無界區(qū)域R1上的非線性梁方程的全局吸引子*

姜金平, 張曉明

(延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000)

?

無界區(qū)域R1上的非線性梁方程的全局吸引子*

姜金平, 張曉明

(延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000)

研究了無界區(qū)域R1上的非線性梁方程，運(yùn)用算子分解和帶權(quán)空間上構(gòu)造緊算子的方法，得到了該方程在無界區(qū)域R1上存在全局吸引子.

非線性梁方程；全局吸引子；算子分解

研究一類非線性梁方程，其形式如下

utt+Δ2u+δut+g(u)=h

(1)

u(x,0)=u1(x),ut(x,0)=u2(x)

(2)

其中u(x,t)描述了橋面在豎直平面內(nèi)的變形，t∈R+,x∈R1；δ表示黏性阻尼.研究方程(1)這樣具有耗散性質(zhì)的無窮維動(dòng)力系統(tǒng)解的長時(shí)間性態(tài)是數(shù)學(xué)物理中的一個(gè)重要問題[1].有關(guān)無界區(qū)域上的緊吸引子的存在性問題主要困難在于Hs(Rn)嵌入Hs1(Rn)(s>s1)是不緊的，即無界區(qū)域上Sobolev嵌入定理不再成立.1990年BabinAV修正了“緊正向不變集”[2]條件，引入帶權(quán)空間構(gòu)造緊算子，從而解決了無界區(qū)域上全局吸引子的存在性問題.文[3]研究了方程(1)在有界區(qū)域上的全局吸引子的存在性，但方程(1)在無界區(qū)域上的全局吸引子的存在性尚無結(jié)果.本文采用文獻(xiàn)[4]和[5]中的算子分解技巧，解決了Hs(R1)嵌入Hs1(R1)(s>s1)不緊的問題，并且利用Kuratowskiα-非緊測(cè)度證明了解算子S(t)的漸近光滑性，最后由HaleJK[5]的定理得到無界區(qū)域R1上的非線性梁方程(1)-(2)全局吸引子的存在性.

1 解算子S(t)的存在性

E0=H2×L2(R1);E1=H3×H1(R1);E2=H4×H2(R1)

用‖·‖Ei(i=0,1,2)分別表示Ei中的范數(shù).文中后面將會(huì)多次用到下面的Gagliardo-Nirenberg不等式

(3)

假設(shè)非線性函數(shù)g滿足下面的條件：

設(shè)任意有界集B0?E0,根據(jù)Poincare不等式，存在常數(shù)λ1使得

‖Δu‖≥λ1‖u‖

(4)

引理1 設(shè)δ>0,h(x)∈L(R+;L2(R1)),g(u)滿足條件(H1)-(H3),?(u1,u2)∈E0,則(u,ut)∈L(R+;E0(R1))且存在t1(R)>0,?t≥t1(R),‖(u1,u2)‖E0≤R,有‖(u,ut)‖E0≤C.

證明 由條件(H1)、(H3),對(duì)任意u∈H2(R1),存在僅依賴于u的常數(shù)K1、K2,使得

(5)

(6)

(7)

用ν=ut+εu與(1)在L2中作內(nèi)積得：

(8)

根據(jù)(4)、(7)及H?lder不等式和Young′s不等式得

(9)

(10)

利用(6)式可得

(11)

結(jié)合(9)、(10)和(11)，由(8)可得

(12)

(13)

則由Gronwall引理可得

(14)

再利用Gagliardo-Nirenberg不等式‖u‖2≤C‖u‖‖Δu‖,則引理1得證.

引理2 設(shè)δ>0,h(x)∈L(R+;H1(R1)),g(u)滿足條件(H1)-(H3),?(u1,u2)∈E1,則(u,ut)∈L(R+;E1(R1))且存在t2(R)>t1(R),?t≥t2(R), ‖(u1,u2)‖E1≤R,有‖(u,ut)‖E1≤C.

證明 用-Δν=-Δut+εΔu與(1)在L2中作內(nèi)積，并用引理1可得

+(δ-ε)‖ν‖2+ε3‖u‖2+(g(u),-Δν)≤(h,-Δν)+εδμ2

(15)

由條件(H2)、Young′s不等式和引理1，存在常數(shù)K3>0,使得‖g′(u)‖≤K3,則

≤K3‖u‖‖ν‖≤ε‖ν‖2+C2

(16)

C2是依賴于K3、μ2、ε的常數(shù).同樣有：

(h,-Δν)≤ε‖ν‖2+C3

(17)

C3是依賴于‖h′‖、μ2、ε的常數(shù).

