一類離散SEIR傳染病模型的動力學(xué)性態(tài)

馬 霞， 曹 慧

(1.太原工業(yè)學(xué)院 理學(xué)系， 山西 太原 030008； 2.陜西科技大學(xué) 理學(xué)院， 陜西 西安 710021)

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一類離散SEIR傳染病模型的動力學(xué)性態(tài)

馬 霞1， 曹 慧2

(1.太原工業(yè)學(xué)院 理學(xué)系， 山西 太原 030008； 2.陜西科技大學(xué) 理學(xué)院， 陜西 西安 710021)

研究了一類離散SEIR傳染病模型.利用再生矩陣的方法定義了模型的基本再生數(shù)，證明了無病平衡點的存在性與穩(wěn)定性，以及疾病的持久性, 討論了地方病平衡點的存在性和穩(wěn)定性，通過數(shù)值模擬展示了地方病平衡點的全局性態(tài).

離散傳染病模型； 穩(wěn)定性； 持久性； 動力學(xué)行為

0 引言

用數(shù)學(xué)模型來描述疾病的流行規(guī)律扮演著重要的角色.一般的傳染病在感染初期都不會患病，經(jīng)過一段時間的潛伏才發(fā)病，SEIR傳染病模型是一類經(jīng)典的具有倉室結(jié)構(gòu)的傳染病模型，適合帶有潛伏期和患病恢復(fù)后具有永久免疫力的傳染病模型.例如禽流感、非典、腮腺炎.

用離散模型描述傳染病的流行進(jìn)程是一個很好的選擇，另外，公共衛(wèi)生收集的部分傳染病疫情的數(shù)據(jù)都是按年、月、周、天為單位的離散數(shù)據(jù)，使得離散模型的應(yīng)用更為方便.現(xiàn)在越來越多的人對離散傳染病模型的研究感興趣，Allen，Carlos[1]等研究了離散的SI,SIR,SIS模型.Castillo-Chavez[2]和Yakubu[3]研究了離散SIS模型的復(fù)雜動力學(xué)性態(tài).Y. Zhou等[4-6]研究了具有年齡結(jié)構(gòu)的離散SIS模型的動力學(xué)行為.其它的一些傳染病也已經(jīng)被研究[7-9].

與連續(xù)的模型相比，離散模型的研究相對較少，在分析學(xué)中，連續(xù)的傳染病模型解的性態(tài)易于進(jìn)行定性分析，與之對應(yīng)的離散傳染病模型解的性態(tài)往往會出現(xiàn)復(fù)雜的動力性性態(tài)，甚至混沌現(xiàn)象[10].目前，關(guān)于離散模型的研究大部分關(guān)注的是基本再生數(shù)的定義，無病平衡點和地方病平衡點的存在與穩(wěn)定，疾病的消除與持久，以及模型的分支問題.

本文在一定合理的假設(shè)下，建立了經(jīng)典的離散SEIR傳染病模型，對該模型解的漸近性態(tài)進(jìn)行了比較全面的分析.第二部分給出了離散SEIR模型，定義了基本再生數(shù).第三部分討論了疾病的消亡和持續(xù)，以及地方病平衡點的存在性與穩(wěn)定性.第四部分給出了數(shù)值模擬的結(jié)果.

1 離散SEIR模型

假設(shè)在感染初期不會患病，考慮感染者在康復(fù)后即獲得永久免疫力的疾病傳播問題.假定N(t)為t時刻的總?cè)丝跀?shù)量，把總?cè)丝诜譃橐赘姓?、無癥狀的潛伏者、感染者和恢復(fù)者，用S(t),E(t),I(t),R(t)分別表示t時刻易感者、無癥狀的潛伏者、感染者和恢復(fù)者的數(shù)量.從t時刻到t+1時刻，除了自然死亡和常數(shù)輸入(遷入和出生)人口，在倉室之間有人口的流動.假設(shè)Λ是新出生或遷入的人口，β是傳染率，α是發(fā)病率，μ是人口的自然死亡率，γ是病人的恢復(fù)率，δ是染病者的因病死亡率，生物背景要求這些參數(shù)都是非負(fù)常數(shù)，βI(t)/N(t)表示單位時間內(nèi)易感者被感染成為潛伏者的概率，αE(t)表示單位時間內(nèi)潛伏者發(fā)病的人數(shù)，本文所討論的具有標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率的離散SEIR模型如下：

(1)

把模型(1)中的方程相加可得：

N(t+1)=N(t)+Λ-μN(t)-δI(t)≤

Λ+(1-μ)N(t)

β+μ<1,μ+α<1,μ+δ+γ<1

(2)

2 疾病的消亡或持續(xù)

定理1 當(dāng)R0<1時，模型(1)的無病平衡點P0是全局漸近穩(wěn)定的，當(dāng)R0>1時，模型(1)的無病平衡點P0不穩(wěn)定.

證明：模型(1)在無病平衡點P0處的線性化矩陣為

顯然，系數(shù)矩陣A有兩個特征根1-μ均小于1，只需考慮特征方程

當(dāng)R0<1,β+μ<1,μ+α<1,μ+δ+γ<1時，由Jury判據(jù)[13]可得特征值的模均小于1，所以無病平衡點是局部漸近穩(wěn)定的.

令V(E(t),I(t))=αE(t)+(μ+α)I(t)，則

V(E(t+1),I(t+1))-V(E(t),I(t))=

(μ+α)(μ+δ+γ)(R0-1)I(t)<0

這里V=0當(dāng)且僅當(dāng)E=I=0，在{(S,E,I,R)∶ΔV=0}內(nèi)的最大不變集是單點集{P0}，由LaSalle不變原理[13]可得，當(dāng)R0<1時，模型(1)的無病平衡點P0是全局漸近穩(wěn)定的.

