基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的Braess悖論現(xiàn)象

劉 巍，曾慶山

（鄭州大學(xué) 電氣工程學(xué)院，河南 鄭州450001）

0 引 言

Braess悖論是城市交通中一個(gè)看似矛盾的現(xiàn)象，其理論基礎(chǔ)是博弈論中的納什均衡［1］，即每個(gè)人的策略都是對(duì)其他參與人策略的最優(yōu)反應(yīng)。在交通網(wǎng)絡(luò)中，由于每個(gè)人都不考慮自己的選擇對(duì)其他出行者的影響，使得即使增加道路，交通延滯也不會(huì)減少，反而增加了出行者的出行時(shí)間。若增加道路后，城市交通系統(tǒng)總阻抗沒(méi)有降低，則新增道路無(wú)意義。因此，在城市道路建設(shè)中應(yīng)盡量避免Braess悖論現(xiàn)象的發(fā)生。

目前對(duì)于城市交通中的Braess悖論現(xiàn)象的研究大多局限于簡(jiǎn)單的交通網(wǎng)絡(luò)模型［2－7］，而在復(fù)雜城市交通網(wǎng)絡(luò)中，存在大量路段、交叉路口以及居民起訖點(diǎn) （origin destination，O－D），不同起訖點(diǎn)間的居民有大量可選出行路徑，且居民的出行行為互相影響。路段流量、阻抗隨著居民出行行為的改變而變化，任一路段阻抗或起訖點(diǎn)間居民出行行為的改變均會(huì)對(duì)整個(gè)網(wǎng)絡(luò)造成影響。本文根據(jù)城市交通網(wǎng)絡(luò)的特點(diǎn)，應(yīng)用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論建立雙層城市交通網(wǎng)絡(luò)，并依據(jù)Braess悖論現(xiàn)象的成因?qū)Τ鞘薪煌ňW(wǎng)絡(luò)進(jìn)行交通配流，同時(shí)分析路段實(shí)際通行能力、居民起訖點(diǎn)及新增道路對(duì)城市交通網(wǎng)絡(luò)的影響，確定出造成Braess悖論現(xiàn)象的路段，給出改善城市交通的方案。

1 城市交通網(wǎng)絡(luò)模型

本文基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論利用MATLAB建立一雙層城市交通網(wǎng)絡(luò)模型，下層網(wǎng)絡(luò)為n×n網(wǎng)格的城市道路網(wǎng)絡(luò)，上層為居民出行網(wǎng)絡(luò)。

考慮到城市道路網(wǎng)絡(luò)具有無(wú)標(biāo)度性和流量集中性［8，9］，且居民往往集中在公園、商城、火車(chē)站等地，故居民出行網(wǎng)絡(luò)采用無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)。

雙層城市交通網(wǎng)絡(luò)模型如圖1所示。

圖1 雙層城市交通網(wǎng)絡(luò)模型

虛線為城市道路網(wǎng)絡(luò)，其為一5×5的網(wǎng)格，虛線為路段，兩虛線交叉處為交叉路口。該網(wǎng)絡(luò)具有25個(gè)交叉路口及40條道路。本文用G｛J，L｝表示城市道路網(wǎng)絡(luò)，其中J為交叉口集合，L為路段集合。

雙劃線為居民出行網(wǎng)絡(luò)，其為一含10個(gè)節(jié)點(diǎn)、15條邊的無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)。每個(gè)節(jié)點(diǎn)的度至少為1，即至少有一個(gè)邊經(jīng)過(guò)該點(diǎn)，設(shè)定居民只能沿網(wǎng)格出行。為方便計(jì)算，居民出行點(diǎn)及目的地均設(shè)定在交叉路口處。用H｛B，E｝表示居民出行網(wǎng)絡(luò)，其中B為O－D對(duì)端點(diǎn)的集合，E為任意O－D對(duì)間邊的集合。為方便觀察，設(shè)定在所研究時(shí)間段內(nèi)所有O－D對(duì)間的流量均為1。

2 交通阻抗

交通阻抗是指交通網(wǎng)絡(luò)上路段或路徑之間的運(yùn)行距離、時(shí)間、費(fèi)用、舒適度，或這些因素的綜合［10］。不同交通網(wǎng)絡(luò)的阻抗隨關(guān)注度不同而有所側(cè)重。

