淺談定義教學

摘 要：在數(shù)學教學中要講清概念、定義，不能讓學生只知道按“規(guī)定”解題；要使學生深刻地理解概念，有興趣地接受“定義”，明確概念的實質，知道來龍去脈，營造生動活潑、積極主動的學習氛圍，是提高教學質量的重要課題。在此筆者談談在教學中的幾點體會。

關鍵詞：數(shù)學教學 定義教學

一、指導學生弄清概念的源頭

課本中許多教學概念，都是來自于勞動人民的實踐，然后通過抽象總結出來的。要想讓學生深刻理解概念，必須講清它的來源。如：正負數(shù)、數(shù)軸、無理數(shù)、絕對值、分數(shù)、函數(shù)、直角坐標系，各種幾何圖形的周長、面積等概念，都是從日常生活、勞動中產生出來的。講清它的來龍去脈，就可以使學生從抽象的、枯燥無味的數(shù)學概念中走出來，從而越學越有興趣。就正負數(shù)而言，若是呆板地講：正數(shù)就是帶“+”號或不帶符號的，負數(shù)就是帶“-”號的數(shù)，學生只能是死記硬背了。若是這樣講：正數(shù)，它的意義是生活中的運進、上升、收入、積余等，負數(shù)意義是相反的，是運出、下降、支出、虧損等；再者，若規(guī)定回家是向南走數(shù)為正，但你卻向北走則數(shù)為負，恰好相反。這樣講，學生初步弄清了正負數(shù)是相反意義的兩種數(shù)，比較著去記這兩種數(shù)，同時弄清了數(shù)的實質，然后結合數(shù)軸，用數(shù)形結合的方法來講清相反數(shù)、絕對值的有關概念。這樣學生就會明白，定義不是隨便總結出來的，也不是書本上原來就規(guī)定好的，而是對客觀模型科學抽象的結果。

二、講清各種名詞的意義

課本上常出現(xiàn)一些名詞：“一般形式”“標準形式”“最簡形式”“基本性質”以及一般“計算性質”等等。講清了它們的意義，有利于學生在解題中不出現(xiàn)結論性問題。

1.弄清“一般形式”的作用

討論“一般形式”就是討論從許多的式子里找出的代表。它們來自于代數(shù)式、方程、函數(shù)式等概念中。如整式、分式、根式、一次函數(shù)的一般形式，二次函數(shù)的一般形式，指數(shù)函數(shù)的一般形式等，一般形式是各種各類形式的總結。對一般形式的討論得到具體的結論，可以用來解決各種形式各種類型的問題。就二次函數(shù)來說，對它的一般形式[y=ax2+bx+c（a≠0）]進行討論，可以總結得到五個實用性質：頂點坐標、對稱軸方程、開口方向、函數(shù)的最值、函數(shù)的增減性。這五條對二次函數(shù)來說，無論是對圖像、對應用、對解題都是極其重要的。

2.知道什么是“最簡形式”

數(shù)學中的任何計算、化簡，要求其結果必須是“最簡形式”，否則不能作為數(shù)學結論。通常研究的是最簡多項式、最簡分式、最簡根式等，為什么要規(guī)定出一個最簡形式？很容易知道，我們對于所研究的對象，為了突出其本質的屬性，總要盡量在外形上化簡。以二次根式為例，凡滿足：“被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式，稱最簡二次根式”。如果沒有這個定義性概念，我們從事二次根式的化簡，計算就會出現(xiàn)盲目性，可以說無從下出結論，不知道該到哪一步為止。許多二次根式的形式從表面上看，都是最簡形式，但通過質因數(shù)分解及因式分解，可以分解出平方數(shù)和平方式來，還可繼續(xù)化簡，這就是說“最簡形式”很重要，否則解決什么問題就沒有個標準了。

3.弄懂“標準形式”的作用

一次函數(shù)、二次函數(shù)、一元二次方程都有標準形式，尤其是雙曲線的標準方程、橢圓的標準方程更為突出。以一元二次方程為例：將一般形式的一元二次方程化成標準形式，即左邊是按降冪排列的一元二次式，右邊是零，就可以用求根公式、因式分解等方法來求根，就可以討論它根的性質。如果沒有一個標準形式，解決一元二次方程的許多問題都會出現(xiàn)本質上的問題，它的根和根的性質就沒法研究了?，F(xiàn)在我們對拋物線、橢圓的研究，首先研究標準形式所起的作用，因此對于能起決定作用的方程，稱標準形式的方程。

