信號(hào)的SVD重建模型及其應(yīng)用

何希平，楊 勁，劉 波

（1.重慶工商大學(xué) 電子商務(wù)及供應(yīng)鏈系統(tǒng)重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶400067；2.重慶工商大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與信息工程學(xué)院，重慶400067；3.重慶工商大學(xué) 重慶市檢測(cè)檢測(cè)控制集成系統(tǒng)工程實(shí)驗(yàn)室，重慶400067）

0 引 言

對(duì)大規(guī)模數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析、稀疏低秩近似［1，2］、降維表達(dá)［3］與壓縮感知等處理，是目前深受研究人員青睞的技術(shù)和方法。線性運(yùn)算的高時(shí)效性使得如何有效地刻畫研究對(duì)象之間局部或整體的近似線性關(guān)系成為數(shù)據(jù)分析過(guò)程中倍受重視并起著決定性作用的理論與技術(shù)問(wèn)題。矩陣低秩逼近［4－8］由于其簡(jiǎn)潔性，已成為數(shù)據(jù)處理的基本手段之一。

在高維數(shù)據(jù)處理中，高維數(shù)據(jù)的相關(guān)性不容忽視，正是由于奇異值向量直接反映矩陣秩的大小，即矩陣中行或列向量的相關(guān)度，使得基于高維數(shù)據(jù)矩陣的奇異值分解（singular value decomposition，SVD）成為了信號(hào)主成分分析、高維數(shù)據(jù)降維、線性判別分析、稀疏表示、矩陣低秩分解等應(yīng)用的重要技術(shù)手段。用奇異值分解技術(shù)實(shí)現(xiàn)信號(hào)降噪［9－11］即為線性近似的代表應(yīng)用之一。

本文重點(diǎn)研究信號(hào)SVD重建的通用技術(shù)，其預(yù)期的主要目標(biāo)包括：①構(gòu)建信號(hào)基于SVD分解的低秩線性表達(dá)與重建的通用模型；②研究并實(shí)驗(yàn)一維信號(hào)的強(qiáng)相關(guān)結(jié)構(gòu)矩陣的構(gòu)建與SVD線性化表達(dá)模型；③通過(guò)含噪聲的一維數(shù)字信號(hào)和二維數(shù)字圖像的低秩近似與去噪聲實(shí)驗(yàn)展示模型的適應(yīng)性。

1 信號(hào)SVD分解與重建原理

1.1 信號(hào)SVD分解模型

設(shè)X＝ （x1，…，xn）∈Rm×n為m 個(gè)n維信號(hào)的抽樣矩陣，M為X的列均值矩陣，X的中心化信號(hào)矩陣Y＝X

對(duì)信號(hào)X的SVD分解可轉(zhuǎn)化為對(duì)Y的分解。

定理 設(shè)Y∈Rm×n為X的中心化信號(hào)矩陣，秩為r，則必存在正交矩陣U＝ （u1，…，um）∈Rm×m和正交矩陣V＝（v1，…，vn）∈Rn×n，使得

稱式 （1）為矩陣Y的奇異值分解 （簡(jiǎn)記為SVD），σi稱為Y的奇異值。由式 （2）和式 （3）可見(jiàn)，YTY為X的協(xié)方差矩陣的m－1倍，且YTY的非零特征值σ2i的對(duì)應(yīng)特征向量為vi，YYT的非零特征值σ2i的對(duì)應(yīng)特征向量為ui（i＝1，…，r），從而Y的SVD分解可通過(guò)對(duì)YTY和YYT進(jìn)行特征分解實(shí)現(xiàn)。u1，…，um構(gòu)成Rm空間的一組規(guī)范正交基，v1，…，vn構(gòu)成Rn空間的一組規(guī)范正交基。

1.2 信號(hào)SVD重建模型

從中心化信號(hào)矩陣Y的奇異值分解式 （1）可以得到精確重建X的一些非常有用的信息

其中

式 （7）為X的低秩重建近似信號(hào)，式 （6）給出的是一個(gè)非凸優(yōu)化模型，求解困難。借助拉格朗日乘數(shù)法，可以將秩不超過(guò)X的秩r的約束轉(zhuǎn)化為在目標(biāo)函數(shù)中引入一個(gè)核范數(shù)的正則化項(xiàng)

