǎn)力矩；開口薄壁截面，不考慮這一項(xiàng)；

Sω——扇性靜矩；

t——腹板厚度；

A0——閉口截面中線所圍的面積。

然而在傳統(tǒng)的鋼結(jié)構(gòu)及力學(xué)相關(guān)課程中并沒有詳盡的介紹桿件在扭轉(zhuǎn)下的應(yīng)力計(jì)算。許多工程設(shè)計(jì)人員只懂得文獻(xiàn)[3]中關(guān)于自由扭轉(zhuǎn)時(shí)桿件的應(yīng)力計(jì)算方法。再加上文獻(xiàn)[2]、文獻(xiàn)[3]對開口截面均提及自由扭轉(zhuǎn)的計(jì)算方法，導(dǎo)致大部分工程技術(shù)人員認(rèn)為開口截面桿件可以按自由扭轉(zhuǎn)計(jì)算應(yīng)力。這是不正確的。開口截面的自由扭轉(zhuǎn)只是其扭轉(zhuǎn)計(jì)算的一部分而已，只是一種理論計(jì)算，實(shí)際上開口截面的自由扭矩并不等于截面的總扭矩。

因此可以認(rèn)為實(shí)際上絕大多數(shù)桿件為約束扭轉(zhuǎn)(首先不是閉合的等直徑圓桿)。因此出現(xiàn)了以自由扭轉(zhuǎn)下的桿件應(yīng)力計(jì)算代替約束扭轉(zhuǎn)下的桿件應(yīng)力計(jì)算，而自由扭轉(zhuǎn)只能用于圓形截面的等直徑桿件計(jì)算，所以這是不正確的。

文獻(xiàn)[2]詳細(xì)的介紹了桿件在各種條件下的扭轉(zhuǎn)計(jì)算，但沒有給出用于工程實(shí)踐可用的計(jì)算公式，本文從強(qiáng)度計(jì)算的角度，提出均布扭矩下工字鋼梁的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力具體計(jì)算公式。可作為對新規(guī)范的一種補(bǔ)充。

2 約束扭轉(zhuǎn)計(jì)算變量的計(jì)算

與自由扭轉(zhuǎn)顯著不同的是，約束扭轉(zhuǎn)應(yīng)力計(jì)算出現(xiàn)了雙力矩B、主扇性坐標(biāo)ωn、扇性慣性矩Iω等變量。以下將簡單介紹上述各個(gè)變量的幾何意義和計(jì)算方法。

扇性坐標(biāo)，又稱之為扇性面積，之所以稱之為坐標(biāo)是因?yàn)樗闹蹬c扇性極點(diǎn)和扇性零點(diǎn)的選取有關(guān)，選擇不同的扇性極點(diǎn)和扇性零點(diǎn)將得到不同的值，故稱之為坐標(biāo)。又之所以稱之為面積是因?yàn)樗牧烤V為長度的二次方，與面積是一致的。選擇適當(dāng)?shù)纳刃詷O點(diǎn)和扇性零點(diǎn)可以獲得主扇性面積即主扇性坐標(biāo)。

圖1 扇性面積計(jì)算微元圖

則曲線上任意一點(diǎn)N處的扇性面積為：

(2-1)

圖2 扇性面積計(jì)算幾何圖

根據(jù)式(2-1)可以得出：

(2-2)

一般情況下，在選定扇性極點(diǎn)、扇性零點(diǎn)的情況下，對截面簡單的桿件，往往以式(2-2)計(jì)算某點(diǎn)的扇性面積，因?yàn)榭梢员苊夥e分。

對于任意選定的扇性極點(diǎn)和扇性零點(diǎn)，文獻(xiàn)[2]稱之為輔助扇性極點(diǎn)和輔助扇性零點(diǎn)。對于約束扭轉(zhuǎn)計(jì)算，只有將扇性極點(diǎn)和扇性零點(diǎn)選擇在特殊的點(diǎn)上才能正確計(jì)算扭轉(zhuǎn)荷載下的截面軸力，及繞截面兩個(gè)正交坐標(biāo)下的彎矩。這里為簡單起見，不介紹符拉索夫理論，直接給出結(jié)論：工字梁主極點(diǎn)為截面的剪切中心，主零點(diǎn)為對稱軸與外輪廓線的交點(diǎn)。主極點(diǎn)和主零點(diǎn)下的扇性面積稱之為主扇性面積則計(jì)算公式如下：

圖3 單軸對稱工字鋼梁截面幾何參數(shù)