4.理解透“基本”性質、定理、公式的意義

“基本”性質很多，如分式的基本性質、根式的基本性質等。分式的基本性質是：分式的分子、分母都乘以或除以同一個不為零的整式，分式的值不變。這條基本性質，在分式的所有問題的處理中起著“基礎”和“決定”性作用。這條前人規(guī)定的基本性質，在我們后人看來尤其重要和恰當。再從普通物理學變速運動公式來講，很多難以解決的速度變化、時間變化，用它來計算就能很快解決問題。因此，我們深刻體會到基本公式的重要性和必要性。

三、特別強調一些字母的名稱變化

同一字母，在不同的式子里出現(xiàn)，就會有不同的名稱和取值范圍，對于一些名稱的改變，學生難以理解和掌握，教師要講清這些字母的實質變化，幫助學生理解掌握其要點。如：ab=N， =a，logaN=b三式子中a，b，N分別稱為：底數(shù)和根；指數(shù)、根指數(shù)、對數(shù)；冪、被開方數(shù)、真數(shù)。同一個字母有幾種不同的稱呼。為什么要改變其名稱？由于問題的性質變化，字母的位置與作用也隨著改變。為了使“名稱”能更好地反映問題的本質，名稱就應該相應改變，這一點在課堂上應詳細地做描述解釋 。

四、特別注意定義的合理性

給概念下定義，就是揭示概念的本質屬性，由于定義揭示了概念的本質屬性，因此就明確了該概念的正確定義，除反映事物的本質屬性外，還應遵循一些原則。我們在教學中不好向學生提出這些原則，但也要由淺入深地講清各種定義的合理性，使學生感到這樣規(guī)定是很自然的，符合實際的和恰到好處的。例如：當n是正整數(shù)時，bn是表示n個b相乘；當n是實數(shù)時，這時bn就不能看成“n個b相乘了”，如：2，50，不能說是有個2相乘或0個5相乘。通常在客觀實際中，遇到的冪指數(shù)并不都是正整數(shù)。如：0-1，0，00……，都沒有意義，可是客觀實際的需要和指數(shù)本身的矛盾性都要求人們把指數(shù)概念加以推廣，即將n的取值范圍擴大到實數(shù)范圍，因此要對bn重新定義。在這一點上要對學生強調：為了使概念適用于更大的范圍，就必須擴展原有的概念，重新給它定義。這樣，我們雖然仍采用原來的名稱與符號，但其取值范圍和實質內容已經較前更為完善了。

五、防止概念模糊，亂用相近性質

許多學生對于概念掌握不牢，理解不透，往往出現(xiàn)一些問題。

1.原逆命題模糊

（1）原命題成立，就誤認為逆命題也成立，或不加思考，亂用逆命題的結論，如“1的任何次冪都得1”，所以“1的任何次方根仍得1”。

（2）把逆定理當做原定理，例如：在驗根時，不少學生這樣說：“x1+x2=-p x1·x2=q x1，x2一定為方程x2+px+q=0的根，這是韋達定理”，其實也已經是原逆命題倒置了。

2.定義定理模糊

主要有以下兩種：

（1）誤把定理當定義，或者相反把定義當做定理。如“一組對邊平行且相等”，就是平行四邊形的定義。

（2）循環(huán)定義：用A作B的定義，又用B作為A的定義，彼此混亂。如認為直角就是含90°的角，而一度的角就是直角的九十分之一。

3.種屬概念模糊

認為“無理數(shù)的定義就是開方不盡根的數(shù)”；實部等于0的復數(shù)叫純虛數(shù)等現(xiàn)象。對這樣或那樣的模糊概念，教師應加強糾正和指導。

六、小結

總之，定義即是對某（類）對象認識的結果，它必須具有明確性即確定性。教師要想方設法讓學生對概念學習引起重視，引導學生對定義產生興趣，弄清所有定義的來龍去脈，以免在計算化簡等變化中出現(xiàn)不必要的錯誤。

（作者單位：安徽省合肥市長豐縣技工學校）