交通阻抗包括路段阻抗和節(jié)點(diǎn)阻抗兩部分。

2.1 路段阻抗

用路段走行時(shí)間表示路段阻抗，采用美國(guó)公路局開(kāi)發(fā)的BPR函數(shù)，其形式為

式中：tij（0）——路段 （i，j）上的車(chē)輛平均自由走行時(shí)間，即路段上流量為零時(shí)車(chē)輛自由形式所需的時(shí)間；eij——路段 （i，j）的實(shí)際通行能力，即單位時(shí)間內(nèi)可通過(guò)的最大車(chē)輛數(shù)；α、β為模型參數(shù)，一般的：α＝0.15、β＝4；Qij為路段 （i，j）上的車(chē)流量。

2.2 節(jié)點(diǎn)阻抗

節(jié)點(diǎn)阻抗為車(chē)輛在交叉路口花費(fèi)的時(shí)間。城市交通網(wǎng)絡(luò)中，由于交叉口多種多樣，導(dǎo)致了其計(jì)算方法各異。

為方便計(jì)算，設(shè)定各個(gè)交叉路口的阻抗均相等，并將其阻抗計(jì)入到與之相連的路段上。

2.3 路徑阻抗

O－D對(duì)間的路徑阻抗即為連接O－D對(duì)的最短路徑上的所有路段阻抗與節(jié)點(diǎn)阻抗之和。其可用圖論中的經(jīng)典算法Dijkstra算法求得。

在傳統(tǒng)Dijkstra算法中，每次更新已識(shí)別點(diǎn)集都需要計(jì)算所有未識(shí)別點(diǎn)與起始點(diǎn)間的距離，隨著城市道路網(wǎng)絡(luò)網(wǎng)格數(shù)的增加，網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)大幅增加，采用傳統(tǒng)Dijkstra算法的運(yùn)行時(shí)間也會(huì)大幅增加。考慮到城市交通網(wǎng)絡(luò)中，絕大多數(shù)已識(shí)別點(diǎn)最多與3個(gè)未識(shí)別點(diǎn)直接相連，在路段阻抗差距不大時(shí)，搜索范圍將在以起始點(diǎn)為中心的網(wǎng)格上逐步向外擴(kuò)散，本文在原始Dijkstra算法的基礎(chǔ)上新建一鄰點(diǎn)表，該表中包含所有與已識(shí)別點(diǎn)直接相連的未識(shí)別點(diǎn)。新算法步驟如下：

（1）設(shè)初始節(jié)點(diǎn)為s，終止節(jié)點(diǎn)為m，J為網(wǎng)絡(luò)所有節(jié)點(diǎn)的集合，P為網(wǎng)絡(luò)已識(shí)別點(diǎn)的集合，U為網(wǎng)絡(luò)中與任意已識(shí)別點(diǎn)直接相連的點(diǎn)的集合。對(duì)任意節(jié)點(diǎn)v∈J－P，D（v）為節(jié)點(diǎn)v到節(jié)點(diǎn)s的路徑阻抗。

初始化：P＝ ｛s｝，U＝ ｛s1，s2…sn｝，s1，s2…sn為與節(jié)點(diǎn)s直接相連的點(diǎn)

從集合U中尋找一節(jié)點(diǎn)w，其D（w）為最小，將節(jié)點(diǎn)w加入到集合P中，從集合U中刪除節(jié)點(diǎn)w，并將w的所有不在集合U、P中的鄰點(diǎn)加入到集合U中。D（w）計(jì)算規(guī)則如下

（3）判斷節(jié)點(diǎn)m是否在集合P中，若在，結(jié)束運(yùn)算，若不在，重復(fù)步驟 （2）。

表1為計(jì)算相同兩點(diǎn)間阻抗時(shí)，不同算法的運(yùn)行時(shí)間，可以看出，針對(duì)城市交通網(wǎng)絡(luò)，改進(jìn)Dijkstra算法運(yùn)行速度有了明顯提高。

表1 兩種算法的運(yùn)算速度／s

2.4 網(wǎng)絡(luò)總阻抗

交通網(wǎng)絡(luò)的總阻抗為網(wǎng)絡(luò)上的總行駛時(shí)間，可用下式計(jì)算

式中：TSC——網(wǎng)絡(luò)總阻抗；Qij——路段 （i，j）上的流量；tij——路段 （i，j）上的阻抗函數(shù)。

網(wǎng)絡(luò)總阻抗是判斷交通網(wǎng)絡(luò)是否出現(xiàn)Braess悖論現(xiàn)象的重要指標(biāo)。

3 復(fù)雜交通網(wǎng)絡(luò)上用戶(hù)平衡配流

交通分配是指將交通需求按一定的擇路原則分配到交通網(wǎng)絡(luò)上，主要有兩種分配模型［11］：用戶(hù)平衡配流模型（UE配流模型）和系統(tǒng)最優(yōu)配流模型 （SO配流模型）。

