砂土地基上圓形淺基礎(chǔ)三維破壞包絡(luò)面的理論研究

摘要：對砂土地基上圓形淺基礎(chǔ)在豎向荷載V、水平荷載H及力矩M復(fù)合加載條件下的承載力進(jìn)行了系統(tǒng)的三維有限元分析。在分析中，砂土假定為純摩擦材料，遵循基于MohrCoulomb破壞準(zhǔn)則的理想彈塑性本構(gòu)關(guān)系。首先，對圓形淺基礎(chǔ)的豎向承載力進(jìn)行了有限元計算， 并與滑移線解法進(jìn)行了對比，兩種方法所得結(jié)果比較吻合。進(jìn)而探討了砂土內(nèi)摩擦角對于基礎(chǔ)在VH、VM荷載平面與VHM三維荷載空間內(nèi)的破壞包絡(luò)軌跡的影響。計算結(jié)果表明，與不排水情況下軟黏土地基上基礎(chǔ)破壞包絡(luò)面相比，砂土地基上圓形淺基礎(chǔ)的破壞包絡(luò)面形狀有較大差異， 但VH和VM平面內(nèi)的破壞包絡(luò)面形狀仍具有較好的歸一化特性?；谟邢拊嬎憬Y(jié)果，建立了圓形淺基礎(chǔ)在VHM三維荷載空間內(nèi)的破壞包絡(luò)面方程， 該方程可用來合理評價復(fù)合加載條件下砂土地基上圓形淺基礎(chǔ)的整體穩(wěn)定性。

關(guān)鍵詞：圓形淺基礎(chǔ)；復(fù)合加載；砂土；破壞包絡(luò)面；承載力

中圖分類號：

TU311； P315.9文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號：16744764（2015）03006307

Abstract：

The bearing capacity of circular shallow footings subjected to combined loading composed of vertical component V， horizontal component H and moment M on sand is explored through three dimensional finite element numerical analyses. The sand is assumed to be purely frictional and obey elastoperfectly plastic relationship following the MohrCoulomb failure criterion. The capacity of circular footing under centrally vertical load is computed， and the calculated results agree well with those derived from slipline field theory. Then the influence of soil friction angle on the failure locus in the VH and VM load plane and VHM load space is investigated. The results show that the shape of failure envelopes of shallow foundations on sand is different from that on undrained clay， whilst normalization of the failure envelope on the VH and VM load plane by the pure vertical bearing capacity allow it to be generalized for varying conditions. Based on finite element analyses， the equation of failure envelope in the VHM three dimensional load space is proposed， which can be used to evaluate the general stability of circular footings on sand under combined loading condition.

Key words：circular footing； combined loading； sand； failure envelope； bearing capacity

對于圓形淺基礎(chǔ)，傳統(tǒng)的地基承載力分析理論主要有Terzaghi、Vesic、Hansen、Meyerhoff等提出的各種經(jīng)驗、半經(jīng)驗公式，對于傾斜與偏心荷載作用下的淺基礎(chǔ)穩(wěn)定性問題，一般是基于Terzaghi豎向承載力公式，分別通過引入荷載傾斜系數(shù)與Meyerhoff有效寬度假定來考慮水平荷載和偏心荷載對豎向承載力的影響，對此欒茂田等[1]已經(jīng)進(jìn)行了比較全面的評述。

隨著石油、天然氣和金屬礦物等海洋資源的大力開發(fā)，各種海洋基礎(chǔ)穩(wěn)定性評價方面的問題得到了高度重視。與陸地上基礎(chǔ)相比，海洋基礎(chǔ)除了承受豎向荷載V以外，通常還要抵抗波浪和風(fēng)暴等所引起的水平荷載H與力矩M。在這種復(fù)合加載情況下，海洋基礎(chǔ)一般不會在單純的豎向荷載作用下達(dá)到極限平衡狀態(tài)，而是在豎向荷載、水平荷載與力矩的不同組合條件下發(fā)生失穩(wěn)破壞。因此，將傳統(tǒng)的地基承載力理論用于海洋淺基礎(chǔ)穩(wěn)定性評價時，可能出現(xiàn)較大偏差，從而不適合含有較大水平荷載和力矩的情況[2]。為了解決這個問題，部分學(xué)者[12]通過系統(tǒng)研究提出了破壞包絡(luò)面理論，認(rèn)為在復(fù)合加載條件下，地基達(dá)到整體破壞時各個荷載分量的組合在三維荷載空間（V，H，M）中將形成一個不依賴于加載路徑的外凸曲面，其方程可由引起地基失穩(wěn)時的各個荷載分量顯式表達(dá)為f（V，H，M）=0。根據(jù)實際的受力狀態(tài)與該破壞包絡(luò)面之間的相對位置關(guān)系，可以直觀評價設(shè)計荷載狀態(tài)下海洋基礎(chǔ)的整體穩(wěn)定性。