則這一優(yōu)化問(wèn)題可以借助擬梯度分析獲得解的解析表達(dá)式［7］。而信號(hào)的恢復(fù)率η則可按式 （9）給出的基礎(chǔ)成分的系數(shù)向量Λ與滿秩奇異值分解的系數(shù)向量∑的相似性度量進(jìn)行近似估算

顯然，1≥η≥0。當(dāng)Λ＝∑時(shí)，η＝1，則可通過(guò)式 （7）獲得信號(hào)X的精確重建；否則，通過(guò)式 （8）的解析解抑制基礎(chǔ)成分Yi的系數(shù)λi的大小，控制對(duì)原始信號(hào)的近似表達(dá)程度；同時(shí)由于奇異值與信號(hào)方差的緊密關(guān)系，也可以通過(guò)抑制λi有效地抑制信號(hào)噪聲。

2 信號(hào)重建算法

最常見(jiàn)的源信號(hào)是一維和二維信號(hào)，這也是本文重點(diǎn)研究的對(duì)象。根據(jù)不同的目的，如去噪聲、稀疏表示、數(shù)據(jù)壓縮等，可以通過(guò)式 （8）選擇不同的線性系數(shù)來(lái)組合原始信號(hào)的SVD基礎(chǔ)成分，進(jìn)而利用式 （7）完成對(duì)信號(hào)X的重建?？梢?jiàn)，重建算法的第一步應(yīng)該是構(gòu)建原始信號(hào)X的中心化信號(hào)矩陣Y，為利用式 （7）的信號(hào)重建模型，首先還必須把一維信號(hào)向量變換成對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)矩陣。利用一維信號(hào)可以構(gòu)造出很多種矩陣，如Hankel矩陣、Toeplitz矩陣、Circulant矩陣等。研究實(shí)踐結(jié)果表明，矩陣構(gòu)造方式不同，則SVD的信號(hào)處理效果就會(huì)不一樣。

2.1 一維信號(hào)的結(jié)構(gòu)矩陣

信號(hào)重建的重要依據(jù)之一就是相鄰信號(hào)時(shí)序的結(jié)構(gòu)相關(guān)性，因此，重建一維信號(hào)也可通過(guò)構(gòu)建一維數(shù)字信號(hào)時(shí)序的鄰域相關(guān)結(jié)構(gòu)矩陣，再利用結(jié)構(gòu)矩陣的SVD低秩逼近模型實(shí)現(xiàn)重建。

設(shè)一維離散數(shù)字信號(hào)的時(shí)序x＝ （x1，…，xm）T∈Rm，則可以利用此信號(hào)構(gòu)造如下的Hankel矩陣X （各行時(shí)序間或者列時(shí)序間依次超前一個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)）

則X的第一列和最后一行 （或第一行和最后一列）元素構(gòu)成原離散數(shù)字信號(hào)x。Hankel矩陣X的相鄰元素較好地反應(yīng)了信號(hào)時(shí)序的相鄰相關(guān)的特點(diǎn)。

也可用一維離散數(shù)字信號(hào)x構(gòu)造Toeplitz矩陣X （同一條對(duì)角線上的元素相同）

則X的第一列和第一行元素構(gòu)成離散數(shù)字信號(hào)的時(shí)間序列x。

而式 （12）表示的信號(hào)x的Circulant矩陣完全由它的第一列即x（或第一行即x′）確定，其余各列均為其前一列元素順時(shí)針 （或逆時(shí)針）循環(huán)移一位得到，即以上一列第二 （或最后）元素為首元素依序循環(huán)排列 （相當(dāng)于上一時(shí)序循環(huán)提前或延遲一個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)）

對(duì)于一維離散數(shù)字信號(hào)x，有了結(jié)構(gòu)矩陣X以后，就可通過(guò)式 （1）～式 （4）計(jì)算結(jié)構(gòu)矩陣X的中心化信號(hào)矩陣Y的SVD分解和基礎(chǔ)成分。由式 （4）～式 （8）不難發(fā)現(xiàn)，X的重建信號(hào)是Y的SVD基礎(chǔ)成分Yi的線性組合。若分別記Yi中的、與所構(gòu)造的結(jié)構(gòu)矩陣X中構(gòu)成信號(hào)時(shí)序x的列和行對(duì)應(yīng)的列和行向量 （行向量不含第一元素）為pi和qi，并記則x的重建信號(hào)可表示為

