久期與利差乘積：信用債量化分析新視角

摘要：市場經(jīng)驗與實證研究均表明，信用債利差絕對波動率與利差水平存在顯著的線性關(guān)系。DTS（利差與久期的乘積）作為一種量化分析工具，可以準(zhǔn)確測算信用債投資收益與信用利差的變動關(guān)系。本文選取中債-新中期票據(jù)總指數(shù)所包含的在銀行間市場流通的、信用評級在AA-至AAA的中票和城投債日頻中債估值作為樣本，計算并驗證了DTS的實用性和穩(wěn)定性，并提出一個基于DTS的市場隱含風(fēng)險評分體系，最后把該評分體系應(yīng)用于城投債相對價值的評估，得到了良好的效果。

關(guān)鍵詞：久期與利差乘積""DTS""信用債""信用利差

DTS介紹

DTS（Duration"Times"Spread）代表利差久期（對于固定利率信用債而言，利差久期等于標(biāo)準(zhǔn)久期）與利差的乘積，是由美國原雷曼兄弟公司負(fù)責(zé)量化投資策略的Arik"Ben"Dor等人在2007年提出的信用債分析方法中使用的變量。DTS作為描述信用債綜合風(fēng)險的量化分析工具，包含了信用評級、待償期、發(fā)行人及行業(yè)等各方面因素，在美國被廣泛應(yīng)用于信用債投資組合風(fēng)險管理。

對于信用債投資組合風(fēng)險的衡量，傳統(tǒng)分析方法是利用加權(quán)久期來測算信用利差平行變化時投資組合價值的變化，但僅僅利用久期并不能全面衡量信用債投資組合的風(fēng)險。在市場中普遍存在的現(xiàn)象是信用利差越大的信用債，其所代表的系統(tǒng)性風(fēng)險也越大，在市場波動時其利差波動也越劇烈，使用DTS可以將久期和利差結(jié)合起來，更準(zhǔn)確地描述其風(fēng)險。例如，在同一個投資組合中，一只權(quán)重為5%、信用利差為80bps、久期為3年的信用債與另一只權(quán)重為3%、信用利差為50bps、久期為8年的信用債，對組合的風(fēng)險貢獻程度是一樣的。

假設(shè)一只信用債的久期為，由利差絕對變化而帶來的收益為：

（1）

利用利差相對變化，可以將其表示為：

（2）

正如久期衡量了絕對利差變化對于投資收益的影響，DTS衡量了利差相對變化對于投資收益的影響。

信用債的超額收益率（Excess"Return）主要由兩部分組成：信用利差的持有收益（Spread"Carry）和利差變化所帶來的收益（Spread"Change"Return）。利用公式（1）和（2），可以測算超額收益率波動率與利差絕對波動率和相對波動率之間的關(guān)系。

影響超額收益率波動率的主要是利差隨機變化所帶來的收益，可以用公式（3）表示：

（3）

同樣，可以利用利差相對波動率，將其表示為：

（4）

所以，信用利差絕對波動率與相對波動率之間的關(guān)系可以表示為：

（5）

DTS數(shù)據(jù)分析

為了驗證信用利差相對波動率是一個穩(wěn)定的數(shù)值，本文選取中債-新中期票據(jù)總指數(shù)所包含的在銀行間市場流通的、信用評級為AA-至AAA級的中票和城投債日頻中債估值作為數(shù)據(jù)樣本，時間區(qū)間為2013年12月至2014年9月，含880只債券210個交易日的數(shù)據(jù)，共計184800個日頻數(shù)據(jù)。通過簡單計算，得到月度平均利差絕對和相對波動率見表1。

根據(jù)表1數(shù)據(jù)，可以得到月度利差相對波動率的平均值為8.95%，這一數(shù)值與DTS的提出者Arik"Ben"Dor等人利用美國巴克萊投資級信用債指數(shù)的計算結(jié)果9.1%非常接近。這表明，一只信用利差在100bp的信用債，月均利差變化在9bp左右。因此，本文將利差月度相對波動率稱為信用債的9%規(guī)律：

