閉式整體葉輪的定軸插銑方法*

郭然曹利新/大連理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院

王潔/中國(guó)北車集團(tuán)大連機(jī)車研究所

閉式整體葉輪的定軸插銑方法*

郭然曹利新/大連理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院

王潔/中國(guó)北車集團(tuán)大連機(jī)車研究所

為了在粗加工階段快速去除材料，將閉式整體葉輪通道的定軸插銑的理論模型概括為通道曲面的內(nèi)接柱面的最大體積的優(yōu)化問題。同時(shí)，構(gòu)建并解算了葉輪通道的內(nèi)接柱面沿其直母線方向的投影面積最大的優(yōu)化模型，并提出了閉式葉輪在粗加工中從兩側(cè)進(jìn)刀時(shí)的分段依據(jù)，進(jìn)一步提高了閉式葉輪粗加工時(shí)可去除最大體積粗加工材料。最后，以一輪轂直徑為400mm，葉片個(gè)數(shù)為17的閉式葉輪做數(shù)值算例進(jìn)行仿真，結(jié)果顯示，材料去除比率為49%，驗(yàn)證了所提方法的可行性。

閉式葉輪；定軸插銑；最大內(nèi)接柱面；葉輪通道分段

0 引言

工程中，形狀復(fù)雜的通道類零件往往采用去除材料的方式加工[1]，由于其通道的復(fù)雜扭曲特性，閉式整體葉輪的傳統(tǒng)加工方法多為分層銑削[2-3]，這種方法加工效率偏低，隨著銑削深度加大，其加工效率和質(zhì)量下降。插銑加工法是一種可應(yīng)用于深槽型腔通道類零件的高效加工方法，刀具的受力變形小且剛度高，故十分適合閉式葉輪的粗加工[4-5]。李壘棟等[6]給出了插銑最佳逼近直線計(jì)算方法和葉盤的對(duì)接分層插銑加工路徑。任軍學(xué)等[7]提出了通道偏置直紋包絡(luò)面的生成方法，并給出類閉式整體葉盤五坐標(biāo)插銑刀位軌跡。梁全等[8]推導(dǎo)了五坐標(biāo)插銑加工的行距和步距計(jì)算公式。孫晶和蔡永林[9]提出了一種將刀軸方向與進(jìn)給方向成某一固定角度的插銑加工方法。裴立群等[10]提出將刀具調(diào)整到合適的角度后固定機(jī)床的兩個(gè)旋轉(zhuǎn)軸對(duì)流道加工的辦法。董雷和曹利新[1]將葉輪的定軸插銑理論模型概括為通道曲面的最大內(nèi)接柱面優(yōu)化問題，提出了確定內(nèi)接柱面直母線方向的最小二乘模型與解算方法。本文將定軸插銑法用于閉式葉輪的加工中，構(gòu)建并解算了葉輪通道的內(nèi)接柱面沿其直母線方向的投影面積最大的優(yōu)化模型，并提出了閉式葉輪在粗加工中從兩側(cè)進(jìn)刀時(shí)的分段依據(jù)，進(jìn)一步提高了閉式葉輪粗加工時(shí)的材料的可去除量。

1 閉式整體葉輪通道的定軸粗加工的理論模型

為了快速去除閉式葉輪在粗加工階段的材料，需要構(gòu)建一個(gè)閉式整體葉輪定軸粗加工的數(shù)學(xué)模型[11]。如圖1所示，閉式葉輪的通道是由葉片壓力面Sp、葉片吸力面Ssu、輪轂蓋盤面Ssh和輪轂軸盤面Sh圍成。由于工程中的定軸加工常采用平頭圓柱銑刀，閉式葉輪定軸粗加工后的包絡(luò)面為銑刀圓柱面形成的一般柱面。由閉式整體葉輪的狹長(zhǎng)且極度扭曲的流道結(jié)構(gòu)可知，為了不與形成通道的壓力面Sp、葉片吸力面Ssu、輪轂蓋盤面Ssh和輪轂軸盤面Sh發(fā)生干涉，刀具只能選擇從閉式葉輪的通道進(jìn)口或出口方向進(jìn)入通道。為了在粗加工階段快速去除材料，故要求以刀具包絡(luò)面為邊界的通道柱面盡可能多地去除毛坯的材料。因此，可以將閉式整體葉輪的定軸粗加工的數(shù)學(xué)模型概括為由兩個(gè)葉片曲面和兩個(gè)輪轂面圍成的四個(gè)約束面所圍通道的內(nèi)接柱面的最大體積的求取，見圖1。

