性能退化與壽命數(shù)據(jù)融合的貝葉斯方法研究*

馬濤

(中國(guó)飛行試驗(yàn)研究院，陜西 西安 710089)

性能退化與壽命數(shù)據(jù)融合的貝葉斯方法研究*

馬濤

(中國(guó)飛行試驗(yàn)研究院，陜西 西安 710089)

針對(duì)高可靠性航空產(chǎn)品壽命失效數(shù)據(jù)樣本量小，傳統(tǒng)評(píng)估方法可信度低的難題，提出基于性能退化數(shù)據(jù)與壽命失效數(shù)據(jù)融合的可靠性評(píng)估方法。然后用失效機(jī)理分析、建模方法選擇、失效閥值確定、置信區(qū)間求解和數(shù)據(jù)融合5個(gè)關(guān)鍵步驟具體闡述了該方法。最后以飛機(jī)液壓泵為例，使用該方法進(jìn)行性能退化數(shù)據(jù)與壽命數(shù)據(jù)的融合計(jì)算。分析表明，該方法充分利用了性能數(shù)據(jù)和壽命數(shù)據(jù)，比傳統(tǒng)的方法更加合理，評(píng)估結(jié)果更加精確。

性能退化；貝葉斯；數(shù)據(jù)融合；參數(shù)估計(jì)

0 引言

由于科學(xué)技術(shù)的不斷進(jìn)步，研制、生產(chǎn)技術(shù)以及使用材料的不斷提高與改善，產(chǎn)品的可靠性越來(lái)越高，壽命越來(lái)越長(zhǎng)，相對(duì)短期內(nèi)無(wú)法獲取足夠的失效數(shù)據(jù)，使得通過(guò)傳統(tǒng)的可靠性分析技術(shù)對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行可靠性評(píng)估面臨困難[1]。產(chǎn)品在使用過(guò)程中的性能退化數(shù)據(jù)包含著大量的壽命信息，是可靠性分析一個(gè)豐富的信息源。鑒于此，針對(duì)傳統(tǒng)可靠性分析方法與實(shí)際工程應(yīng)用不相適應(yīng)的問(wèn)題，對(duì)基于性能退化數(shù)據(jù)的可靠性分析技術(shù)開(kāi)展研究，解決高可靠、長(zhǎng)壽命產(chǎn)品可靠性評(píng)估過(guò)程中性能退化數(shù)據(jù)與少量試驗(yàn)壽命數(shù)據(jù)相結(jié)合的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題[2]。

在性能退化數(shù)據(jù)的可靠性建模方面，目前國(guó)內(nèi)、外有很多學(xué)者已開(kāi)始進(jìn)行可靠性評(píng)估的研究。主要集中在基于性能退化關(guān)系的壽命時(shí)間分布、使用仿真的方法得到了基于退化數(shù)據(jù)可靠性預(yù)計(jì)的點(diǎn)估計(jì)和置信區(qū)間、使用退化模型預(yù)計(jì)了球軸承、滾珠軸承的壽命時(shí)間、集成邏輯門可靠性等方面，并在一些實(shí)際問(wèn)題中取得了應(yīng)用[3-5]。

在基于貝葉斯方法的可靠性建模方面，特別是針對(duì)小樣本情況下的可靠性評(píng)估問(wèn)題，目前的研究都比較熱門。并且，已經(jīng)出版了一批對(duì)貝葉斯方法系統(tǒng)論述的經(jīng)典論著和學(xué)術(shù)論文[6-9]。

但是基于性能退化數(shù)據(jù)與壽命失效數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)融合方法的研究仍然處于探索階段，缺乏有效綜合性能與壽命數(shù)據(jù)的方法[10]。文獻(xiàn)[11]充分利用失效物理試驗(yàn)中的性能數(shù)據(jù)和少量的壽命數(shù)據(jù)來(lái)進(jìn)行動(dòng)量輪的可靠性評(píng)估，能有效提高可靠性評(píng)估的精度。但該模型只解決了從退化量分布的角度進(jìn)行貝葉斯數(shù)據(jù)融合的方法。而針對(duì)性能退化軌跡的數(shù)據(jù)與壽命數(shù)據(jù)融合的問(wèn)題不能給出良好的解決方案[12]。

本文基于性能退化軌跡進(jìn)行分析，結(jié)合少量壽命數(shù)據(jù)，利用貝葉斯方法進(jìn)行數(shù)據(jù)融合，找到了性能退化與壽命失效數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)融合方法。