式中：μ——由結(jié)構(gòu)矩陣X的列均值構(gòu)成的與x同維度的向量。實(shí)際應(yīng)用中，μ可直接取x的均值構(gòu)成。

直觀觀察可見(jiàn)，在式 （10）～式 （12）表示的3種結(jié)構(gòu)矩陣中，Hankel矩陣元素的相鄰相關(guān)性最強(qiáng)，Toeplitz矩陣次之，Circulant矩陣元素的相鄰相關(guān)性相對(duì)較弱。使用Hankel矩陣與Toeplitz矩陣的計(jì)算復(fù)雜性與參數(shù)k的選取有密切關(guān)系，k越小，SVD計(jì)算復(fù)雜性越低；反之，復(fù)雜性越高。當(dāng)信號(hào)時(shí)序較長(zhǎng)時(shí)，Circulant矩陣的階數(shù)較大，SVD的計(jì)算復(fù)雜度呈指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)，效率較低。

2.2 二維信號(hào)重建模型的優(yōu)化算法

根據(jù)前面分析，重建算法的具體步驟如下：

（1）由信號(hào)矩陣X求得中心化矩陣Y；

（2）對(duì)中心化矩陣Y進(jìn)行SVD分解，得到奇異值向量∑和Y的基礎(chǔ)成分Y1，…，Yr；

（3）求解優(yōu)化模型 （8），得到Λ＝ （λ1，…，λr）T；

（4）根據(jù)式 （7）計(jì)算重建近似信號(hào)。

在重建模型求解過(guò)程中，重要的是對(duì)優(yōu)化模型 （8）中的Λ＝ （λ1，…，λr）T的選擇。針對(duì)不同應(yīng)用可選擇不同的信號(hào)恢復(fù)率η0，并在恢復(fù)率η0的控制下，基于主成分表達(dá)的思想，使用貪心法首先選取一個(gè)非零的λi，使得僅由基礎(chǔ)成分Yi重建的X的恢復(fù)率η最接近η0，且η0≥η，并令λk＝0 （k＜i）；然后再選取下一個(gè)非零的λj（i＜j），使得由基礎(chǔ)成分Yi和Yj重建的X的恢復(fù)率η最接近η0，且η0≥η，并令λk＝0 （i＜k＜j）；如此繼續(xù)選取下一Yj。在η還未接近η0的大小時(shí)，均可取λj＝σj，以便算法快速收斂，同時(shí)使Λ取值表現(xiàn)出稀疏特性。

3 應(yīng)用模型

利用SVD分解模型 （4）和重建模型 （7），可以對(duì)信號(hào)進(jìn)行主成分分析，或者利用基礎(chǔ)成分對(duì)信號(hào)進(jìn)行近似或者稀疏壓縮表示 （選取較少的幾個(gè)基礎(chǔ)成分近似表示原信號(hào)），或者消除信號(hào)噪聲等。

3.1 一維信號(hào)噪聲消除

對(duì)一維數(shù)字信號(hào)去噪，一般考慮如下加性白噪聲模型

其中，ni～N（0，σ2）（i＝1，2，…，m）為獨(dú)立同分布的高斯白噪聲。

由式 （1）、式 （2）、式 （4）可見(jiàn)，信號(hào)SVD分解模型實(shí)質(zhì)上是對(duì)信號(hào)矩陣左右兩邊各乘以一個(gè)正交矩陣而得到信號(hào)的奇異值矩陣，而作為其逆變換的信號(hào)重建過(guò)程正好是以奇異值為所求基礎(chǔ)成分的權(quán)的線性表出過(guò)程，從而噪聲在變換過(guò)程中保持可加性未變，并且噪聲通常表現(xiàn)為高頻尖峰數(shù)據(jù)，因此在去噪聲應(yīng)用中，可以利用軟硬閾值模型［12］作用于奇異值向量∑，求得重建模型 （7）中的基礎(chǔ)成分的系數(shù)向量Λ，進(jìn)而恢復(fù)原始信號(hào)。

