技工院校數(shù)學(xué)教學(xué)中的換元法及其應(yīng)用

摘要：該文就當(dāng)前技工院校數(shù)學(xué)教學(xué)中的換元法進(jìn)行了基本介紹和分析。依據(jù)具體應(yīng)用方法的不同，換元法主要可以概括為均值換元法、局部換元法和三角換元法。在各種例題中，換元法主要實(shí)現(xiàn)了化分式為整式，化無理為有理，化高次為低次，通過對(duì)其運(yùn)用的總結(jié)和分析，有利于進(jìn)一步了解換元法的本質(zhì)，從而更好的將其運(yùn)用到數(shù)學(xué)解題中。

關(guān)鍵詞：技工院校 數(shù)學(xué)教學(xué) 換元法 應(yīng)用

中圖分類號(hào)：G71 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2015）05（a）-0000-00

所謂的換元法，就是指在具體的解題過程中將某個(gè)復(fù)雜的式子轉(zhuǎn)化為一個(gè)有機(jī)整體，取一變量替代之，進(jìn)而將復(fù)雜的問題簡單化。換元法的關(guān)鍵是設(shè)元和構(gòu)造元，等量代換是其最基本的理論基礎(chǔ)，最終目的是研究對(duì)象的變換，將原有的問題放在新的背景中去探索和研究，進(jìn)而將復(fù)雜的問題簡單化、標(biāo)準(zhǔn)化。

1局部換元法

局部換元法也叫整體換元，是用一個(gè)字母代替多次出現(xiàn)的代數(shù)式，通過變形的方式將復(fù)雜的問題簡單化。

換元法例題1.已知f（3x+4）=4x+3，求f（4）的值。

【換元法思路解題】我們可以令a=3x+1（a∈R），∴x= ，∴f（a）=4（ ）+3= ，所以f（4）= 。

【換元法例題解析】 此題是局部換元法的典型，假設(shè)a=3x+1（a∈R）以后，則應(yīng)牢牢把握x與a之間的內(nèi)在聯(lián)系，轉(zhuǎn)化二次函數(shù)閉區(qū)間的值域，這樣對(duì)解題有利。換元過程中，要確定（a∈R）這個(gè)新的參數(shù)范圍，并將其與a=3x+1進(jìn)行對(duì)應(yīng)。本題除了涉及換元解題法以外，還包含了分類討論法，也就是在確定閉區(qū)間和對(duì)稱軸位置關(guān)系的基礎(chǔ)上討論參數(shù)情況。

2三角換元

在利用三角換元法解答數(shù)學(xué)習(xí)題時(shí)，要將三角知識(shí)與已知代數(shù)中的某些知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行有機(jī)聯(lián)系。例如，學(xué)生在求解函數(shù)y=√1-x^2的值域時(shí)，假設(shè)x∈[-1，1]，那么有x=sinα，sinα∈[-1，1 ]，如此一來，該問題就可以轉(zhuǎn)化為較為簡單的求三角函數(shù)值域問題。而要順利解決問題，最重要的就是發(fā)現(xiàn)值域之間的關(guān)聯(lián)，假設(shè)變量x、y滿足于x^2+y^2 =r^2（r>0），那么即可設(shè)x=rcosθ、y=rsinθ，從而將問題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)問題。

換元法例題2.已知x、y為實(shí)數(shù)，且滿足4x2-5xy+4y2 =5。（①式），假設(shè)S=x2+y2，試求 + 的值。

【換元法例題的思路】知道了S=x2+y2，那么可以用cos2α+sin2α=1進(jìn)行三角換元，設(shè) ，并帶入公式①中，就可以求得Smax和Smin。

【換元法例題思路的總結(jié)】 該解法主要由 = 代換而來，換元后，減少了變量的個(gè)數(shù)。此方法需要學(xué)生對(duì)代數(shù)的變形掌握的非常熟練。尤其是在求解高次方程的過程中，善于利用換元法，進(jìn)而降低方程次數(shù)。

借助換元法能有效解決數(shù)學(xué)中常見的問題，進(jìn)一步拓寬學(xué)生的視野，培養(yǎng)其良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和興趣。適當(dāng)?shù)倪\(yùn)用換元法能將復(fù)雜的問題簡單化，將難以解決的問題解決，進(jìn)而勇攀數(shù)學(xué)的高峰。

參考文獻(xiàn)

1、于志洪 應(yīng)用換元法巧解中考數(shù)學(xué)題 《讀寫算》（中考版） 2007年7月

2、楊富成 淺談?chuàng)Q元法的應(yīng)用 《基礎(chǔ)教育論壇》 2010年12期

3、和洪云 “換元法”在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用 《大理學(xué)院學(xué)報(bào)》2010年第四期