定理2 當(dāng)R0>1時，疾病將會在人群中持續(xù)存在，即系統(tǒng)(1)是一致持久的.

證明：定義X={(S,E,I,R)|S,E,I,R≥0}，X0={(S,E,I,R)∈X|E>0,I>0},

?X0=XX0,令Φ：X→X,

Φt(x0)=Φ(t,x0)是模型(1)的解映射且滿足初值Φ(0,x0)=x0,x0=(S(0),E(0),I(0),R(0)).

容易驗證空間X,X0是正不變的，且X0是空間X的相對開集，X0是空間X的相對閉集.解映射Φt是緊的和點耗散的，利用文獻(xiàn)[14]中的定理1.1.3可知，Φt有一個緊的全局吸引子.

令M=(P0)=(Λ/μ,0,0,0),

M?={(S,E,I,R)∈?X0|Φt(S,E,I,R)∈?X0,?t≥0}，下面證明

M?={(S,E,I,R)∈?X0|E,I=0}.

顯然，{(S,E,I,R)∈?X0|E,I=0}?M?，只需證M??{(S,E,I,R)∈?X0|E,I=0}，這意味著若(S(0),E(0),I(0),R(0))∈M?，則E(0)=I(0)=0，反之，假設(shè)至少E(0),I(0)中有一個大于零，不失一般性，設(shè)E(0)>0成立，下面證明對于t∈[0,T],E(t),I(t)都將大于零.

由模型(1)中的方程可得

E(t)≥(1-μ-α)E(t-1)≥

(1-μ-α)tE(0)M1

I(t)=(1-μ-δ-γ)I(t-1)+αE(t-1)≥

(1-μ-δ-γ)I(t-1)+αM1>

(1-μ-δ-γ)tI(0)M2Λ+(1-β-μ)S(t-1)≥

R(t)≥(1-μ)R(t-1)+γM2≥

則對于t∈[0,T]，有(S(t),E(t),I(t),R(t))∈X0成立，故產(chǎn)生矛盾.因此，

M??{(S,E,I,R)∈?X0|E,I=0}.

另外，在M?中Φ有唯一的不動點P0，當(dāng)R0>1時，唯一的不動點P0是不穩(wěn)定的，運用文獻(xiàn)[15]中的引理5.9可知,在?X0中，M中沒有子集能形成一個環(huán).由

如果R0>1，我們可以斷言存在一個足夠小的正數(shù)σ>0，使得

(S0,E0,I0,R0)∈X0

(3)

(4)

當(dāng)t>T2時，考慮如下系統(tǒng)

該系統(tǒng)的雅克比行列式為

3 地方病平衡點的穩(wěn)定性

令P*(S*,E*,I*,R*)是模型的平衡點，則有:

αE*-(μ+δ+γ)I*=0,γI*-μR*=0,

由于N*=S*+E*+I*+R*,通過計算可得，當(dāng)R0>1時，模型有唯一的地方病平衡點P*,其中,

為研究模型在地方病平衡點P*處的穩(wěn)定性，模型在平衡點P*處的雅克比矩陣是

盡管在理論上我們可以使用Jury判據(jù)來討論模型的地方病平衡點的局部穩(wěn)定性，但由于模型的復(fù)雜性，使得Jury判據(jù)不具備實際操作性，我們利用數(shù)值模擬的方法來討論地方病平衡點的穩(wěn)定性.取定參數(shù)值Λ=50,β=0,12,μ=0.006,γ=0.07,α=0.03,δ=0.001,計算可得R0=1.3,正平衡點P*(S*，E*，I*，R*)=(6 400,322,126,1 464),通過計算可得模型(1)在P*處的雅克比矩陣是

并且ρ(J)<1,由Jury判據(jù)[8]可得模型(1)的地方病平衡點P*是局部漸近穩(wěn)定的.為了研究平衡點P*的全局性態(tài)，我們選取上述參數(shù)值，選取四組不同的初始值來做數(shù)值模擬，數(shù)值模擬的結(jié)果顯示模型的解最終趨于平衡點P*(如圖1所示)，說明模型(1)的地方病平衡點P*可能是全局漸近穩(wěn)定的.

圖1 地方病平衡點P*的全局漸近性態(tài)

4 結(jié)束語

本文分析了一類離散SEIR模型，得到了模型的基本再生數(shù)，分析了模型的動力學(xué)性態(tài).結(jié)果表明:當(dāng)R0<1時，模型存在唯一的無病平衡點并且是全局漸近穩(wěn)定的;當(dāng)R0>1時，模型還存在唯一的地方病平衡點，模型是一致持久的.最后，通過數(shù)值模擬展示了地方病平衡點的全局漸近性態(tài).

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The dynamical behavior of a discrete SEIR epidemic model

MA Xia1，CAO Hui2

(1.Department of Science,Taiyuan Institute of Technology,Taiyuan 030008, China; 2.College of Science, Shaanxi University of Science & Technology, Xi′an 710021, China)

A discrete SEIR epidemic model is formulated and studied.The basic reproduction number is defined,and the dynamical behavior of the model is studied.The existence and stability of disease free equilibrium is proved,and the persistence of the model is obtained.The existence and stability of epidemic disease equilibrium is discussed.Numerical simulations are conducted to demonstrate the global stability of epidemic disease equilibrium.

discrete epidemic model; stability; persistence; dynamical behavior

2015-01-19

國家自然科學(xué)基金青年項目(11301314); 陜西省科技廳自然科學(xué)基礎(chǔ)研究計劃項目(2014JQ1025)

馬 霞(1990-)，女，河南駐馬店人，助教，碩士，研究方向：傳染病動力學(xué)、生物數(shù)學(xué)

1000-5811(2015)03-0173-04

O175

A