大口徑平面面形絕對測量及重力影響分析

徐 德，王艷茹，冉錚惠

（中國工程物理研究院計量測試中心，四川 綿陽 621000）

0 引 言

數(shù)字波面干涉測量技術(shù)將光學干涉和數(shù)字計算技術(shù)相結(jié)合，可以實現(xiàn)高精度、快速、非接觸式和自動化測量，在慣性約束聚變（ICF）、空間遙感探測以及極紫外光刻（EUVL）等大型超精密光學系統(tǒng)工程中應(yīng)用廣泛[1-4]。激光平面干涉測量結(jié)果的準確性受參考平面面形精度的制約，為了得到平面光學元件絕對面形偏差，研究人員提出了多種解決方案，其中最常用且較容易實現(xiàn)的是G.Schulz和J.Schwider[5-6]提出的三平面互檢法。但該方法只能得到3個平面沿著軸線方向的面形偏差。Bernard S.Fritz[7]對該方法進行了改進，通過增加一次旋轉(zhuǎn)測量，并利用Zernike多項式作為基函數(shù)進行最小二乘法擬合，得到全面形偏差。Chiayu Ai和James C.Wyant[8-9]在三平面互檢算法方面開展了大量研究，提出利用奇偶函數(shù)法進行任意平面全面形絕對測量的算法理論，該方法不需要進行波面擬合，算法更加簡單，且計算速度更快。

影響三平面互檢結(jié)果準確性的另一個重要因素是鏡片自身重力引起的面形變化[10]，而目前這方面的研究較少。本文通過有限元分析的方法對鏡片在不同夾持方式下的面形變化進行了仿真分析，基于仿真分析結(jié)果對三平面互檢數(shù)據(jù)進行修正，最終得到3個平面的絕對面形偏差。

1 奇偶函數(shù)算法的基本原理

假設(shè) A、B、C 3 個面的面形分別用 FA（x，y），F(xiàn)B（x，y），F(xiàn)C（x，y）表示，通過數(shù)學推導可知，對于任意非對稱二維函數(shù) F（x，y），有：

其中：

Fee、Foo、Feo、Foe分別代表 F（x，y）中的偶-偶、奇-奇、偶-奇、奇-偶分量。所以任意非對稱函數(shù)F（x，y）都可表示為上述4個分量之和。根據(jù)該原理，進行圖1所示的8種組合干涉測量，即可實現(xiàn)上述4個分量的測量，從而得到全口徑面形F（x，y）。

圖1 基于8組干涉測量的三平面互檢校準原理圖

8組干涉測量所對應(yīng)的數(shù)學表達式為

其中，上標x表示繞y軸翻轉(zhuǎn)，上標角度θ表示逆時針旋轉(zhuǎn)θ角度。首先求出Aoe+Aeo，Boe+Beo，Coe+Ceo分量：

設(shè)：

Aee、Bee、Cee3 個分量可由下式求出：

定義 A′、B′、C′為以上 3 個分量之和，即：

對于3個面的奇-奇分量，不能由前面表達式直接得到。分析可知，分布在同一圓周上的所有點所對應(yīng)的函數(shù)若在直角坐標系中為奇-奇函數(shù)，則將其轉(zhuǎn)化到極坐標中后應(yīng)為關(guān)于角變量θ的奇函數(shù)，且函數(shù)周期為180°。因此，可將一奇-奇函數(shù)Foo（x，y）表示為下式所示的傅里葉正弦級數(shù)的形式：

通過進一步的變換推導可求 Aoo、Boo、Coo，對于平滑表面，取級數(shù)前兩項即可。

先求取級數(shù)，第1項：

設(shè)：

可求得級數(shù)第2項為

最終全面形表達式為

2 重力變形的仿真分析

在進行三平面互檢絕對測量過程中，需要將其中兩片平面鏡進行多個角度的旋轉(zhuǎn)，在保證環(huán)境條件滿足測量要求的前提下，鏡片自身重力導致的鏡片形變將會對測量結(jié)果產(chǎn)生影響。為獲取大口徑光學元件因自重所引入的面形分量大小以及面形分布情況，針對不同的夾持方式（三爪工裝夾持、圓弧工裝夾持及180°柔性吊帶工裝夾持），采用ANSYS有限元分析軟件對大口徑光學元件面形分布進行了仿真計算。

有限元分析參數(shù)設(shè)置如下：鏡片尺寸φ320mm×60mm，材料為石英玻璃，楊氏模量69GPa，泊松比為0.208，密度 2120 kg/m3，熱導率 1.7W/mK，熱膨脹系數(shù)5.5×10-7K-1，網(wǎng)格尺寸10mm，單元類型為solid45。

對于三爪工裝，實際只有下方兩個支撐點對鏡片產(chǎn)生應(yīng)力，上方的支撐點僅對鏡片起保護作用，圖中x和z坐標軸在鏡片平面內(nèi)，y軸沿鏡片法線方向。因此，對下方兩個支撐點處沿x和z方向的位移約束為0。圖2為三爪工裝夾持的仿真結(jié)果，其表面變形的PV值為5.6nm。