+2ε3‖u‖2≤4L2+2εδμ2

(18)

記φ2(t)=‖Δu‖2+‖ν‖2+ε2‖u‖2.則對(duì)充分小的ε,有

(19)

由(3)式和Gronwall引理可得引理2.

引理3 設(shè)δ>0,h(x)∈L(R+;H2(R1)),g(u)滿足條件(H1)-(H3),?(u1,u2)∈E2,則(u,ut)∈L(R+;E2(R1))且存在t3(R)>t2(R),?t≥t3(R),‖(u1,u2)‖E2≤R,有‖(u,ut)‖E2≤C

證明 用與引理1和引理2相同的方法可證該引理.

推論1 設(shè)h(x)∈L(R+;H2(R1)),?(u1,u2)∈E2,有(u,ut)∈L(R+×R1).

定理1δ>0,h(x)∈L(R+;H1(R1)),g(u)滿足條件(H1)-(H3),對(duì)任意(u1,u2)∈E1,方程(1)-(2)存在唯一解(u,ut)∈L(R+;E1(R1))且解算子S(t)是E1到E1連續(xù)的并有有界吸收集B1?E1(R1).

證明 由文獻(xiàn)[6]中標(biāo)準(zhǔn)的Faedo-Galerkin方法易證解的局部存在，然后利用引理1和引理2的估計(jì)得解的整體性，唯一性可由S(t)在E1的連續(xù)性得到.

定理2δ>0,h(x)∈L(R+;H2(R1)),g(u)滿足條件(H1)-(H3),對(duì)任意(u1,u2)∈E2,方程(1)-(2)存在唯一解(u,ut)∈L(R+;E2(R1))并有S(t)是E2到E2連續(xù)的且存在有界吸收集B2?E2(R1).

該定理的證明與定理1類似.

2 算子分解

當(dāng)L→+時(shí)，由于h(x)∈H2(R1),則序列hλL在H2(R1)上趨于h(x).對(duì)任意的ξ∈(0,1),有L(ξ)>0,使得

(20)

(21)

下面分解方程(1)-(2)對(duì)應(yīng)的解算子S(t)=S1ξ(t)+S2ξ(t),其中S1ξ(t)滿足S1ξ(t)(u1,u2)=(uξ,uξt)是如下方程的解：

uξtt+Δ2uξ+δuξt-ξΔuξ+g(uξ)=h-hξ-ξΔu

(22)

uξ(x,0)=u1(x),uξt(x,0)=u2(x)

(23)

記(wξ,wξt)=S2ξ(t)(u1,u2)是如下方程的解：

wξtt+Δ2wξ+δwξt-ξΔwξ+g(wξ)=hξ

(24)

(25)

引理4 在引理3的條件下，存在常數(shù)C>0,使得

證明 用νξ=uξt+εuξ與(22)在L2中作內(nèi)積，由引理1的估計(jì)可得

+δ‖νξ‖2+2ξε‖uξ‖2+2εC1φ(u)+2εC1K1

≤‖h-hξ‖‖νξ‖+ξ‖Δuξ(1-λL(ξ))‖‖νξ‖+2εK2+2εC1K1

(26)

(27)

‖Δuξ‖2+‖uξ‖2+‖uξ‖2+‖uξt‖2≤C,?ξ∈(0,1),?t≥0

(28)

存在t1(ξ)>0,使得

‖Δuξ‖2+‖uξ‖2+‖uξ‖2+‖uξt‖2≤Cξ,?ξ∈(0,1),?t≥t1(ξ)

(29)

下面用-Δνξ=-Δuξt-εΔuξ和Δ2νξ=Δ2uξt+εΔ2uξ分別與(22)作內(nèi)積，作與上面類似的討論有

‖Δuξ‖2、‖Δ2uξ‖2、‖uξt‖2、‖Δuξt‖2≤C,?ξ∈(0,1),?t≥0

且存在t4(R)≥t3(R),使得

‖Δuξ‖2、‖Δ2uξ‖2、‖uξt‖2、‖Δuξt‖2≤Cξ,?ξ∈(0,1),?t≥t4(R)

引理證畢.