目前所開展的研究工作大多針對軟黏土地基，砂土地基上圓形淺基礎(chǔ)破壞包絡(luò)面方程的研究較少，并僅限于模型試驗研究。Martin等[3]對于復(fù)合加載條件下黏土地基上紡錘形基礎(chǔ)的力學(xué)響應(yīng)進(jìn)行了比較系統(tǒng)的室內(nèi)小比尺模型試驗。在此基礎(chǔ)上，Gottardi等[4]、Cocjin等[5]分別對于密砂上圓形和條形淺基礎(chǔ)開展了一系列模型試驗，并對試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，建議了砂土地基上淺基礎(chǔ)的破壞包絡(luò)面方程。Cassidy等[6]針對松散鈣質(zhì)砂地基開展了小比尺復(fù)合加載試驗研究，主要探討了宏單元模型中的硬化準(zhǔn)則和流動法則。但這些試驗工作都是針對某種相對密度或內(nèi)摩擦角的砂土，因此，本文對于共面復(fù)合加載條件下砂土地基上圓形淺基礎(chǔ)的承載力進(jìn)行比較系統(tǒng)的有限元分析，探討了砂土內(nèi)摩擦角（對于圓形淺基礎(chǔ)在VH、VM荷載平面與VHM荷載空間內(nèi)的破壞包絡(luò)軌跡的影響，并與已有的室內(nèi)模型試驗結(jié)果進(jìn)行了對比。

1有限元模型

直徑D=1 m的圓形淺基礎(chǔ)位于砂土地基上。不考慮淺基礎(chǔ)本身的變形，因此采用離散剛體單元模擬。地基模型的半徑和深度都取為5D，經(jīng)過試算，可以消除有限元模型中地基的邊界效應(yīng)影響。根據(jù)趙少飛等[7]的建議，土體單元類型選擇8節(jié)點縮減積分實體單元（C3D8R），在淺基礎(chǔ)附近的局部區(qū)域加密網(wǎng)格，單元數(shù)為26 240，如圖1所示。

在分析中，砂土假定為純摩擦材料，重度取為γ=20 kN/m3，采用基于MohrCoulomb破壞準(zhǔn)則的理想彈塑性本構(gòu)模型，變形模量E=100 MPa，泊松比v=0.3。很多實驗結(jié)果已經(jīng)表明，砂土剪脹角φ低于內(nèi)摩擦角，但為了與常用的豎向承載力解進(jìn)行對比，仍然采用了相關(guān)聯(lián)流動法則，即取φ = 。土體為純摩擦材料，基礎(chǔ)與地基之間不能傳遞拉應(yīng)力，因此，基礎(chǔ)和地基間設(shè)為完全黏結(jié)約束，而未設(shè)置接觸單元。

為了避免純摩擦材料計算難以收斂的數(shù)值問題，同時又不影響材料真實的力學(xué)響應(yīng)，需要在模型中人為賦予砂土一個很小的黏聚力值。根據(jù)Zhu等[8]利用ABAQUS軟件計算矩形基礎(chǔ)承載力時的建議，在本文考慮的砂土內(nèi)摩擦角范圍10°～30°內(nèi)，當(dāng)<20°時，取cγB=0.25×10-3，當(dāng)≥20°時，取cγB=5×10-3。

2豎向承載力

對于內(nèi)摩擦角=15°、20°、25°與30° 4種情況，分別進(jìn)行了豎向承載力計算。在計算過程中，采用位移控制加載，當(dāng)?shù)玫降幕字行奶幍墓?jié)點反力V豎向位移v曲線斜率陡降或接近零時，與該狀態(tài)相對應(yīng)的基底反力即為地基的豎向承載力，如圖2所示。

同時，也采用Martin[9]提出的滑移線方法和Terzaghi圓形淺基礎(chǔ)公式對此問題進(jìn)行了求解，幾種方法所得豎向承載力（單位：kN）都列于表1，通過比較可以看到，在≥20°時有限元與滑移線解法所得結(jié)果都要比Terzaghi公式計算結(jié)果高，而在=15°時，有限元計算結(jié)果比其它兩種方法偏低。有限元法與滑移線解法所得結(jié)果之間相差不大，最大誤差為8%，從而說明本文有限元模型是基本合理的。