用戶(hù)平衡配流模型中，每個(gè)人都力圖使自己的出行時(shí)間最小，系統(tǒng)最優(yōu)配流模型則力圖使系統(tǒng)總出行時(shí)間最小。

因Braess悖論實(shí)質(zhì)就是UE分配下的各個(gè)出行者間的不合作性，即每個(gè)人都力圖使自己的出行時(shí)間最短，而不考慮自己的選擇對(duì)他人的影響，故本文采用UE配流模型。

Wardrop平衡配流原則描述如下：在起止點(diǎn)間所有可供選擇的路線中，使用者所利用的各條路線上的出行費(fèi)用全都相等，而且不大于未利用路線上的出行費(fèi)用。

1956年Beckmann等學(xué)者提出了滿足Wardrop準(zhǔn)則的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型，該模型如下

式中：tij——路段 （i，j）上的費(fèi)用；qij——路段 （i，j）上的流量；frsk——O－D對(duì)r－s之間路徑k 上的流量；xrs——所研究時(shí)間段O－D對(duì)r－s之間的交通需求量；為若路段 （i，j）在O－D對(duì)r－s之間的路徑k上，其值為1，否則為0。

基于上述數(shù)學(xué)規(guī)劃模型采用Frank－Wolfe方法利用MATLAB對(duì)雙層城市網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行用戶(hù)平衡配流［12］，步驟如下：

（1）初始化，q0ij令路段流量q0ij＝0，采用BPR函數(shù)計(jì)算路段阻抗t0ij＝tij（q0ij），用 “全有全無(wú)”法將所有O－D對(duì)間的流量一次性加載到城市道路上，得到新的道路流量q1 ij，令迭代次數(shù)n＝1；

（2）更新路段阻抗，令tn ij＝tij（qn ij），對(duì)城市道路重新進(jìn)行一次 “全有全無(wú)”交通流分配，得到一組附加流量pn ij；

（3）解方程

求得迭代步長(zhǎng)αn，確定新的迭代點(diǎn)

（4）若滿足

ε＞0為誤差限值，則qn＋1 ij為平衡解，計(jì)算結(jié)束；否則，令n＝n＋1，返回步驟 （2）。

本文對(duì)圖1所示雙層城市交通網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行用戶(hù)平衡配流。

為方便觀察，對(duì)所有路段 （i，j），令tij（0）＝1，eij＝5，對(duì)所有O－D對(duì)r－s，令xrs＝1。

進(jìn)行用戶(hù)平衡配流后的城市交通網(wǎng)絡(luò)如圖2所示。實(shí)線為道路流量網(wǎng)絡(luò)，其中路段流量越大，線條越粗。系統(tǒng)總阻抗為40.2619。

圖2 進(jìn)行用戶(hù)均衡配流后的城市交通網(wǎng)絡(luò)

本文采用G1（J1，L1）表示道路流量網(wǎng)絡(luò)，道路流量網(wǎng)絡(luò)為城市道路網(wǎng)絡(luò)中刪除流量為0的路段及節(jié)點(diǎn)后的網(wǎng)絡(luò)。

4 復(fù)雜交通網(wǎng)絡(luò)上的Braess悖論現(xiàn)象

通過(guò)查詢(xún)城市道路網(wǎng)絡(luò)中是否存在無(wú)意義的道路來(lái)判斷城市交通網(wǎng)絡(luò)中是否存在Braess悖論現(xiàn)象。

在對(duì)原始城市交通網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行用戶(hù)平衡配流后，依次查詢(xún)流量大于0的路段對(duì)城市交通的影響，若刪除該道路后，系統(tǒng)總阻抗并未增大，則該道路無(wú)意義。

在圖2所示流量道路網(wǎng)絡(luò)中，刪除任一道路，系統(tǒng)總阻抗均會(huì)增加，即該城市交通網(wǎng)絡(luò)并不存在Braess悖論現(xiàn)象。

