伯努利兄弟（上）

17世紀(jì)末，牛頓和萊布尼茨獨(dú)立地發(fā)明了微積分，從此數(shù)學(xué)進(jìn)入到高等數(shù)學(xué)階段.高等數(shù)學(xué)“高”在哪里呢？我想至少有兩點(diǎn)值得注意：一是高等數(shù)學(xué)難學(xué)難懂，不像中學(xué)學(xué)的那個初等數(shù)學(xué).是個腦袋就能學(xué)會.從小學(xué)到中學(xué)的12年，年年都得學(xué)數(shù)學(xué)，可學(xué)過來學(xué)過去還是初等數(shù)學(xué).也就是算術(shù)、代數(shù)、幾何、三角、概率、統(tǒng)計(jì)，到解析幾何已經(jīng)算是登峰造極了.初等數(shù)學(xué)中當(dāng)然也有難題，比如數(shù)獨(dú)、奧數(shù)什么的，最難的當(dāng)然是中學(xué)生國際數(shù)學(xué)奧林匹克（IMO）了.30年來中國的數(shù)學(xué)尖子在那上面幾乎是年年拿名次、拿金牌，這說明中國中學(xué)生的數(shù)學(xué)頭腦還真不錯.可是一到高等數(shù)學(xué)，也就是18、19、20世紀(jì)的數(shù)學(xué)，中國學(xué)生的水平就有不小的差距了.為什么？難嘛！而且其難度不能和初等數(shù)學(xué)同日而語，它需要天才性的創(chuàng)造.二是高等數(shù)學(xué)十分有用.世界上難學(xué)難懂的東西多的是.例如只有少數(shù)人使用的語言以及佛經(jīng)等，這些東西呀少數(shù)人去學(xué)習(xí)、研究就可以了，用處不算太大.可是高等數(shù)學(xué)卻是進(jìn)入現(xiàn)代自然科學(xué)之門的鑰匙.沒有微積分和其后發(fā)展出來的微分方程與數(shù)學(xué)分析，那就沒辦法解釋牛頓力學(xué)，更得不出什么電磁波（從電視到手機(jī)都得靠它），也不會有數(shù)值天氣預(yù)報(bào).因此，現(xiàn)在上大學(xué)要學(xué)理工科的話就非得啃高等數(shù)學(xué)不可，不喜歡數(shù)學(xué)或害怕學(xué)、討厭學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)生那就只好學(xué)文科嘍.不過。有的文科，像經(jīng)濟(jì)、金融等也得學(xué)高等數(shù)學(xué).“金融數(shù)學(xué)”非常前沿，要不然那些投資家怎么能賺夠那么多錢、那么招恨呢？

大家知道，牛頓是最偉大的科學(xué)家，他一只手創(chuàng)建了牛頓力學(xué).另一只手創(chuàng)建了微積分.雖然他也是最偉大的數(shù)學(xué)家之一，但他的數(shù)學(xué)著眼于應(yīng)用，并沒有建立起一套完整的數(shù)學(xué)理論體系.這就忙壞了18世紀(jì)和19世紀(jì)的數(shù)學(xué)家，他們一方面要發(fā)展牛頓的微積分，另一方面要為“數(shù)學(xué)分析”建立一個嚴(yán)格的基礎(chǔ).這項(xiàng)工作一直到了19世紀(jì)末才正式宣告完成.這兩個世紀(jì)，至少有100位數(shù)學(xué)家為有關(guān)的事情做出過貢獻(xiàn).