3復(fù)合加載數(shù)值試驗方法

3.1swipe型加載方法

構(gòu)建不同荷載平面上完整的破壞包絡(luò)面，對于軟黏土地基，只需要一條swipe加載路徑[1011]，但對于砂土地基，則需要兩條加載路徑，如圖3所示。加載路徑I與軟黏土地基相同，包括兩個加載步驟：1）沿i方向從初始狀態(tài)開始施加位移ui直到i方向反力達(dá)到極限值；2）固定i方向的位移，沿j方向施加位移uj直到j(luò)方向?qū)?yīng)的反力Fj不隨位移增大而改變，此時步驟2）所形成的加載軌跡可以近似作為ij平面上破壞包絡(luò)面的一部分。加載路徑II含有一個加載步驟，從初始狀態(tài)開始約束i方向自由度，沿j方向施加位移uj直到j(luò)方向?qū)?yīng)的反力Fj不隨位移增大而改變，該步驟所形成的加載軌跡可作為包絡(luò)面的另外一部分。

3.2probe型加載方法

probe型加載方法包括固定位移比加載、固定荷載比加載方法等，范慶來等[10]已經(jīng)進(jìn)行了比較詳細(xì)的介紹，在此不再贅述。最近，趙少飛[7]建立了一種較為直觀的probe型加載方法，該方法包含如下兩個步驟：1）通過荷載控制，沿i方向（一般為豎向）在基礎(chǔ)上直接施加一定的荷載分量Fi；2）保持所施加的荷載分量Fi不變，沿j方向進(jìn)行位移控制加載，直到相應(yīng)方向的反力Fj不再隨位移增加而改變，由此可確定出破壞包絡(luò)面上的一個點（Fi， Fj），如圖3所示。通過多次加載，即可擬合一個完整的包絡(luò)面。本文在構(gòu)建VH、VM荷載平面上的包絡(luò)面時，采用了該方法。

3.3荷載位移聯(lián)合搜索方法

為了得到圓形淺基礎(chǔ)在VHM荷載空間內(nèi)的三維破壞包絡(luò)面，需采用荷載位移聯(lián)合搜索方法[1011]。這個方法包含如下3個步驟：1） 通過荷載控制，在基底中心施加一定大小的豎向荷載分量V；2） 保持該豎向荷載分量不變，進(jìn)行HM荷載平面上的swipe型加載，得到破壞包絡(luò)面的近似形式；3） 在此基礎(chǔ)上，進(jìn)行若干次probe型加載，確定最終的破壞包絡(luò)面。

4VH平面上的破壞包絡(luò)軌跡

聯(lián)合采用swipe型與probe型兩種數(shù)值加載方法，對于圓形淺基礎(chǔ)在VH平面內(nèi)的破壞包絡(luò)軌跡進(jìn)行研究。所得到的VH荷載平面內(nèi)的破壞包絡(luò)軌跡如圖4（a）所示，采用豎向承載力Vult進(jìn)行歸一化后，可得VH荷載平面內(nèi)的破壞包絡(luò)面形狀如圖4（b）所示。

通過圖4（a）可以看到，隨著砂土內(nèi)摩擦角的增大，VH荷載平面內(nèi)的破壞包絡(luò)面大小在不斷增長。在內(nèi)摩擦角=30°時，圖4（a）還具體給出了swipe型加載路徑I、II與probe型加載得到的3個數(shù)據(jù)點（分別是在V / Vult =0.3、0.5及0.7情況下得到的），可以看到swipe型加載路徑I與路徑II在V / Vult =0.5處匯合，構(gòu)成了一個完整的包絡(luò)面。probe型加載得到的數(shù)據(jù)點與swipe型加載路徑基本吻合，考慮到數(shù)值計算誤差，可以表明破壞包絡(luò)面是不依賴于加載路徑的。在其它內(nèi)摩擦角情況下，也具有相同規(guī)律，在圖4（a）中不再一一表達(dá)。

根據(jù)圖4（b）可看出，破壞包絡(luò)面形狀類似于橄欖球形，基礎(chǔ)所能承受的最大水平荷載Hmax大致出現(xiàn)在豎向荷載水平V/Vult=0.5處，而且對于不同內(nèi)摩擦角情況下，Hmax≈0.13Vult。Gottardi等[4]針對內(nèi)摩擦角=42.3°以及Bienen等[12]針對=34.3°的砂土所進(jìn)行的模型試驗也得到了基本一致的結(jié)論Hmax≈0.12Vult。Cassidy等[6]對于松散鈣質(zhì)砂也進(jìn)行了試驗，得到的結(jié)果表明Hmax≈0.15Vult。

因此，如圖4（b）所示，不同內(nèi)摩擦角情況下，采用豎向極限承載力Vult進(jìn)行歸一化后，包絡(luò)面形狀幾乎完全重合，可采用式（1）進(jìn)行描述。