圖1 閉式葉輪通道曲面的內(nèi)接柱面圖

設(shè)內(nèi)接柱面的矢量方程為：

式中：s為準(zhǔn)線C的曲線參數(shù)；t為柱面的直母線參數(shù)。準(zhǔn)線C的矢量方程為：

式中：Pi（i=0，1,…，n）為控制頂點(diǎn)；Ni,3（s）為3次規(guī)范B樣條基函數(shù)。

從式（1）、（2）可以看出，求解通道曲面內(nèi)的最大內(nèi)接圓柱面實(shí)際是對(duì)直母線的單位向量b和柱面準(zhǔn)線C的求解，而準(zhǔn)線C則是由若干個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)通過B樣條插值得到，所以該問題可歸結(jié)為對(duì)直母線的單位向量b及準(zhǔn)線數(shù)據(jù)點(diǎn)的求取。在實(shí)際求解中，考慮到直接求解內(nèi)接柱面的體積有一定難度，但由于該體積與內(nèi)接柱面B沿其直母線方向b投影面積大小成正比，當(dāng)投影面積越大時(shí)，則意味著粗加工中的可去除材料越多?；诖耍F(xiàn)構(gòu)造沿直母線方向下的葉片和輪轂面所圍通道投影面積模型，進(jìn)而對(duì)直母線向量b及準(zhǔn)線的數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行同時(shí)求解。

如圖2（a），葉片壓力面Sp、葉片吸力面Ssu、輪轂蓋盤面Ssh和輪轂軸盤面Sh等四個(gè)約束面圍成了通道曲面，b為柱面直母線方向，l為可以貫穿葉輪通道的初始刀軸線，則通道內(nèi)的刀軸軸線的矢量方程為：

式中：P0為通道進(jìn)口的刀軸軸線起始點(diǎn)坐標(biāo)；t為軸線參數(shù)；柱面直母線方向向量b為：

現(xiàn)以l為軸線，平面M依次以固定角度α旋轉(zhuǎn)n次可組成以l為軸線的一組空間平面束。圖2（a）為平面束中第i和i+1個(gè)平面Mi和Mi+1。Mi和Mi+1和通道曲面相交形成交線qi和qi+1。

圖2 到位規(guī)劃區(qū)域的計(jì)算原理圖

在圖2（b）中，設(shè)qi上距離l距離最近的點(diǎn)為Pi*，其到l的距離為hi*。在圖2（c）中，當(dāng)平面繞軸線轉(zhuǎn)過n次（n=12），即可求出n個(gè)距離l最近的點(diǎn)P1*，P2*，……，Pn*,其最短距離分別為h1*，h2*，……，hn*。則在該直母線的方向下，h1*，h2*，……，hn*兩兩依次可組成一個(gè)三角形的兩條邊，當(dāng)n足夠大時(shí)，則通道曲面的投影面積Area表示為n個(gè)三角形面積之和，即：

式中：Area為內(nèi)接柱面的投影面積；n為平面束中平面?zhèn)€數(shù)；α=2π/n為固定角度。

柱面直母線方向b每改變一次，平面束的軸線即刀軸軸線更新一次，隨之產(chǎn)生一個(gè)包含n個(gè)平面的平面束。因此，通道內(nèi)接柱面的投影面積也改變一次。投影面積越大，則意味著在閉式整體葉輪粗加工中可去除的材料越多。另外，在實(shí)際加工中，刀具軸線應(yīng)不與葉片曲面和輪轂面發(fā)生干涉，故需添加刀軸單位向量即柱面直母線方向的刀軸方向以不能穿過葉片曲面和輪轂面為邊界的約束條件。

故該投影柱面優(yōu)化模型可表示為：

式中：-Area為目標(biāo)函數(shù)；i=1，2…n，n為平面束中平面的個(gè)數(shù)，j=1，2…p，p為cij上離散點(diǎn)數(shù)目，hi*是曲線qij上各點(diǎn)到直線l的最短距離；為曲線cij上各點(diǎn)到直線m的最短距離。約束函數(shù)的幾何意義葉輪通道的內(nèi)邊界，在該區(qū)域內(nèi)刀具不會(huì)與葉片曲面發(fā)生干涉。上面模型中的優(yōu)化變量為刀軸的方向矢量，考慮到其為單位向量，故本模型的優(yōu)化變量?jī)H有式（6）中的dx和dy。式（6）所給出的是一個(gè)非線性優(yōu)化模型，其優(yōu)化變量為2個(gè)。該優(yōu)化模型的求解方法將在下一節(jié)討論。