我們還是先從18世紀(jì)講起.談起近代史，人們往往總是回憶起鴉片戰(zhàn)爭以后那些屈辱的歷史.可是在18世紀(jì)中國可不是那個樣，那時候，中國是世界頭號超級大國，GDP（國內(nèi)生產(chǎn)總值）也是世界第一.領(lǐng)土比現(xiàn)在大一半還多呢.當(dāng)時，西方人很樂意學(xué)習(xí)中國文明，也特別喜歡中國的東西，特別是瓷器.那時的中國皇帝很牛，英國的使節(jié)來見了，他們得下跪.他們要求貿(mào)易，乾隆皇帝對他們說，我們是天朝大國，什么都有，用不著跟你們做什么買賣呀.現(xiàn)在看來.乾隆的話有99%對，也有1%不對：至少三種物質(zhì)器物和三種精神成果中國沒有.三種器物是鐘表、望遠(yuǎn)鏡和顯微鏡，三種精神成果是宇宙觀（地球和太陽）、牛頓力學(xué)和微積分.這六種東西其實(shí)可以概括為兩個字：科學(xué).不過，在18世紀(jì)不止是中國的科學(xué)（特別包括高等數(shù)學(xué)）不行，全世界基本上都不行，只有極少數(shù)國家，例如英國、法國、德國有那么幾位大科學(xué)家，其他國家的人才只能說是鳳毛麟角了.說來也奇怪，在18世紀(jì)上半葉，僅有一二百萬人口的瑞士居然出了好多頂尖的數(shù)學(xué)家，其中最棒的就是那個大名鼎鼎的歐拉.在歐拉之前，瑞士有許多數(shù)學(xué)家都姓伯努利.他們是一家子，這就是科學(xué)史上赫赫有名的伯努利家族.

數(shù)學(xué)家扎堆兒出現(xiàn)有點(diǎn)讓人費(fèi)解，有沒有數(shù)學(xué)基因起作用還真不好說.爸爸有錢，兒子可以是富二代，他只要不是敗家子，也許還會傳下去.可數(shù)學(xué)不能遺傳.爸爸是數(shù)學(xué)家，兒子可能學(xué)數(shù)學(xué)會有困難；反過來，也有大數(shù)學(xué)家，老爹竟是文盲或數(shù)盲.每個人學(xué)數(shù)學(xué)都得從1+2=3學(xué)起，靠啃老去掌握數(shù)學(xué)，沒門兒！可是，要想學(xué)好數(shù)學(xué)，沒錢也是萬萬不能的，因?yàn)閷W(xué)數(shù)學(xué)。特別是學(xué)高等數(shù)學(xué)，沒有好的環(huán)境是不行的，這里面包括好的老師，更正確地說，是好的導(dǎo)師.有時，他們一兩句話就能讓你開竅.1800年以前的數(shù)學(xué)家，大都靠自學(xué)成才.而自學(xué)時必須去讀一些經(jīng)典著作，特別是一些大師的著作.啃原著不容易，但也因此會激發(fā)學(xué)習(xí)者的獨(dú)創(chuàng)性.

一、五代拼搏

當(dāng)伯努利家族的第一位數(shù)學(xué)家雅各·伯努利（圖1）在1754年出生時，他家已經(jīng)是一個有錢又有文化的大家族了.達(dá)到這個境地經(jīng)歷了五代人的努力.當(dāng)然，每一代人的努力都為社會、為家族做出了應(yīng)有的貢獻(xiàn).

16世紀(jì)初到17世紀(jì)中的歐洲是一個亂世.兵荒馬亂的時期，人是很難安下心來鉆研學(xué)問的.這個時期的歐洲有點(diǎn)兒像中國的春秋戰(zhàn)國時代.天天打仗.但打仗的理由讓我們中國人有點(diǎn)兒費(fèi)解.有些戰(zhàn)爭并不是為了爭奪土地，也不是為了掠奪勞動力、占領(lǐng)市場、爭奪資源和財(cái)富而戰(zhàn)的，而是為信仰而戰(zhàn).現(xiàn)在多數(shù)中國人沒有什么信仰，難以理解基督教的事情.西方人大多都信仰基督教，而基督教的權(quán)威機(jī)構(gòu)是教會.教會的領(lǐng)袖人物則是教皇.14世紀(jì)到15世紀(jì)，教會內(nèi)部十分腐敗，激起了中下層人士的強(qiáng)烈不滿.1517年.德國人馬丁·路德在教堂門口貼出大字報(bào)，反對教會權(quán)威，由此掀起了轟轟烈烈的宗教改革運(yùn)動.于是，每一個人都必須選邊站，贊成改革的稱為新教徒，反對改革維護(hù)教會權(quán)威的，稱為天主教徒.兩邊的人勢不兩立，進(jìn)行著你死我活的斗爭.從16世紀(jì)初到17世紀(jì)中。整個歐洲都在上演著不斷的戰(zhàn)爭和大屠殺，尤其是歐洲大陸，簡直是血流成河.社會動亂使歐洲學(xué)者難以坐下來安心研究.