分別討論改變路段實(shí)際通行能力、新增居民起訖點(diǎn)或新增路段的情況下的Braess悖論現(xiàn)象。

4.1 改變路段實(shí)際通行能力

在城市交通網(wǎng)絡(luò)中，經(jīng)常需要通過(guò)拓寬城市道路以改善交通狀況，本文研究城市交通網(wǎng)絡(luò)中路段實(shí)際通行能力發(fā)生改變時(shí)的Braess悖論現(xiàn)象。

對(duì)所有流量大于0的路段 （i，j），依次令其道路通行能力eij＝10，即增強(qiáng)路段的通行能力。對(duì)圖1所示城市交通網(wǎng)絡(luò)重新進(jìn)行用戶(hù)平衡配流，計(jì)算系統(tǒng)總阻抗。

通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)，存在5個(gè)方案，使得增強(qiáng)某路段通行能力后，系統(tǒng)總阻抗并未增加，其中，當(dāng)增強(qiáng)點(diǎn) （2，1）與 （2，2）間的路段通行能力時(shí)，系統(tǒng)總阻抗最高，為40.2768。

令點(diǎn) （2，1）與 （2，2）間的路段通行能力e在區(qū)間［1，20］內(nèi)變化，通過(guò)進(jìn)一步的計(jì)算發(fā)現(xiàn)，當(dāng)1≤e≤5或e≥6時(shí)，系統(tǒng)總阻抗隨著e的增大而降低。其中當(dāng)e＝6時(shí)，系統(tǒng)總阻抗為40.2789；當(dāng)e＝12時(shí)，系統(tǒng)總阻抗降到40.2592，小于原系統(tǒng)阻抗40.2619，而后隨著e的增大系統(tǒng)總阻抗基本保持不變。

由上述結(jié)果可以看出，在城市交通網(wǎng)絡(luò)中，增強(qiáng)路段通行能力未必能夠有效的緩解交通壓力，有時(shí)甚至?xí)龃笙到y(tǒng)總阻抗。在城市交通網(wǎng)絡(luò)中，選擇合適而非更大的路段通行能力能夠更有效的改善城市交通。

4.2 新增居民起訖點(diǎn)

公園、居民區(qū)、醫(yī)院、學(xué)校的建立會(huì)導(dǎo)致新的居民起訖點(diǎn)的出現(xiàn)，產(chǎn)生新的O－D對(duì)，使得城市交通網(wǎng)絡(luò)發(fā)生改變。

在圖1所示雙層城市交通網(wǎng)絡(luò)上，新增一居民出行點(diǎn)（2，2），并將該點(diǎn)以0.33的概率與其它居民出行點(diǎn)相連，生成一含11個(gè)節(jié)點(diǎn)，19條邊的新的居民出行網(wǎng)絡(luò)。

新的城市交通網(wǎng)絡(luò)如圖3所示，圖中虛線為城市道路網(wǎng)絡(luò)、實(shí)線為道路流量網(wǎng)絡(luò)、雙劃線為居民出行網(wǎng)絡(luò)。系統(tǒng)總阻抗為49.6153。

圖3 增加居民出行點(diǎn)后的城市交通網(wǎng)絡(luò)

將圖3與圖2對(duì)比，可以看出，新增居民出行點(diǎn) （2，2）后，在用戶(hù)平衡配流下，節(jié)點(diǎn) （1，3）、（2，3）間的路段反而不再被使用。這是由于新的居民出行點(diǎn)的出現(xiàn)使得部分路段的阻抗增大，進(jìn)而使部分O－D對(duì)之間的最短路徑阻抗增大，該O－D對(duì)上的出行者將不再沿該路徑出行，使得該路徑上的路段流量受到影響，便出現(xiàn)了上述新的居民出行點(diǎn)的出現(xiàn)反而導(dǎo)致了原始路段不再被使用的現(xiàn)象。

若刪除G1中的任意路段 （i，j）后，居民可沿城市道路網(wǎng)絡(luò)G中的除 （i，j）外的路段出行，則無(wú)意義的路段數(shù)為6，即存在6個(gè)方案，使得刪除城市交通網(wǎng)絡(luò)中某一路段后，系統(tǒng)總阻抗并未增加。其中當(dāng)刪除點(diǎn) （3，4）與（3，5）間的路段時(shí)，系統(tǒng)總阻抗最低，為49.5145，同時(shí)刪除該路段后，部分流量將重新分配到節(jié)點(diǎn) （1，3）、（2，3）間的路段上。