2 優(yōu)化模型的求解

2.1 平面束與輪轂面及葉片面的求交

四個(gè)約束面圍成的通道狹長(zhǎng)而扭曲，平面束的平面往往同時(shí)與四個(gè)約束面均相交。故欲直接求出通道曲面和四個(gè)約束的曲面的交線有一定難度。考慮閉式整體葉輪的葉片曲面[12]是由空間兩條B樣條曲線在其對(duì)應(yīng)的u值上的連線，輪轂面則是B樣條曲線沿z軸的回轉(zhuǎn)面，所以，現(xiàn)首先將葉片曲面在對(duì)應(yīng)u的參數(shù)下離散成一系列線段，而將輪轂面離散成許多的空間圓弧，從而將平面與通道曲面的求交線問題轉(zhuǎn)化為平面與一系列空間線段和圓弧求交點(diǎn)問題，進(jìn)而分別對(duì)所求解交點(diǎn)到刀軸軸線的距離進(jìn)行計(jì)算即可完成投影面積的計(jì)算。即，通過求得這些離散的直線與圓的交點(diǎn)來完成平面束與通道曲面的求交。

圖3 平面與壓力面求交圖

首先是平面束和葉片曲面的離散線段求交，需要聯(lián)立平面方程與直線方程求解。如圖3，設(shè)離散線段所在的直線的點(diǎn)向式方程是：

式中：x0,y0,z0直線上的一點(diǎn)的坐標(biāo)；a,b,c為直線的方向向量。

平面束中的平面的點(diǎn)法式方程為：

式中：x1,y1,z1為平面上一點(diǎn)的坐標(biāo)；A,B,C為平面法向量的點(diǎn)坐標(biāo)。

聯(lián)立式（7）、（8），即可求得空間直線與平面的交點(diǎn)。但考慮在實(shí)際中，葉片離散出來的只是式（7）中直線中的一段線段，為排除交點(diǎn)在線段外的情況，故需在求解前對(duì)線段相對(duì)于平面的位置進(jìn)行預(yù)判，只有線段的兩端點(diǎn)分別位于平面兩側(cè)時(shí)，才進(jìn)行求解。

其次是平面束和輪轂面的離散圓弧求交，需要聯(lián)立平面方程與空間圓方程求解。

圖4 平面與蓋盤面求交圖

如圖4，因?yàn)檩嗇灻媸强臻gB樣條曲線繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)形成的，所以求平面束中某一平面與輪轂面的離散圓弧交點(diǎn)實(shí)際上是輪轂面的離散圓弧與平面束的平面的交點(diǎn)。即需要式（8）和以下兩個(gè)方程聯(lián)立求解。

式（9）中，r為離散圓弧所在空間圓的半徑，式（10）為該離散圓所在平面的方程。

聯(lián)立式（8）（9）（10），其求解結(jié)果必含有一對(duì)解。但在實(shí)際中，與葉片離散直線類似，在通道曲面內(nèi)，輪轂離散出來的只是空間圓上的一段圓弧，所以在求解結(jié)果中，只有一組解位于這段圓弧上。此外，對(duì)于輪轂曲面的離散圓與平面束求交，不僅要在求解前進(jìn)行圓弧和平面位置的預(yù)判，而且要在求解之后對(duì)所求結(jié)果進(jìn)行剔除。

另外，需要說明的是，在對(duì)平面束內(nèi)的一個(gè)平面與葉片面和輪轂面求交的過程中，并沒有對(duì)這一平面進(jìn)行區(qū)域的限制，所以平面束中的每一個(gè)平面，都會(huì)與封閉的通道產(chǎn)生分別在刀軸軸線兩側(cè)的兩組交點(diǎn)。故在實(shí)際求解中，考慮到平面束中的第n/2+i（i≤n/2）個(gè)平面實(shí)則與第i個(gè)平面的平面方程是相同的，故只需對(duì)其第1到n/2個(gè)平面進(jìn)行求解，并將所求的最短距離h*進(jìn)行編號(hào)，進(jìn)而根據(jù)式（5）來計(jì)算通道內(nèi)接柱面投影面積。