剪切中心O距離B點(diǎn)(主扇零點(diǎn))公式為：

(2-3)

截面的主扇慣性矩：

(2-4)

(2-4)量綱為長度的6次方。δ為桿件壁厚。注意積分的區(qū)域?yàn)槿孛妗?/p>

上述公式可在文獻(xiàn)[2]中查到，不過文獻(xiàn)[2]中(d2-αx)2為(d2-αx)，文獻(xiàn)中此處應(yīng)為作者筆誤。

與自由扭轉(zhuǎn)不同的是，約束扭轉(zhuǎn)將沿桿件長度方向引起正應(yīng)變，即約束翹曲，自由扭轉(zhuǎn)為自由翹曲。約束翹曲將引起截面正應(yīng)力：

(2-5)

圖4 單軸對稱工字梁ω(s)分布圖

截面的主扇靜面積矩：

(2-6)

量綱為長度的五次方，其分布圖為(圖5).

圖5 單軸對稱工字梁S(s)分布圖

3 桿件約束扭轉(zhuǎn)的微分方程及其解

根據(jù)文獻(xiàn)[2]約束扭轉(zhuǎn)桿件微分方程為：

E1Jωθ?′(z)-GJdθ′(z)=m(z)

(3-1)

方程(3-1)的解為

(3-2)

C1、C2、C3、C4為一組常數(shù)，根據(jù)邊界條件確定。

約束扭轉(zhuǎn)的邊界條件分為應(yīng)力邊界條件和位移邊界條件，其方程為：

桿端扭轉(zhuǎn)角為(3-2)

(3-3)

截面雙力矩為：

(3-4)

截面扭矩為：

(3-5)

將(3-1)、(3-2)、(3-3)、(3-4)聯(lián)立為矩陣：

(3-6)

設(shè)均布扭矩為均布荷載q在偏離距e下引起：m(z)=qe。則非齊次方程的特解為

(3-7)

4 滿足邊界條件的系數(shù)及截面應(yīng)力求解

Z=0端固定，Z=L端鉸接：

θ(0)=0、θ(l)=0

θ′(0)=0、B(l)=0

對于給定邊界條件的工字梁在均布扭矩作用下的計(jì)算過程如下：

由邊界條件根據(jù)本節(jié)邊界條件計(jì)算C1、C2、C3、C4。系數(shù)求解可以采用矩陣計(jì)算法，也可以自行推導(dǎo)出關(guān)于C1、C2、C3、C4的顯式解。

均布扭矩作用下，截面的雙力矩分布函數(shù)為

(4-1)

則截面的扭矩分布函數(shù)為

L(z)=GJd[C2+2z1z]

(4-2)

截面扭轉(zhuǎn)角分布函數(shù)為

(4-3)

截面的正應(yīng)力按下式求解：

(4-4)

σM(z,s)為彎曲正應(yīng)力，可根據(jù)文獻(xiàn)[3]求解。

開口截面的薄壁桿件約束扭轉(zhuǎn)截面上的剪應(yīng)力由兩部分組成。一部分是自由扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力τs；一部分是約束扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力τω。計(jì)算時(shí)首先將截面總扭矩分解為兩部分彎扭力矩Mω和自由扭轉(zhuǎn)扭矩H。量綱均為Nm。

L(z)=Mω(z)+H(z)

(4-5)

自由扭轉(zhuǎn)扭矩H又稱之為圣維南扭矩,其計(jì)算公式為：

H(z)=GJdθ′(z)

(4-6)

自由扭轉(zhuǎn)扭矩H引起的截面剪應(yīng)力可按文獻(xiàn)[3]中自由扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力計(jì)算：

(4-7)

δ為壁厚。

彎扭力矩Mω引起的截面剪應(yīng)力按下式計(jì)算：

(4-8)

5 自由扭轉(zhuǎn)與約束扭轉(zhuǎn)計(jì)算對比

在兩端簡支下(扭矩按兩端受扭固定)：如果完全按自由扭轉(zhuǎn)計(jì)算僅能得到截面的自由剪應(yīng)力，直接按(4-7)：

而豎向荷載引起的腹板中間的剪應(yīng)力僅為(按兩端簡支計(jì)算)

因此位于桿件支座處，截面腹板中間的最大總剪力為

τ1+τ2=112.9MPa

采用Q235鋼材即可滿足設(shè)計(jì)要求。

如同第一節(jié)所述，開口工字鋼的扭轉(zhuǎn)為約束扭轉(zhuǎn)，首先按按兩端翹曲約束為固定的支座計(jì)算扭轉(zhuǎn)應(yīng)力：