去噪聲的過(guò)程實(shí)質(zhì)上就是選擇一種誤差度量模型，通常是均方誤差 （MSE）

尋求與含噪信號(hào)x以MSE最小為目標(biāo)的原始信號(hào)x0的估計(jì)

在SVD去噪中，x是根據(jù)式 （13）表示的模型得到的結(jié)果。

3.2 圖像去噪聲

由于圖像噪聲與一維信號(hào)相似，更常見(jiàn)的也是加性高斯白噪聲，而在SVD重建模型中，二維圖像即構(gòu)成了信號(hào)矩陣X，所以，可以直接在類似于式 （16）的MSE最小化的優(yōu)化目標(biāo)模型控制下，利用SVD重建算法實(shí)現(xiàn)圖像去噪聲，也可以對(duì)圖像進(jìn)行分塊，然后通過(guò)分塊線性近似實(shí)現(xiàn)。

3.3 信號(hào)壓縮與稀疏表示

基于主成分分析和貪心算法的思想，可以按式 （9）表示的恢復(fù)率計(jì)算模型，根據(jù)稀疏度要求按從前至后的順序選擇基礎(chǔ)成分及其對(duì)應(yīng)奇異值，而舍棄后面重要性相對(duì)較低的成分，可以有效實(shí)現(xiàn)信號(hào)的稀疏k近似表示

其中

借助式 （17）的模型，可以簡(jiǎn)便地實(shí)現(xiàn)對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行壓縮與稀疏表示。事實(shí)上，由于k個(gè)基礎(chǔ)成分 （通常k＜＜r）僅需要由k對(duì)ui、vi生成，所以信號(hào)存儲(chǔ)要求由o（mn）降低為o（k（m＋n）），可以大幅壓縮信號(hào)的存儲(chǔ)量，實(shí)現(xiàn)信號(hào)的稀疏近似表示。

4 實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

對(duì)一維信號(hào)去噪聲，我們選擇了長(zhǎng)度為2048的Heavy sine離散數(shù)字信號(hào)作為原始信號(hào)，并按式 （14）添加了高斯噪聲，且取σ＝1.5。

在具體算法中，我們對(duì)Λ的選取采用的一種策略是如下主成分選取模型

為進(jìn)一步分析結(jié)構(gòu)矩陣的特性，我們對(duì)同一信號(hào)的3種結(jié)構(gòu)矩陣SVD低秩重建結(jié)果做了統(tǒng)計(jì)計(jì)算，并與小波軟閾值自動(dòng)去噪結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果見(jiàn)表1，其信號(hào)處理直觀對(duì)比如圖1所示。

表1 一維信號(hào)去噪結(jié)果的統(tǒng)計(jì)對(duì)比

其中小波變換選取的是5層sym8，閾值選取方法為SURE。從表中數(shù)據(jù)可見(jiàn)：①Hankel矩陣、Toeplitz矩陣、Circulant矩陣分別表達(dá)信號(hào)矩陣時(shí)，前兩種矩陣比第3種更有利于用SVD對(duì)信號(hào)進(jìn)行閾值去噪聲和近似表達(dá)；②借助Hankel矩陣或者Toeplitz矩陣表達(dá)信號(hào)時(shí)，通過(guò)對(duì)信號(hào)進(jìn)行SVD閾值去噪的效果明顯優(yōu)于小波閾值去噪的效果，且兩者通過(guò)SVD實(shí)現(xiàn)的效果非常相近；③由式 （9）表達(dá)的恢復(fù)率計(jì)算模型只能用于近似表達(dá)信號(hào)間的相似程度，可作為算法選擇時(shí)簡(jiǎn)化的近似計(jì)算依據(jù)，但不能嚴(yán)格把它作為信號(hào)相似性好壞的判據(jù)；④Circulant矩陣由于誤差偏大的原因，不適合于信號(hào)的SVD去噪與最佳近似表達(dá)應(yīng)用場(chǎng)合。

圖1 一維信號(hào)去噪效果對(duì)比

雖然去噪聲并非本文研究的最終目標(biāo)，但是圖1所示的直觀效果表明對(duì)信號(hào)進(jìn)行SVD閾值去噪的效果明顯優(yōu)于小波閾值去噪的效果。另一方面，SVD閾值去噪的效果與閾值選擇和線性近似時(shí)系數(shù)調(diào)節(jié)算法也有關(guān)。實(shí)驗(yàn)中按式（19）進(jìn)行系數(shù)選擇，是一種比較粗略的處理方法，實(shí)用中可以在優(yōu)化模型 （16）的控制下動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)各系數(shù)以達(dá)到更加理想的效果。