2.2 模型的求解

式（6）給出的通道內(nèi)投影面積優(yōu)化模型為二變量的非線性的數(shù)學(xué)模型，本文采用Matlab軟件[13]中的Optimization Toolbox的Fmincon函數(shù)對(duì)該模型進(jìn)行求解，該函數(shù)適合優(yōu)化有約束條件的非線性多變量函數(shù)，求解過程簡(jiǎn)單迅速，其用法介紹如下：

式中：Final為返回的目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解；Fval是返回目標(biāo)函數(shù)在最優(yōu)解Final點(diǎn)的函數(shù)值；Exitflag是返回算法的終止標(biāo)志；Function是調(diào)用目標(biāo)函數(shù)的函數(shù)名；Initial是初始迭代點(diǎn)；lb,ub為變量約束條件矩陣。

3 閉式葉輪通道分段依據(jù)

閉式葉輪通道極其狹長(zhǎng)和扭曲，若單從一側(cè)（即通道進(jìn)口或出口）進(jìn)刀，不僅對(duì)刀具及機(jī)床的剛度要求苛刻，在現(xiàn)實(shí)中難以達(dá)到，而且嚴(yán)重影響加工效率。甚至對(duì)于某些閉式葉輪而言，會(huì)因全局干涉問題而無法加工[14]，故有必要對(duì)通道分段進(jìn)行加工。如圖5（a），為方便計(jì)算及規(guī)劃刀位，故采用壓力面的軸盤線、蓋盤線及吸力面的蓋盤線上等參數(shù)u的三點(diǎn)，來確定一個(gè)平面來做流道的分界面Ku。Ku把閉式整體葉輪的通道分成上下兩個(gè)獨(dú)立的通道，對(duì)于每一個(gè)通道，均可利用式（6）的數(shù)學(xué)模型來優(yōu)化出其投影面積最大的柱面，即圖中B1和B2，設(shè)其體積分別為V1和V2。V=V1+V2越大，則在粗加工階段可去除的材料越多。

圖5 通道分段的確定圖

對(duì)某一固定u值，如圖5a，V=V1+V2，V1和V2分別為柱體B1和B2的體積，可分別利用柱體體積公式求解：

式中：A為柱面在直母線向量方向下的投影面積；h為柱面的高。

以B2為例，如圖5（b），若做一法向量為柱面直母線向量且其邊界為該平面和通道的閉合交線的輔助面Kc，則V2可以表示為：

式中：A2為Kc的面積；h2=為柱面的高；P1為柱體B2準(zhǔn)線數(shù)據(jù)點(diǎn)的中點(diǎn)；Q為分界面Ku與B2的交線的數(shù)據(jù)點(diǎn)的中點(diǎn)。

V1的求解與V2類似，故該優(yōu)化模型可以表示為：

式中：V為閉式葉輪粗加工時(shí)從兩側(cè)進(jìn)刀可去除的總體積；A1，A2，h1，h2分別為通道分段后兩個(gè)獨(dú)立通道的最大內(nèi)接柱面沿其直母線向量方向的投影面積和高；u為參數(shù)葉輪曲線參數(shù)。

該模型的優(yōu)化變量為u，對(duì)于每個(gè)確定的u值，在計(jì)算體積之前，均需要利用式（6）中的數(shù)學(xué)模型對(duì)分段后的兩個(gè)獨(dú)立通道進(jìn)行優(yōu)化，考慮到求解該模型的難度和復(fù)雜度，本文不對(duì)模型的求解做深入討論。在實(shí)際中，而是采取對(duì)一系列固定u值計(jì)算V的方式，確定閉式葉輪的通道的分界面。

4 數(shù)值算例

為了確定通道分界面的參數(shù)u，根據(jù)式（13），本文從0.3～0.7中選取了18個(gè)特定的u值對(duì)體積進(jìn)行了計(jì)算，見表1。

表1 閉式葉輪通道分段的確定表

續(xù)表一

從表1中可以看出，體積V隨著u的增加呈先增大后減小的趨勢(shì)。根據(jù)表中數(shù)據(jù)，最后選擇u=0.63，其最大體積V=227 979.62mm3。