HVult=4h0VVult1-VVult（1）

式中：h0=Hmax/Vult，其取值范圍在0.12～0.15之間，對于本文有限元計算結(jié)果，h0=0.13。在圖4（b）中還列出了Loukidis等[13]建立的條形淺基礎(chǔ)破壞包絡(luò)面方程，可見圓形與條形淺基礎(chǔ)的破壞包絡(luò)面形狀存在一定差異。因此，在分析基礎(chǔ)穩(wěn)定性時，必須考慮其三維效應(yīng)。

對于軟黏土地基VH包絡(luò)面，水平荷載最大值位于V=0，隨著豎向荷載水平增大，基礎(chǔ)承受水平荷載的能力不斷下降[10]，這顯然與砂土地基上基礎(chǔ)破壞包絡(luò)面特性有明顯差異。

5VM平面上的破壞包絡(luò)軌跡

采用類似數(shù)值加載方法，對于圓形淺基礎(chǔ)在VM平面內(nèi)的破壞包絡(luò)軌跡進(jìn)行了研究，其中力矩M是通過在基底中心處施加轉(zhuǎn)角邊界條件控制加載。所得到的VM荷載平面內(nèi)的破壞包絡(luò)軌跡如圖5（a）所示。采用基礎(chǔ)直徑D與豎向承載力Vult之乘積DVult對于力矩M無量綱化，可得VM荷載平面內(nèi)的歸一化破壞包絡(luò)面形狀如圖5（b）所示。

通過圖5（a）可以看到，VM荷載平面內(nèi)的破壞包絡(luò)面大小也隨著砂土內(nèi)摩擦角的增大而在不斷增長。歸一化后的破壞包絡(luò)面形狀基本重合，也類似于橄欖球形，基礎(chǔ)所能承受的最大力矩荷載Mmax大致出現(xiàn)在豎向荷載水平V/Vult=0.5處，Mmax=008DVult，對應(yīng)著偏心距為e/D=1/625。Gottardi等[4]根據(jù)密砂的模型試驗得到Mmax=01DVult，Bienen等[11]根據(jù)松砂上的試驗結(jié)果得到的結(jié)論則是Mmax=0.075DVult，因此，可以認(rèn)為，VM平面內(nèi)砂土地基上圓形淺基礎(chǔ)的歸一化最大彎矩承載力m0=Mmax/（DVult）在0.075～0.1之間。不同內(nèi)摩擦角情況下，包絡(luò)面形狀基本重合，如圖5（b）所示，可采用如下拋物線方程式（2）進(jìn)行描述。

MDVult=4m0VVult1-VVult

（2）

式中：m0取值范圍在0.075～0.1之間，對于本文有限元計算結(jié)果，m0=0.08。與軟土地基上基礎(chǔ)VM包絡(luò)面方程[10]進(jìn)行比較，可以看到偏心荷載情況下砂土與黏土地基上破壞包絡(luò)面特性也存在顯著差異。

通過比較，可以看到式（4）的模擬結(jié)果較好，因此，采用如式（4）所示的三維破壞包絡(luò)面方程來評價復(fù)合加載條件下砂土地基上圓形淺基礎(chǔ)承載力是合理的。在實際應(yīng)用中，只需根據(jù)豎向極限承載力公式或其它方法確定相應(yīng)的豎向承載力Vult，進(jìn)而根據(jù)方程（4），就可以得到破壞包絡(luò)面的顯式表達(dá)式f（V， H， M/D）=0，如圖8所示。若淺基礎(chǔ)設(shè)計荷載組合點（V，H，M）位于包絡(luò)面上時，說明地基處于承載能力極限狀態(tài)。當(dāng)荷載組合點（V，H，M）處于該包絡(luò)面內(nèi)部，則淺基礎(chǔ)是整體穩(wěn)定的，反之，則將發(fā)生失穩(wěn)破壞，在工程中應(yīng)對基礎(chǔ)進(jìn)行重新設(shè)計[1416]。

7結(jié)論

1） 與不排水情況下軟黏土地基上基礎(chǔ)破壞包絡(luò)面相比，砂土地基上圓形淺基礎(chǔ)的破壞包絡(luò)面形狀有較大差異， 但VH和VM平面內(nèi)的破壞包絡(luò)面形狀仍具有較好的歸一化特性，可用拋物線方程進(jìn)行表達(dá)。

2） 在一定豎向荷載水平下，不同內(nèi)摩擦角情況下的HM破壞包絡(luò)軌跡基本重合，形狀為具有一定偏心度的橢圓。

3） 根據(jù)計算結(jié)果，提出了砂土地基上圓形淺基礎(chǔ)三維破壞包絡(luò)面方程。經(jīng)過初步驗證，該方程可以用來評價圓形淺基礎(chǔ)在共面復(fù)合加載條件下是否穩(wěn)定。

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（編輯王秀玲）