為檢驗(yàn)SVD閾值去噪對(duì)二維圖像信號(hào)處理的效果，我們選擇了兩幅512×512的灰度圖像，均添加了均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為16的高期白噪聲，然后分別用小波軟閾值自適應(yīng)去噪與SVD閾值去噪進(jìn)行效果對(duì)比，直觀效果如圖2所示，而統(tǒng)計(jì)結(jié)果見(jiàn)表2。其中，與一維信號(hào)類似，對(duì)經(jīng)加高斯白噪聲的圖像選用sym8小波做3層小波分解，對(duì)所獲得的細(xì)節(jié)系數(shù)選用自適應(yīng)軟閾值小波收縮；而SVD閾值去噪聲時(shí)閾值為奇異值的均值。

圖2 圖像閾值去噪效果對(duì)比

表2 噪聲圖像閾值去噪結(jié)果對(duì)比

由表2所示的3種統(tǒng)計(jì)圖像特征不難發(fā)現(xiàn)，盡管簡(jiǎn)化了系數(shù)優(yōu)化過(guò)程，使得SVD去噪算法中利用奇異值均值閾值對(duì)近似系數(shù)的選擇只是一種粗略估計(jì)，然而SVD去噪效果也與自適應(yīng)軟閾值小波去噪聲結(jié)果非常接近，如果進(jìn)一步優(yōu)化SVD近似的逼近算法，提高去噪效果是必然的。

同時(shí)，為了測(cè)試k近似壓縮表示的效果和優(yōu)化近似系數(shù)選擇的意義，我們對(duì)圖2中的兩幅加噪圖像在相似度模型 （17）的控制下，分別取η0＝0.85、0.90和0.95的3種不同值時(shí)，自適應(yīng)地選取了不同的k值，將對(duì)應(yīng)的重建結(jié)果與原始圖像、自適應(yīng)軟閾值小波去噪結(jié)果圖像進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)與直觀對(duì)比。實(shí)驗(yàn)所得到的統(tǒng)計(jì)特征見(jiàn)表3，直觀對(duì)比效果如圖3所示。

表3 噪聲圖像k近似結(jié)果的統(tǒng)計(jì)特征對(duì)比

圖3 圖像k近似效果與小波去噪對(duì)比

由表3所示的圖像的3種統(tǒng)計(jì)特征不難發(fā)現(xiàn)：①SVD逼近中，即使要求恢復(fù)率η0≥0.85，相對(duì)于奇異值個(gè)數(shù)來(lái)說(shuō)，信號(hào)的k近似中的線性組合基礎(chǔ)成分?jǐn)?shù)k也比較小，說(shuō)明SVD線性組合模型對(duì)信號(hào)逼近與壓縮表示非常有效；②選擇恰當(dāng)?shù)幕謴?fù)率η0，不僅可以通過(guò)SVD低代價(jià)壓縮近似表示噪聲信號(hào)，而且還可能達(dá)到比自適應(yīng)軟閾值小波去噪聲更好的信號(hào)處理效果；③表3第5行數(shù)據(jù)也說(shuō)明，當(dāng)一味追求過(guò)高的恢復(fù)率時(shí)，不僅線性表達(dá)的代價(jià)會(huì)提高，而且消除噪聲的效果也會(huì)降低。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文提出的基于信號(hào)矩陣的SVD分解的線性近似的優(yōu)化重建模型，就其本質(zhì)是對(duì)信號(hào)進(jìn)行相關(guān)性分析，尋求信號(hào)線性表達(dá)的低秩矩陣。文中所給出的數(shù)學(xué)模型不僅可以用于一維和二維信號(hào)去噪聲，而且可以用于信號(hào)的稀疏與壓縮表示，表達(dá)式簡(jiǎn)單易于計(jì)算；所給出的模型的SVD奇異值均值閾值去噪聲和k近似逼近算法的模型都簡(jiǎn)便易行。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，新優(yōu)化重建模型對(duì)一維信號(hào)和二維圖像的噪聲抑制均能獲得很好的統(tǒng)計(jì)特征，可靠與穩(wěn)定性高，實(shí)用性強(qiáng)。

［1］Meng Deyu，Zhao Qian，Xu Zongben.Improve robustness of sparse PCA by L1－norm maximization ［J］.Pattern Recognition，2012，45 （1）：487－497.