伯努利家族的第一代原來生活在尼德蘭.尼德蘭比現(xiàn)在的荷蘭要大得多，包括現(xiàn)在的荷蘭、比利時、盧森堡以及附近的一些地方.當(dāng)時統(tǒng)治這個地方的是西班牙人，他們是鐵桿?；式膛?在他們的統(tǒng)治下，新教徒要么改變信仰，要么滾蛋，否則只能挨刀.偏偏第一代伯努利信了新教，他也不想改變信仰.不過，他是位受人尊敬的外科醫(yī)生。因此得以在安特衛(wèi)普安然過世.第一代去世后不久.尼德蘭來了一個新的總督。叫阿爾瓦公爵.這個人可是個鐵腕人物，來了后堅(jiān)決鎮(zhèn)壓新教徒.第二代實(shí)在呆不下去了，只得逃亡，來到了德國法蘭克福.這兒當(dāng)時是新教徒的一個中心.他在這里經(jīng)營藥店和藥廠.在他去世時，家族已經(jīng)積累了相當(dāng)多的財(cái)富.第三代子繼父業(yè)，事業(yè)也很發(fā)達(dá).第四代同樣不敢怠慢，兢兢業(yè)業(yè)，生意越做越大.不過人算不如天算，1618年到1648年，德國境內(nèi)打起了著名的“三十年戰(zhàn)爭”，其結(jié)果使德國荒蕪一片，生產(chǎn)力遭到徹底破壞，人口也大大減少.幸虧祖上有德，第四代伯努利帶著他們家族的巨大的財(cái)富和人口遷徙到了世外桃源——瑞士.當(dāng)然，瑞士也不能遠(yuǎn)離宗教改革的風(fēng)暴，只不過他們處理的方法更明智，避免了一場劫難.瑞士主要由日耳曼、法蘭西、意大利三個民族構(gòu)成。它的天主教徒和新教徒各占一半.由于他們和平共處，因此使國家能夠和平發(fā)展.1620年第四代伯努利到了巴塞爾，在此安頓了下來，并且不久后成為了瑞士公民.但不管怎么說。他們還是“外來戶”，必須先在瑞士站住腳.第五代伯努利不敢懈怠，好好地把自己的藥材生意做強(qiáng)做大，對當(dāng)?shù)氐睦习傩找沧龀隽藢?shí)實(shí)在在的貢獻(xiàn).因此，他受到當(dāng)?shù)匕傩盏膿泶?，被選為巴塞爾市議員，后來還擔(dān)任了高級行政職務(wù).伯努利家族經(jīng)過五代人的努力，成為巴塞爾上流社會的一員.他還迎娶了本地銀行家的女兒，“強(qiáng)強(qiáng)聯(lián)手”使伯努利家族成為巴塞爾有名的大戶人家.

二、雅各·伯努利

17世紀(jì)，科學(xué)家與數(shù)學(xué)家可不是一個正常的職業(yè).科學(xué)和數(shù)學(xué)實(shí)際上是一種公益事業(yè)，干這種事業(yè)必須有錢、有閑、有自由.除非對科學(xué)和數(shù)學(xué)有強(qiáng)烈的興趣，否則一個人不會愿意花時間和精力用在這上面.