以本節(jié)條件計(jì)算：

Jω=5.655×1011mm6

圖6 兩端固定桿件，雙力矩B(z)

其中B(0)=B(4m)=2.484kNm2B(2m)=-1.1755kNm2

圖7 兩端固定桿件，沿桿長方向扭轉(zhuǎn)正應(yīng)力分布

其中σω(0m)=σω(4m)=82.6MPa

σω(2m)=-39.0MPa

圖8 兩端固定桿件，沿桿長方向截面總扭矩分布

其中L(0m)=-L(4m)=4kNm

圖9 兩端固定桿件，沿桿長方向截面自由扭矩分布

其中H(0m)=H(4m)=0kNm

H(1m)=0.254kNm

圣維南扭矩為零，即第一節(jié)的Tst——構(gòu)件截面的自由扭轉(zhuǎn)力矩；開口薄壁截面，不考慮這一項(xiàng)。規(guī)范的本意應(yīng)該是兩端固定梁支座處，從圖9可以看出 僅在支座處為零，規(guī)范未詳細(xì)注明，有些不妥。

因此支座：Mω(0m)=L(0m)=4kNm

截面B處剪應(yīng)力為

Sω(B點(diǎn))=1.127×107mm4

τω(0m,B點(diǎn))=6.6MPa

接下來將支座條件設(shè)為兩端允許自由翹曲的鉸接支座，其他條件仍按本節(jié)，則:

圖10 兩端鉸接桿件，雙力矩B(z)

其中B(0)=B(4m)=0kNm2

B(2m)=-2.705kNm2

圖11 兩端鉸接桿件，沿桿長方向扭轉(zhuǎn)正應(yīng)力分布

其中σω(0m)=σω(4m)=0MPa

σω(2m)=-89.9253MPa

圖12 兩端簡支桿件，沿桿長方向截面總扭矩分布

其中L(0m)=-L(4m)=4kNm

圖13 兩端鉸接桿件，沿桿長方向截面自由扭矩分布

其中H(0m)=-H(4m)=1.0435kNm

Sω(B點(diǎn))=1.127×107mm4

τω(0m,B點(diǎn))=4.9MPa

6 結(jié)論

通過這三個(gè)算例比較分析，可以得出以下結(jié)論：

(1)按約束扭轉(zhuǎn)計(jì)算的結(jié)果與自由扭轉(zhuǎn)計(jì)算結(jié)果截然相反，前者桿件將出現(xiàn)較大的正應(yīng)力，較小的剪應(yīng)力。而自由扭轉(zhuǎn)計(jì)算僅出現(xiàn)較大的剪應(yīng)力。

(2)即便按支座允許自由翹曲的鉸接計(jì)算，結(jié)果也是同1。

(3)開口截面在實(shí)踐中不存在完全的自由扭轉(zhuǎn)扭矩。自由扭轉(zhuǎn)扭矩只是一小部分。

(4)在工程實(shí)踐中，如不按約束扭轉(zhuǎn)計(jì)算，桿件將可能因正應(yīng)力強(qiáng)度不足而引起破壞。

(5)規(guī)范忽略開口截面的自由扭矩是因?yàn)槠鋽?shù)值較小，而不是為零。

[1]GB 50017—201X,鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范征求意見稿[S].

[2]包世華,周堅(jiān). 薄壁桿件結(jié)構(gòu)力學(xué)[M].北京：中國建筑工業(yè)出版社. 2006.

[3]孫訓(xùn)方,方孝淑,關(guān)來泰. 材料力學(xué)[M].北京：高等教育出版社. 1994.

Calculation of Steel I-beam Stress under the Action of Uniform Torque

ZHANGLuchao

(SHANGHAI INSTITUTE OF ARCHITECTURAL DESIGN&RESEARCH.XIAMEN BRANCH,Xiamen 361009)

By giving the calculation principle of calculation parameters on torsion steel I-beam and the calculation method of geometric parameters, this thesis can be a supplement to the forthcoming design code about Steel Structure design Code(GB50017-201X) for helping the designer work. It emphasizes that most engineers doing the calculation of the open section torsion according to free torsion calculation. However, even under the permission of free warping support condition, calculating-I-beam torsion stress is also a kind of restrained torsion calculation.

Sartorial area; Biomet; warpage; free torsion; restrained torsion; stress calculation

張鷺超(1978.2- )，男，國家一級注冊結(jié)構(gòu)工程師。

2015-05-26

TU391

A

1004-6135(2015)09-0101-05