圖2 三爪工裝夾持的受力變形仿真結(jié)果（單位：m）

為了改進局部應(yīng)力集中的問題，在三爪工裝的基礎(chǔ)上設(shè)計了不同幾何參數(shù)的圓弧式工裝夾具，即將線接觸改為與鏡片側(cè)面曲率相同的圓弧式面接觸夾持方式，并通過增加柔性材料以增大其接觸面。同樣利用有限元法仿真計算不同接觸面積的圓弧工裝對鏡片產(chǎn)生的應(yīng)力，約束條件與圖2中類似，即鏡片側(cè)面與圓弧支撐面接觸處沿x和z方向位移為0。圖3為圓弧張角為15°和30°的仿真計算結(jié)果，相應(yīng)的面形變化的PV值分別為2.7，1.84nm。由此可見，隨著支撐圓弧的面積增大，所產(chǎn)生的面形變化量也隨之減小。

此外，還對180°柔性吊帶工裝夾持情況下的鏡片表面面形變化進行了仿真分析，使鏡片側(cè)面與吊帶支撐面接觸處沿x和z方向位移為0，仿真計算結(jié)果如圖4所示，其表面變形的PV值僅為0.41nm。

由上述仿真結(jié)果可知，與三爪工裝和圓弧工裝相比，采用柔性吊帶工裝進行夾持時，鏡片沿法線方向的形變量大大減小，這是因為柔性吊帶工裝與鏡片側(cè)面的接觸面增大，對局部應(yīng)力進行勻化的結(jié)果。因此在實際測試中，對于大口徑光學元件垂直放置時，為了減小光學元件因自身重力所引入的面形誤差，推薦采用柔性吊帶支撐這種裝夾方式。

圖3 張角分別為15°和30°圓弧工裝夾持的受力變形結(jié)果（單位：m）

圖4 柔性吊帶工裝夾持的受力變形仿真結(jié)果（單位：m）

3 實驗測量與數(shù)據(jù)處理

按照公式所表示的8種組合進行測量，每種組合測量5組×10次=50次，剔除測量結(jié)果中受到振動和空氣擾動影響的數(shù)據(jù)，取有效測量結(jié)果的均值，作為每種組合的測量結(jié)果，進一步計算處理，測量結(jié)果如表1所示。

表1 三平面互檢8組干涉測量結(jié)果1）

根據(jù)奇偶函數(shù)法的數(shù)學模型，編寫三平面互檢的數(shù)據(jù)處理程序，可得到最終A、B、C 3個平面的絕對面形信息。上述測量結(jié)果中包含旋轉(zhuǎn)角度誤差和橫向平移誤差，國外有研究機構(gòu)采用昂貴的精密八維調(diào)整架和特殊的中心對準方法來解決該問題。本文利用圖像處理的方法，基于最小二乘法建立數(shù)學模型，通過優(yōu)化分析得到兩次測量之間的旋轉(zhuǎn)角度偏差及平移誤差，并對測量結(jié)果進行補償。在不考慮鏡片應(yīng)力變形的情況下，最終測量結(jié)果如圖5所示。

通過計算得到，3個面的絕對面形數(shù)據(jù)分別為

A 面：PV_A=0.1041λ，rms_A=0.0194λ

B 面：PV_B=0.1010λ，rms_B=0.0136λ

C 面：PV_C=0.1282λ，rms_C=0.0195λ

若考慮應(yīng)力變形，需將實驗測得的8組數(shù)據(jù)扣除應(yīng)力變形量之后再進行計算。由于柔性吊帶工裝所產(chǎn)生的應(yīng)力變形量最小，因此，僅對該情況進行分析。利用編寫的程序計算得到的面形分布情況如圖6所示。

圖5 未進行應(yīng)力變形補償?shù)腁、B、C 3個平面面形的絕對測量結(jié)果

此時3個面的絕對面形數(shù)據(jù)分別為

圖6 應(yīng)力變形補償后A、B、C 3個面的絕對面形

A 面：PV_A=0.1038λ，rms_A=0.0194λ

B 面：PV_B=0.1009λ，rms_B=0.0136λ

C 面：PV_C=0.1281λ，rms_C=0.0195λ

由圖6可知，3個平面的面形偏差基本為環(huán)狀分布，這與8組干涉測量中的每次測量結(jié)果有區(qū)別。由于3片平面鏡的加工是利用環(huán)形拋光工藝完成的；因此，面形偏差按照環(huán)狀分布與最終測量的分布情況相吻合。此外，將圖5中未進行應(yīng)力變形補償?shù)慕Y(jié)果與圖6進行對比后可知，采用柔性吊帶支撐時，3個鏡片在應(yīng)力變形補償前后其面形偏差分布基本一致。由于重力和裝夾產(chǎn)生的面形變化PV值分別為0.0003λ，0.0001λ，0.0001λ，而 rms值則基本相同。因此，對于φ300mm口徑的石英玻璃鏡片而言，采用柔性吊帶工裝進行夾持所造成的鏡片應(yīng)力變形量非常小，這對于較大口徑光學元件的高精度面形檢測是很有利的。

4 結(jié)束語

本文基于Chiayu Ai和James C.Wyant提出的奇偶函數(shù)法三平面互檢理論，通過8組干涉測量得到3個待測平面的面形數(shù)據(jù)。利用有限元分析的方法研究了不同工裝夾持方式下鏡片因重力所產(chǎn)生的變形情況，并基于有限元仿真計算結(jié)果對三平面互檢的數(shù)據(jù)進行修正和補償。研究結(jié)果表明，對于φ300mm口徑的石英玻璃鏡片，利用柔性吊帶工裝支撐時其面形變化量僅為0.0001λ量級，對測量結(jié)果的影響幾乎可以忽略。

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