1 基于性能退化數(shù)據(jù)的可靠性建模

在現(xiàn)場(chǎng)數(shù)據(jù)中，部件投入使用的時(shí)間不同；觀測(cè)者記錄數(shù)據(jù)時(shí)除故障時(shí)間外還有一些部件統(tǒng)計(jì)之時(shí)仍在完好地工作，形成了現(xiàn)場(chǎng)數(shù)據(jù)隨機(jī)截尾的特性[1]。同時(shí)，由于科學(xué)技術(shù)進(jìn)步，航空部件的可靠性越來(lái)越高，壽命越來(lái)越長(zhǎng)，故障信息樣本越來(lái)越少，現(xiàn)場(chǎng)的隨機(jī)截尾數(shù)據(jù)面臨越來(lái)越多小樣本問(wèn)題。

因此，在處理小樣本的隨機(jī)截尾數(shù)據(jù)時(shí)，把問(wèn)題分為2類：一類針對(duì)樣本量大于10的情況，探索小樣本下完全刪失數(shù)據(jù)估計(jì)的最佳方法；另一類針對(duì)樣本量不足10的隨機(jī)刪失數(shù)據(jù)，采用性能退化數(shù)據(jù)與壽命數(shù)據(jù)相融合的貝葉斯估計(jì)。其具體流程如圖1所示，主要有失效機(jī)理分析、建模方法選擇、失效閥值確定、置信區(qū)間求解和數(shù)據(jù)融合5個(gè)關(guān)鍵步驟，具體如下。

1.1 失效機(jī)理分析

失效機(jī)理的分析是研究性能退化數(shù)據(jù)的首要工作。失效機(jī)理是引起故障的物理、化學(xué)和材料特性等變化的內(nèi)在原因，收集和分析試驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)產(chǎn)品故障原因?qū)⒂兄趯?duì)失效機(jī)理的分析和驗(yàn)證，也是為了深入分析故障產(chǎn)生的原因和規(guī)律。不同部件在不同的環(huán)境下工作的失效機(jī)理并不一樣，也就可以選擇不同的性能退化數(shù)據(jù)來(lái)分析產(chǎn)品的可靠性。

當(dāng)選擇好性能參數(shù)后，就可以設(shè)計(jì)加速試驗(yàn)方案來(lái)獲取相應(yīng)的性能退化數(shù)據(jù)，并對(duì)其進(jìn)行壽命敏感性分析。敏感性分析的主要目的是選取對(duì)壽命最敏感的性能參數(shù)，以利于下一步更好得分析其性能退化數(shù)據(jù)。

1.2 建模方法的選擇

關(guān)于建模方法的選擇，可以根據(jù)不同的情況作出不同的選擇，常見(jiàn)的方法主要有性能參數(shù)的分布模型、性能退化軌跡模型與時(shí)間序列預(yù)測(cè)模型3類。

性能參數(shù)的分布模型主要考慮了正態(tài)分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布和威布爾分布。例如，對(duì)于正態(tài)分布，認(rèn)為其性能服從如下：

Y(t)～N(α-βt,σ2)，

(1)

常見(jiàn)的性能退化軌跡模型有線性退化模型、指數(shù)退化模型、冪退化模型、對(duì)數(shù)退化模型和Lloyd-Lipow退化模型等。

時(shí)間序列預(yù)測(cè)模型主要考慮了單指數(shù)平滑(single exponential smoothing，SES)方法。SES是指下一期的預(yù)測(cè)等于前一期的預(yù)測(cè)加上前一期的預(yù)測(cè)誤差的一個(gè)調(diào)整，調(diào)整系數(shù)為α。公式如下：

Yt+1=αXt+(1-α)Yt,

(2)

式中：Xt為觀測(cè)值；Yt為第t年的預(yù)測(cè)值；Yt+1為預(yù)測(cè)值；α為權(quán)重，取值為0～1之間。當(dāng)t=1時(shí)，直接采用前一年度的觀測(cè)值作為本年度的預(yù)測(cè)值，即Y2=X1。

值得注意的是平滑常數(shù)α的選取，一般要運(yùn)用最小均方差的原則，即在0～1間選取不同的值進(jìn)行預(yù)測(cè)，分別計(jì)算最小均方差，取其中最小均方差所對(duì)應(yīng)的平滑常數(shù)作為正式預(yù)測(cè)的平滑常數(shù)α。

圖1 基于性能退化數(shù)據(jù)與壽命數(shù)據(jù)融合方法流程Fig.1 Procedure of fusion method based on performance degradation and life data