經(jīng)過雅各的上五代人的拼搏.終于可以讓雅各去從事他所喜歡的數(shù)學(xué)研究了.可在當(dāng)時，事情也沒有這么簡單.體面人家的子弟當(dāng)然要上大學(xué)，大學(xué)的三大專業(yè)——神學(xué)、法學(xué)和醫(yī)學(xué)是他們未來人生的職業(yè)訓(xùn)練.雅各的父親讓他學(xué)神學(xué)，以便將來好去當(dāng)牧師，牧師在當(dāng)時是一個高尚而穩(wěn)定的職業(yè).雅各沒有意見，遵從父命上了巴塞爾大學(xué)的神學(xué)院.要知道，當(dāng)時的學(xué)校并沒有太多的知識可教，所以在正常情形下，15歲左右就能上大學(xué).進(jìn)入神學(xué)院之前，要先讀兩三年“預(yù)科”，學(xué)習(xí)所謂的“七藝”.這七藝中有三藝是文科——文法、修辭學(xué)和辯論術(shù)，另外四藝可以說是理科——算術(shù)、幾何、天文、樂理.在學(xué)習(xí)這些課程時，雅各對數(shù)學(xué)和天文產(chǎn)生了興趣.雅各在1671年修完七藝并獲得藝術(shù)碩士學(xué)位后，進(jìn)入了神學(xué)院，然后規(guī)規(guī)矩矩地讀了五年.1676年，他獲得神學(xué)碩士學(xué)位.但他沒有像其他同學(xué)那樣去找一個固定的工作，因?yàn)樗芟矚g數(shù)學(xué)和天文，還想進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué).要知道，當(dāng)時牛頓和萊布尼茨都還沒有發(fā)表他們的微積分著作，所以更沒人教他了，他只能靠自學(xué).17世紀(jì)的數(shù)學(xué)里初等數(shù)學(xué)中最高級的部分，也是高等數(shù)學(xué)中最基礎(chǔ)的部分。就是笛卡爾的解析幾何，另外還有牛頓的老師巴羅以及沃利斯的著作.自學(xué)高等數(shù)學(xué)是個苦差事，但他卻樂此不疲.從1677年起，他把自己的心得體會寫成日記（稱為“沉思錄”）.這些日記后來成為他許多著作的基礎(chǔ).前面我們提到，高等數(shù)學(xué)如果沒人指點(diǎn)，很難開竅.于是，他開始到各個先進(jìn)國家去游學(xué).在17世紀(jì)，數(shù)學(xué)和科學(xué)先進(jìn)的國家共有四個：英國、法國、尼德蘭（荷蘭）以及德國（當(dāng)時還沒有統(tǒng)一）.在每個學(xué)術(shù)中心他都呆了很長的時間，去結(jié)識當(dāng)?shù)氐膶W(xué)者、專家.比如，他在德國一呆就是兩年.雖說他家里很有錢?？伤⒉皇强欣献?他在國外一邊學(xué)，一邊工作.那時同現(xiàn)在差不多，合適的工作不好找.雅各找到了兩種工作.一是當(dāng)私人數(shù)學(xué)教師，一是當(dāng)臨時牧師幫助布道.工作之余他深人研究數(shù)學(xué)，不久就發(fā)表了論文，名氣也越來越大.1683年，巴塞爾大學(xué)請雅各任教.1687年他升為數(shù)學(xué)教授，一直干到50歲英年早逝.當(dāng)時.他的名氣僅次于牛頓和萊布尼茨.1799年，他們?nèi)欢急贿x為法國科學(xué)院的第一批國外院士（共有8位）.

雅各·伯努利的貢獻(xiàn)很多，按學(xué)科分有解析幾何、微積分、變分法、無窮級數(shù)、微分幾何、組合理論以及概率論等.但其中有些成就，特別是微積分和變分法，我們很難分辨是雅各的成就還是他弟弟約翰的成就.為此兄弟兩人也打的不可開交.而在其他方面，特別是那些掛上伯努利名字的，可以說都是雅各的貢獻(xiàn)，比方像伯努利數(shù)、伯努利多項(xiàng)式、伯努利雙紐線（圖2）、伯努利試驗(yàn)、伯努利分布、伯努利大數(shù)定律。甚至伯努利（微分）方程.這些知識也許每個都超出了中學(xué)生能夠理解的范圍，然而我還是愿意做一點(diǎn)兒普及，來啟發(fā)那些對數(shù)學(xué)感興趣的同學(xué).

其實(shí)，漂亮的數(shù)學(xué)都是從最簡單的問題開始的.現(xiàn)在，差不多任何人都知道1+2+3+…+100的那個有趣的故事了.如今，差學(xué)生和較好學(xué)生的差別主要是看誰能較快地得出正確答案來.當(dāng)然，在較好的學(xué)生中還有更好的學(xué)生，他能提出更一般的問題，并加以解決.例如，1+2+3+…+200或1+2+3+…+199各等于多少？當(dāng)然，這些也都不難.更有數(shù)學(xué)素養(yǎng)的人則會探討1+2+3+…+n的一般公式.其實(shí)，早在高斯之前，早在伯努利之前，數(shù)學(xué)家們就已經(jīng)知道，這只不過就是一個最簡單的等差級數(shù)求和問題.