（6）

值得注意的是，9%規(guī)律適用于大部分時期的市場波動。當(dāng)黑天鵝事件發(fā)生，市場出現(xiàn)極端波動的情況時，會隨之增大。經(jīng)計算，2013年6月“錢荒”發(fā)生時，。

圖1""絕對和相對波動率的變化情況

（編輯注：圖例“絕對波動率”改為“絕對波動率（左軸）”，“相對波動率”改為“相對波動率（右軸）”）

數(shù)據(jù)來源：中債綜合業(yè)務(wù)平臺、Wind資訊

從圖1可以看出，信用利差絕對波動率難以預(yù)測，而相對波動率則比較平穩(wěn)，從2013年12月至2014年9月一直保持在9%左右。

另一方面，為了驗證超額收益率波動率與DTS之間存在的線性關(guān)系（設(shè)置截距為0，斜率為），將樣本數(shù)據(jù)的超額收益率波動率與對應(yīng)的DTS進行回歸分析?；貧w結(jié)果（見表2）顯示，與DTS之間存在非常顯著的線性關(guān)系。

表2""超額收益率波動率與DTS回歸分析結(jié)果

回歸統(tǒng)計

R"Square

0.988

Adjusted"R"Square

0.845

標(biāo)準(zhǔn)誤差

0.044

X"Variable"1

Coefficient

0.078

標(biāo)準(zhǔn)誤差

0.003

t-statistic

23.850

數(shù)據(jù)來源：中債綜合業(yè)務(wù)平臺、Wind資訊

本節(jié)通過數(shù)據(jù)分析驗證了兩個推論：（1）信用債相對波動率的9%規(guī)律;（2）超額收益率波動率與DTS之間存在顯著的線性關(guān)系。對這兩個推論的驗證，本文并沒有對信用債的行業(yè)、發(fā)行人、待償期、信用評級等進行明確分類，而是綜合了中債-新中期票據(jù)總指數(shù)中所有AA-至AAA級的中票和城投債，這表明兩個推論基本適用于我國大多數(shù)信用債的風(fēng)險價值判斷。

DTS理論證明

在通過數(shù)據(jù)分析進行驗證之后，本文再利用默頓（Merton）的結(jié)構(gòu)化模型對信用利差與絕對波動率之間的線性關(guān)系進行理論證明。根據(jù)默頓結(jié)構(gòu)化模型的假設(shè)，發(fā)行人的所有負(fù)債用一個到期日為的零息債券代表，假設(shè)無風(fēng)險利率為，則有：

（7）

發(fā)行人的總資產(chǎn)用代表，假設(shè)遵循一個幾何布朗運動：

（8）

其中，為均值，為了簡化起見，設(shè);為波動率;是維納過程。

那么，剩下的凈資產(chǎn)可以用一個看漲期權(quán)代表：

（9）

所以，信用利差對總資產(chǎn)變化的靈敏度：

（10）

假設(shè)總資產(chǎn)的變化是導(dǎo)致信用利差變化的唯一變量：

（11）

那么絕對波動率可以用下面公式表示：

（12）

假設(shè)總資產(chǎn)投資收益波動率是個常數(shù)，由于：

（13）

其中，，為隨機變量的累積分布函數(shù)，也是看漲期權(quán)的。

那么：""""""（14）

由此可以得到，假設(shè)其他項保持不變即為常數(shù)時，當(dāng)信用利差增加時，隨之增加，項隨之減少，隨指數(shù)級增加。信用利差與絕對波動率之間的關(guān)系可以用一個向下凹的自然指數(shù)函數(shù)來描述，在實際的信用債利差波動范圍之內(nèi)，與可以近似用線性關(guān)系來描述，這也證明了中美信用債市場中都存在著相對波動率的9%規(guī)律。

基于DTS的城投債評分體系

根據(jù)之前的驗證結(jié)果，DTS代表了一只信用債或者一個信用債組合的綜合風(fēng)險，同時根據(jù)信用債的9%規(guī)律，可以估算出信用債利差在一個月之內(nèi)一個標(biāo)準(zhǔn)差單位的變化。由此，可以建立DTS與到期收益率的直接關(guān)系，并通過衡量到期收益率與市場隱含的公允價值之間的偏離程度來對信用債的風(fēng)險進行評分。