若刪除G1中的任意路段 （i，j）后，居民僅能沿G1中剩余路段出行，則無(wú)意義的路段數(shù)為6。其中當(dāng)刪除點(diǎn)（3，3）與 （4，3）間 的 路 段 時(shí)，系統(tǒng) 總 阻 抗 最 低，為49.5313。

通過(guò)上述計(jì)算可知，新的居民出行點(diǎn)的出現(xiàn)可能會(huì)導(dǎo)致原本被使用的路段不再被使用，同時(shí)亦可能會(huì)引起B(yǎng)raess悖論現(xiàn)象的出現(xiàn)。

對(duì)某一存在Braess悖論現(xiàn)象的城市交通網(wǎng)絡(luò)，相比于僅刪除某個(gè)無(wú)意義的路段，在刪除某個(gè)路段的同時(shí)合理增加部分原本看似無(wú)用的路段，可更加有效的降低系統(tǒng)總阻抗。

4.3 新增路段

為緩解交通壓力，提高車(chē)速和通行能力，城市交通中往往會(huì)建立一些高架橋。

在點(diǎn) （1，1）、（5，5）間建立一高架橋，構(gòu)建圖4所示城市交通網(wǎng)絡(luò)。該網(wǎng)絡(luò)中tij（0）＝1，eij＝5。

圖4 建立高架橋后的城市道路網(wǎng)絡(luò)

進(jìn)行用戶(hù)均衡配流后的道路流量網(wǎng)絡(luò)如圖，系統(tǒng)總阻抗為37.1696，小于原城市交通網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)總阻抗40.2619，系統(tǒng)性能有了較大提高。

由圖4可以看出，該高架橋的建立導(dǎo)致了節(jié)點(diǎn) （1，3）、（2，3）間的路段不再被使用，這是因?yàn)樾碌穆范蔚某霈F(xiàn)使得部分O－D對(duì)間的居民沿新的最短路徑出行，進(jìn)而對(duì)其它O－D對(duì)間的居民出行路線產(chǎn)生影響，最終導(dǎo)致流量重新分配，使得任意O－D對(duì)間的最短路徑都不再包括該路段。

通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)，當(dāng)刪除點(diǎn) （3，4）與 （3，5）間的路段后，用戶(hù)平衡配流下的出行者將沿G1中剩余路段出行，系統(tǒng)總阻抗會(huì)降低，其值為37.1670。

通過(guò)建立高架橋，雖大幅降低了系統(tǒng)總阻抗，卻也同時(shí)產(chǎn)生了Braess悖論現(xiàn)象，使得原來(lái)有意義的路段變得無(wú)意義，通過(guò)刪除該路段可使系統(tǒng)總阻抗得到進(jìn)一步降低。即建立新路段后合理刪除部分原路段可使系統(tǒng)性能得到進(jìn)一步的提高。

5 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)復(fù)雜城市交通網(wǎng)絡(luò)中存在大量的路段及O－D對(duì)，使得通過(guò)傳統(tǒng)方法研究復(fù)雜城市交通網(wǎng)絡(luò)中的Braess悖論現(xiàn)象變得困難的情況，本文采用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論，依據(jù)城市網(wǎng)絡(luò)具有的無(wú)標(biāo)度性和流量集中性，構(gòu)建了一雙層城市交通網(wǎng)絡(luò)，其中上層為無(wú)標(biāo)度居民出行網(wǎng)絡(luò)，下層為城市道路網(wǎng)絡(luò)?？紤]到Braess悖論現(xiàn)象的實(shí)質(zhì)便是博弈論中的納什均衡，對(duì)城市交通網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行用戶(hù)平衡配流。在此基礎(chǔ)上，研究復(fù)雜城市交通網(wǎng)絡(luò)中的Braess悖論現(xiàn)象。

研究結(jié)果表明，在復(fù)雜城市交通網(wǎng)絡(luò)中，相比于單純的提高路段實(shí)際通行能力，選擇合適的路段通行能力能更加有效的緩解交通壓力。而改變居民起訖點(diǎn)及新增道路時(shí)，均可能造成Braess悖論現(xiàn)象的出現(xiàn)或消失。相比于僅通過(guò)拆除無(wú)意義道路或新建道路來(lái)改善城市交通，同時(shí)將兩種方法配合使用，能取得更好的效果。本文在確定造成Braess悖論現(xiàn)象的路段同時(shí)，給出了改善網(wǎng)絡(luò)狀況的方案。本文采用方法及所得結(jié)果可為城市交通規(guī)劃提供決策依據(jù)，具有一定的理論意義和實(shí)用價(jià)值。

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