1.3 失效閾值的確定

退化失效分析中，產(chǎn)品發(fā)生失效與否是通過(guò)給定的失效閾值進(jìn)行判定的，當(dāng)退化量達(dá)到失效閾值時(shí)產(chǎn)品不再能滿足其額定功能要求，即發(fā)生失效。一般情況下，失效閾值是給定的一個(gè)固定值，即確定性的失效閾值，目前絕大部分的退化失效研究基本上是針對(duì)確定性失效閾值的。然而，盡管這種定義及其產(chǎn)生的單點(diǎn)型失效標(biāo)準(zhǔn)簡(jiǎn)單實(shí)用，但有時(shí)卻不盡合理。實(shí)際上，某些產(chǎn)品發(fā)生退化失效與否無(wú)法用一個(gè)確定的量進(jìn)行判定，即退化失效閾值是一個(gè)確定的值，而是一個(gè)隨機(jī)變量，因此也有必要對(duì)隨機(jī)失效閾值下的退化失效問(wèn)題進(jìn)行研究。

一個(gè)典型的隨機(jī)失效閾值問(wèn)題是應(yīng)力-強(qiáng)度干涉失效模型，當(dāng)產(chǎn)品所受應(yīng)力超過(guò)產(chǎn)品的強(qiáng)度是時(shí)候，產(chǎn)品發(fā)生失效。產(chǎn)品應(yīng)力是一個(gè)隨機(jī)變量，該應(yīng)力實(shí)質(zhì)上就是產(chǎn)品的失效閾值。另外，如果退化量初始值是隨機(jī)變量時(shí)，相對(duì)失效閾值實(shí)際上也是一種隨機(jī)失效閾值。

1.4 置信區(qū)間的求解

自助法即是由Bootstrap在1979年首先提出的，是一種再抽樣的置信區(qū)間求解統(tǒng)計(jì)方法。其主要思路為：

(1) 假定觀察值便是總體;

(2) 由這一假定的總體進(jìn)行有放回的樣本，即再抽樣;

(3) 重復(fù)步驟(2)，直到抽取到n個(gè)自助樣本;

(4) 重復(fù)步驟(2)與(3)，一直抽樣B組。

通過(guò)以上步驟即可初步計(jì)算出可靠性參數(shù)，然后再使用Bootstrap方法擴(kuò)充樣本，求出可靠性參數(shù)的置信區(qū)間與貝葉斯驗(yàn)前分布。

1.5 數(shù)據(jù)融合

貝葉斯可靠性評(píng)估是一種綜合經(jīng)驗(yàn)信息進(jìn)行可靠性評(píng)估的方法。貝葉斯方法假設(shè)可靠性指標(biāo)有一個(gè)“先驗(yàn)分布”，這個(gè)先驗(yàn)分布一般根據(jù)歷史資料和經(jīng)驗(yàn)信息等確定。本文以威布爾分布估算可靠度舉例說(shuō)明。設(shè)額定時(shí)間τ下的可靠度為R0，則產(chǎn)品壽命分布為

(3)

式中：m為威布爾分布的形狀參數(shù)。

假設(shè)產(chǎn)品性能參數(shù)滿足正則條件則產(chǎn)品的可靠度函數(shù)為

R(t)=1-F(t)=P(Y(t)

(4)

式中：Y(t)即為公式(1)中的性能參數(shù)隨時(shí)間變化函數(shù)；L為失效閾值，其即可為固定值，也可以為服從一定分布的隨機(jī)值。

有了可靠度函數(shù)R(t)之后就可以利用Bootstrap方法獲取額定時(shí)間τ下的可靠度密度π(R0)。該密度可以作為壽命分布中R0的驗(yàn)前分布。

基于壽命失效數(shù)據(jù)，假設(shè)其試驗(yàn)的截尾時(shí)間為td(d∈S)，其中S為無(wú)失效試驗(yàn)的集合,失效的截尾時(shí)間為tf(f∈F)，F(xiàn)為失效試驗(yàn)的集合，則似然函數(shù)為

(5)

由專家經(jīng)驗(yàn)，形狀參數(shù)m的驗(yàn)前概率密度可取均勻分布，即

π(m)=1/(m1-m2)，m1≤m≤m2.

(6)

于是，在得R0和m的驗(yàn)前分布之后，按貝葉斯理論，可得R0和m的聯(lián)合驗(yàn)后分布為

(7)

(8)

(9)

2 算例分析

液壓泵是飛機(jī)液壓傳動(dòng)與控制系統(tǒng)的能源附件，用來(lái)向系統(tǒng)提供具有一定壓力和流量的油液，把機(jī)械能轉(zhuǎn)化為壓力能。影響液壓泵工作性能的因素中除了一些偶然因素外，其主要失效模式及失效機(jī)理為磨損型。綜合研究表明，選擇液壓泵的輸出流量或者高溫小流量作為液壓泵的主要性能退化特征參數(shù)，高溫小流量的退化最為明顯，是液壓泵首選的性能退化參數(shù)，本研究是以高溫小流量作為液壓泵性能退化參數(shù)。