本文將中債-新中期票據(jù)總指數(shù)（2014年12月1日數(shù)據(jù)）中所含城投債按照DTS數(shù)值大小排序，并按照其當(dāng)前的到期收益率計算投資1個月后的投資收益。假設(shè)投資收益與風(fēng)險程度DTS成線性關(guān)系，并對二者作回歸分析。

圖2""城投債投資收益與DTS

數(shù)據(jù)來源：中債綜合業(yè)務(wù)平臺、Wind資訊

從回歸結(jié)果（見圖2）可以發(fā)現(xiàn)，隨著DTS的增加，以債券當(dāng)前到期收益率計算的投資收益隨之增加。圖2中紅色虛線是根據(jù)回歸模型得出的預(yù)測值，本文將此預(yù)測值作為市場隱含的公允價值（market"implied"fair"value），并利用該公允價值和絕對波動率計算各只債券的偏離程度。639只城投債評分從-5.1到5.6（見圖3），其絕對值代表了城投債到期收益率與公允價值之間的偏離標(biāo)準(zhǔn)差，正值評分越高代表正向偏離程度越大，該債券到期收益率被高估（未來評級下調(diào)或者違約）的概率越大;負(fù)值評分越低代表負(fù)向偏離程度越大，該債券到期收益率被低估（未來評級上調(diào)）的概率越大。

圖3""城投債偏離概率密度

圖3顯示，總體上城投債到期收益率偏離程度的分布比較符合正態(tài)分布，但是偏離度處在4.4個標(biāo)準(zhǔn)差單位的城投債數(shù)量較多（11只），這些城投債的到期收益率被高估（未來評級下調(diào)或者違約）的概率較大。

小結(jié)

本文對DTS的有效性和實用性進行了數(shù)據(jù)分析和理論證明，并建立了一個基于市場價格信息的評分體系，可以對包括城投債在內(nèi)的信用債進行即時的風(fēng)險分析。相對于較為滯后的信用評級，DTS對市場反應(yīng)更加迅捷，在實際應(yīng)用中可以給信用債投資者以下協(xié)助：

（1）對于某一特定券種（如城投債）綜合風(fēng)險的測算，僅利用加權(quán)久期并不全面，加權(quán)DTS可以給出更加準(zhǔn)確的風(fēng)險評估。

（2）DTS可以用于控制行業(yè)集中度以及發(fā)行人集中度的測算。比如，如果設(shè)定權(quán)重、利差和久期三者乘積的額度為5，那么對于發(fā)行人A的利差為100BP、久期為5年的信用債在投資組合的權(quán)重就不得超過1%。

（3）利用DTS所代表的風(fēng)險水平追蹤債券指數(shù)，可以更好地分散投資風(fēng)險。

（4）為發(fā)行人一級市場發(fā)行信用債提供合理價格區(qū)間，控制融資成本。

整體而言，在我國當(dāng)前信用債違約概率和違約損失率等歷史數(shù)據(jù)缺失、信用風(fēng)險緩釋憑證（CRMW）等信用風(fēng)險衍生產(chǎn)品市場不成熟、剛性兌付成為市場常態(tài)的條件下，使用DTS可以對信用債投資進行更加準(zhǔn)確的優(yōu)化配置和風(fēng)險管理。（感謝中央結(jié)算公司管圣義博士在研究中的建議和幫助）

參考文獻：

[1]中央國債登記結(jié)算有限責(zé)任公司：《中債指數(shù)指南》，2014。

[2]Ben"Dor，"A.，"Dynkin，"L.，"Hyman，"J.，"Quantitative"Credit"Portfolio"Management，2012.

[3]Ben"Dor，"A.，"Dynkin，"L.，"Hyman，"J.，"DTS"（duration"times"spread）"Journal"of"Portfolio"Management，2007.

作者單位：青島農(nóng)商銀行金融市場部

責(zé)任編輯：牛玉銳""羅邦敏