應(yīng)用第2節(jié)所提算法，現(xiàn)針對(duì)一直徑為φ 400mm，葉片個(gè)數(shù)為17的閉式整體葉輪進(jìn)行計(jì)算，n=360，α=1°，計(jì)算精度ε=10-6。利用第2節(jié)介紹方法計(jì)算可得定軸插銑時(shí)其被分界面Ku分割后的進(jìn)口和出口處進(jìn)刀時(shí)的最佳刀具單位矢量分別為：

圖6為閉式整體葉輪分兩段后的最大內(nèi)接邊界、插銑刀心位置和加工仿真，刀具直徑分別為φ10mm和φ20mm。

有了刀具軌跡，就可以對(duì)閉式葉輪通道的粗加工進(jìn)行仿真了。圖7為葉輪通道仿真加工后的結(jié)果，兩條紅線所在平面為通道分段面Kc，從圖中可以看出，采取對(duì)閉式葉輪通道進(jìn)行分段加工的策略，不僅使閉式葉輪的粗加工成為可能，而且通過對(duì)分段后的兩個(gè)通道采用不同的粗加工刀具直徑進(jìn)行加工，也在保證加工效率的情況下，增加了葉輪的材料支隊(duì)率。即在分段參數(shù)u=0.63的情況下對(duì)閉式葉輪通道進(jìn)行分段，對(duì)材料支隊(duì)率進(jìn)行計(jì)算，葉輪通道粗加工的材料支隊(duì)率達(dá)到49%，驗(yàn)證了算法的可行性。

圖6 投影面內(nèi)刀位軌跡規(guī)劃圖

圖7 插銑加工仿真圖

4 結(jié)論

為了提高整體閉式葉輪在粗加工階段的材料的可去除量，構(gòu)建了閉式整體葉輪通道的定軸粗加工的理論模型，將其概括為通道曲面的內(nèi)接柱面的最大體積的優(yōu)化模型。根據(jù)閉式葉輪通道的結(jié)構(gòu)和形狀特點(diǎn)，對(duì)組成通道的四個(gè)約束面分別進(jìn)行離散，即通道的兩葉片曲面離散成空間線段，轂咸肉轂面離散成空間圓弧，將平面束與復(fù)雜曲面的求交問題轉(zhuǎn)化為平面與空間線段和圓弧求交的問題。然后利用MATLAB計(jì)算可得上下各通道柱面的最佳刀軸矢量為0.211 3i-0.592 8j+ 0.777 1k和-0.112 3i-0.958 4j+0.263 4k。另外，提出了閉式葉輪通道粗加工時(shí)的分段依據(jù)，選取了一系列特定參數(shù)u值（u=0.3～0.7）對(duì)其進(jìn)行了計(jì)算，選取其中體積最大的參數(shù)u=0.63作為分段依據(jù)。最后，針對(duì)一直徑為φ400mm,葉片個(gè)數(shù)為17的閉式整體葉輪的粗加工進(jìn)行了計(jì)算，n=360，α= 1°,計(jì)算精度ε=10-6，計(jì)算結(jié)果顯示，粗加工的材料去除率達(dá)到49%，驗(yàn)證了算法的正確性。

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Plunge Milling Method w ith Fixed Rotating Axis ofa Closed Impeller

Guo Ran,Cao Lixin/School of Mechanical Engineering,Dalian University of Technology;
Wang Jie/CNR Dalian Locomotive Research Institute Co.,Ltd.

In order to remove material quickly at the stage of roughmachining ofa closed impeller,the theoretical model of the plungemilling of an impellerwith fixed rotating axis is summarized as an optimization problem of finding the maximum volume of the inscribed general cylindrical surface of the impeller’s tunnel surface.Meanwhile,an optimization model with the maximum projected area of the cylinder of impeller channel along the tool axis direction is established and calculated. The basis for determining the two segments from both sides of the closed impeller in roughmachining is proposed,it has further improved the ability of removing the rough machining material with maximum area of a closed impeller.Finally,the correctness of thesemethods is verified by an impeller with a wheel diameter of f400mm and blades number of 17 and the remove ratio of49.00%.

closed impellers;plunge milling with fixed rotating axis;maximum inscribed general cylindrical surface; impeller channeldivision

TP391；TK05

A

1006-8155（2015）04-0069-07

10.16492/j.fjjs.2015.04.028

國(guó)家自然科學(xué)基金（51175065）

2015-03-03遼寧大連116023