引理5 在引理3的條件下，存在一常數(shù)C(ξ)>0,使得

證明 由于u和ut在H4(R1)和H2(R1)中有界，uξ和uξt也在H4(R1)和H2(R1)中有界，則wξ=u-uξ在H4(R1)中有界且wξt=ut-uξt在H2(R1)中有界，因此由(24)得(wξtt,wξtt)=(ξΔwξ+hξ-Δ2wξ-δwξt-g(wξ),wξtt),則

‖wξtt‖2≤‖wξtt‖(‖ξΔwξ‖+‖hξ‖+‖Δ2wξ‖+‖δwξt‖+‖g(wξ)‖)

引理證畢.

(30)

(31)

并且有估計(jì)式

(32)

引理6 在引理2的條件下，存在常數(shù)C(ξ)>0,使得

(ξ),?ξ∈(0,1)

證明 用ψη=ψwξt+εψwξ與(24)作內(nèi)積得

(33)

其中

下面對(duì)各項(xiàng)作估計(jì)

再用相同的方法估計(jì)下面幾項(xiàng)

再用-ψΔη=-ψΔwξt-εψΔwξ與(24)作內(nèi)積，同上可得

引理證畢.

3 全局吸引子的存在性

引理7[3,7]設(shè)s>s1,s、s1為整數(shù)，則Hs(Rn)∩Hs1(Rn;(1+x2)dx)到Hs1(Rn)緊嵌入.

定理3δ>0,h(x)∈L(R+;H2(R1)),g(u)滿足條件(H1)-(H3),由(1)-(2)所生成的解半群S(t)在E1中有全局吸引子它按E1的拓?fù)湮鼸2中的任意有界集.

α(S(t)B)≤α(S1ξ(t)B)+α(S2ξ(t)B)=α(S1ξ(t)B)≤ε,?t≥0

[1] 金俊林，王萬雄.非線性可拉伸梁方程非自洽指數(shù)吸引子的存在性[J].云南民族大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2013，22(5)：341-345.

[2]BABINAV,VISKIKMI.Attractorsofevolutionequations[M].NewYork：ElsevierSciencePublishingCompany,1992.

[3] 馬巧珍，孫春友，鐘承奎.非線性梁方程強(qiáng)全局吸引子的存在性[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)：A輯，2007，27(5)：941-948.

[4]GUOBOLING,LIYONGSHENG.AttractorfordissipativeKlein-Gordon-SchrodingerequationsinR3[J].J.Diff.Eq.,1997,136(2)：356-377.

[5]LIYONGSHENG,GUOBOLING.AttractorfordissipativeZakharovequationsinanunboundeddomain[J].ReviewsinMathPhysics,1997,9(6)：675-687.

[6]TEMAMR.Infinitedimensiondynamicalsystemsinmechanicsandphysics[M].NewYork：Springer-Verlag,1988.

[7]HALEJK.Asymptoticbehaviorofdissipativesystems[M].NewYork:AmericanMathematicalSociety,1988.

[8]BABINAV,VISKIKMI.Attractorsofparticaldifferentialevolutionequationinanunboundeddomain[J].Proc.Roy.Soc.Edinburgh,1990,116(A)：221-243.

Global Attractor of the Nonlinear Beam Equations on Unbounded DomainR1

JIANG Jin-ping, ZHANG Xiao-ming

(College of Mathematics and Computer Science,Yan′an University,Yan′an 716000,China)

The nonlinear beam equations represent the vibration of the rode bed in downward direction.The nonlinear beam equations is investigated on unbounded domain R1.Byapplyingthemethodofdecomposingoperatorandconstructingcompactoperatorinweightedspace,theexistenceofglobalattractorisobtainedinR1.

Nonlinear beam equation；Global attractor；Decomposition of operator

2015-05-19

陜西省科技計(jì)劃資助項(xiàng)目(2014K15-03-07)；陜西省教育廳科研基金資助項(xiàng)目(14JK1841)；延安市科技計(jì)劃資助項(xiàng)目(2013-KS03).

姜金平(1974-)，男，陜西洛川人，博士，副教授，碩士生導(dǎo)師,主要從事無窮維動(dòng)力系統(tǒng)方面研究.E-mail：yadxjjp@163.com.

姜金平.

O

A

1007-9793(2015)04-0034-07