某型飛機(jī)液壓泵壽命數(shù)據(jù)主要有1 423，1 687，869+，759+，1 527+(帶+的表示數(shù)據(jù)有刪失)。僅根據(jù)上述5個(gè)壽命數(shù)據(jù)不可能用經(jīng)典方法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，采用本文用基于性能退化數(shù)據(jù)與壽命失效數(shù)據(jù)進(jìn)行綜合評(píng)定。

將以上測(cè)得的數(shù)據(jù)輸入程序中，將性能退化數(shù)據(jù)與五大模型相擬合，結(jié)果顯示液壓泵性能退化數(shù)據(jù)與線性退化模型擬合程度最高，即yj=ωjtj+λj是液壓泵最合適的退化模型。各樣品的退化軌跡參數(shù)如表1所示。

表1 樣品退化參數(shù)Table 1 Degradation parameter of sample

則t時(shí)刻該液壓泵的失效概率為

F(t)=P(T

當(dāng)t=1 200 h時(shí)，代入計(jì)算結(jié)果，則此時(shí)液壓泵的可靠度為

R0=1-F(t)=0.851 6.

同時(shí)也可計(jì)算出用性能退化軌跡模型得出液壓泵可靠度曲線如圖2所示。

圖2 液壓泵可靠度曲線Fig.2 Reliability growth curve of fluid pump bootstrap

根據(jù)上述原理，基于自助法利用表1中的數(shù)據(jù)可以計(jì)算出1 000個(gè)R0，其柱狀圖如圖3所示。

圖3 基于自助法的可靠度直方圖Fig.3 Reliability histogram based on bootstrap

對(duì)直方圖進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合，發(fā)現(xiàn)其與正態(tài)分布擬合得最好，通過(guò)計(jì)算可知R0的概率密度函數(shù)為N(0.857 1,0.032)，即π(R0)～N(0.857 1,0.032)。

另外，由實(shí)際經(jīng)驗(yàn)可得，液壓泵的壽命分布數(shù)據(jù)服從威布爾分布，且對(duì)于形狀參數(shù)m，認(rèn)為其服從均勻分布，其中m1和m2由專家經(jīng)驗(yàn)確定得到，認(rèn)為m1=1，m2=2,即π(m)～μ(1,2)。

計(jì)算可得，t=1 200 h時(shí)，其可靠度為

3 結(jié)束語(yǔ)

在處理小樣本的隨機(jī)截尾數(shù)據(jù)時(shí)，本文針對(duì)極小樣本量的情況下傳統(tǒng)可靠性評(píng)估方法可信度低的問(wèn)題，提出了一種性能退化數(shù)據(jù)與壽命數(shù)據(jù)融合的貝葉斯參數(shù)估計(jì)方法，并詳細(xì)介紹了該方法使用中的五個(gè)關(guān)鍵步驟。最后以飛機(jī)液壓泵為例，用該方法進(jìn)行可靠性評(píng)估。本文的計(jì)算表明：

(1) 飛機(jī)液壓泵的高溫小流量退化數(shù)據(jù)與線性模型擬合最好。并且，當(dāng)工作時(shí)間在1 000 h以內(nèi)時(shí)，其可靠度很高，但在1 000～1 600 h之內(nèi)，其可靠度迅速下降，直至趨向于0。

(2) 基于性能退化數(shù)據(jù)與壽命失效數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)融合方法充分利用了性能數(shù)據(jù)和壽命數(shù)據(jù)，比傳統(tǒng)的方法更加合理，評(píng)估結(jié)果更加精確。

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Research on Bayes Parameter Evaluation Based on Performance Degradation and Life Data Fusion

MA Tao

(Chinese Flight Test Establishment，Shaanxi Xi’an 710089，China)

Aiming at the problem that the life failure data of high reliability aviation product is short, and the reliability of traditional evaluation way is low, the data fusion algorithm based on performance degradation data and life failure data is put forward to evaluate the reliability. Then the way is described by five critical steps, namely analysis of failure mechanism, selection for ways building models, the failure threshold selection, confidence interval solving, and the data fusion. In the end, the hydraulic pump on airplane is taken as an example to use this method to calculate the performance degradation data and life data. The results taking full advantage of performance data and life data show that this way is more reasonable and accurate than traditional ways.

performance degradation; Bayes; data fusion; parameter evaluation

2014-08-01；

2014-09-26

十二五國(guó)防技術(shù)基礎(chǔ)科研項(xiàng)目(Z052013B004)

馬濤(1975-)，男，安徽泗縣人。高工，碩士，主要研究方向?yàn)镽MS評(píng)估與驗(yàn)證。

通信地址：710089 陜西省西安市73信箱飛行部可靠性研究中心 E-mail：zjsaw@sina.cn

10.3969/j.issn.1009-086x.2015.04.028

V37；O212.8

A

1009-086X(2015)-04-0166-06