［2］Haipeng Shena，Jianhua Z Huang.Sparse principal component analysis via regularized low rank matrix approximation ［J］.Journal of Multivariate Analysis，2008，99 （6）：1015－1034.

［3］David Nelson，Siamak Noorbaloochi.Information preserving sufficient summaries for dimension reduction ［J］.Journal of Multivariate Analysis，2013，115 （3）：347－358.

［4］Ma S，Goldfarb D，Chen L.Fixed point and bregman iterative methods for matrix rank minimization ［J］. Math Progra，2011，128 （1－2）：321－353.

［5］Cai J F，Candès E J，Shen Z W.A singular value thresholding algorithm for matrix completion ［J］.SIAM J Optim，2010，20：1956－1982.

［6］RAO Guo，PENG Yi，XU Zongben.Robust sparse and lowrank matrix decomposition based on S1／2modeling ［J］.Science China Information Sciences，2013，43 （6）：733－748 （in Chinese）.［饒過(guò)，彭毅，徐宗本.基于S1／2建模的穩(wěn)健稀疏－低秩矩陣 分 解 ［J］. 中 國(guó) 科 學(xué)： 信 息 科 學(xué)，2013，43 （6）：733－748.］

［7］ZHANG Zhenyue，ZHAO Keke.Regularization methods for low－rank factorization of matrices with missing data ［J］.Scientia Sinica Mathematica，2013，43 （3）：249－271 （in Chinese）.［張振躍，趙科科.數(shù)據(jù)缺損矩陣低秩分解的正則化方法 ［J］.中國(guó)科學(xué)：數(shù)學(xué)，2013，43 （3）：249－271.］

［8］PENG Yigang，SUO Jinli，DAI Qionghai，et al.From compressed sensing to low－rank matrix recovery：Theory and applications ［J］.ACTA Automatica Sinica，2013，39 （7）：981－994（in Chinese）.［彭義剛，索津莉，戴瓊海，等.從壓縮傳感到低秩矩陣恢復(fù)：理論與應(yīng)用 ［J］.自動(dòng)化學(xué)報(bào)，2013，39（7）：981－994.］

［9］HUANG Jianzhao，XIE Jian，LI Feng，et al.Com pound denoising method based on discrete stationary wavelet transform and optimized SVD ［J］.Piezoelectrics ＆ Acoustooptics，2013，35 （3）：448－451 （in Chinese）. ［黃建招，謝建，李鋒，等.基于優(yōu)化SVD和平穩(wěn)小波的復(fù)合降噪方法 ［J］.壓電與聲光，2013，35 （3）：448－451.］

［10］CHEN Enli，ZHANG Xi，SHEN Yongjun，et al.Fault diagnosis of rolling bearings based on SVD denoising and blind signals separation ［J］.Journal of Vibration and Shock，2012，31 （23）：185－190 （in Chinese）. ［陳恩利，張璽，申永軍，等.基于SVD降噪和盲信號(hào)分離的滾動(dòng)軸承故障診斷［J］.振動(dòng)與沖擊，2012，31 （23）：185－190.］

［11］ZHAO Xuezhi，YE Bangyan，CHEN Tongjian.Principle of singularity detection based on SVD and its application ［J］.Journal of Vibration and Shock，2008，27 （6）：11－14 （in Chinese）. ［趙學(xué)智，葉邦彥，陳統(tǒng)堅(jiān).基于SVD的奇異性信號(hào)檢測(cè)原理及其應(yīng)用 ［J］.振動(dòng)與沖擊，2008，27 （6）：11－14.］

［12］HE Xiping，YANG Jin.A novel type of threshold functions for wavelet shrinkage ［J］.Computer Engineering ＆Science，2013，35 （8）：114－119 （in Chinese）. ［何希平，楊勁.一類新的小波收縮閾值函數(shù) ［J］.計(jì)算機(jī)工程與科學(xué)，2013，35 （8）：114－119.］