數(shù)學(xué)家和普通人的不同之處就在于他們會考慮更一般的問題——等冪和的問題：

1²+2²+3²+…+n²=？

1³+2³+3³+…+n³=？

……

1^k+2^k+3^k+…+n^k=？

這樣，一下子所有人都傻了.能提出問題當(dāng)然不錯，但能解決問題就更棒了.這個時候，所有人都變成了“高斯的同學(xué)”，會先一個一個地傻算，然后造出個表來.從理論上講，只要你有足夠的耐心，愿意花足夠多的時間，就可以得出結(jié)果來.在雅各·伯努利之前，已經(jīng)有人編寫出了前幾位數(shù)的2次方到6次方的和的表了.這可是一大本書，想想看吧.雅各·伯努利就相當(dāng)于算等冪和的高斯，他得出了所有等冪和的公式！比如，他算出

1¹⁰+2¹⁰…+1000¹⁰

=91 409 924 241 424 243 424 241 924 242 500.雅各的公式中出現(xiàn)了一系列的分?jǐn)?shù)B₀，B₁，B₂，…，B_n，…，它們被后人稱為伯努利數(shù).在沒有計(jì)算機(jī)的時代，算等冪和十分鐘也就了事！神吧？伯努利數(shù)可不止這點(diǎn)兒用處，從代數(shù)數(shù)論到微分拓?fù)?，好多地方都有它的身?喏，這就是高等數(shù)學(xué)了.

三、約翰·伯努利

伯努利家族經(jīng)過五代的拼搏.產(chǎn)生了第一位偉大的數(shù)學(xué)家——雅各·伯努利.但第一有第一的難處，一切都要從頭做起.以微積分為例，雖然是牛頓首先發(fā)明了微積分，但一直沒有發(fā)表論文.別人問他，他也不會仔細(xì)地告訴他們.到了17世紀(jì)80年代，德國的萊布尼茨發(fā)表了他獨(dú)立發(fā)明的微積分，但論文也很難懂.雅各在1687年寫信向萊布尼茨求教.萊布尼茨可不像牛頓，他喜歡同別人溝通、交流，但可惜萊布尼茨這時正在各地旅游，沒有收到信.于是雅各只好自己鉆研，最后終于搞明白了萊布尼茨的兩篇論文.雅各又把自己的心得體會加了進(jìn)去。并教給別人，其中就包括他的弟弟約翰·伯努利.到了1690年以后，兄弟兩人都和萊布尼茨通上了信，這便開始發(fā)展成為人數(shù)眾多的“大陸學(xué)派”.

雅各和約翰的父親沒有搞獨(dú)生子女政策，他一共有十個子女，雅各是老五，約翰則差不多是最小的.父親同樣也干涉約翰的志愿，他希望約翰子承父業(yè)去經(jīng)商.年輕人多少都有點(diǎn)兒叛逆心理.同哥哥一樣，約翰反倒選擇了學(xué)術(shù)事業(yè).1683年約翰進(jìn)入巴塞爾大學(xué)，1685年取得藝術(shù)碩士學(xué)位.在三大專業(yè)中，他又選擇了醫(yī)學(xué)專業(yè)，讀了五年，1690年取得醫(yī)學(xué)碩士學(xué)位，并在1694年取得博士學(xué)位.博士論文是關(guān)于肌肉生理學(xué)方面的.顯然這是醫(yī)學(xué)的一個重要課題.不過他并沒有去當(dāng)醫(yī)生，而是同他哥哥一塊兒搞起了數(shù)學(xué)研究.1687年是關(guān)鍵的一年，那一年最重要的事情當(dāng)然是牛頓出版了他的巨著《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》.顯然，伯努利兄弟還不能很快地理解它.雅各剛剛弄懂萊布尼茨發(fā)表的兩篇微積分論文，便興高采烈地教給了他的弟弟約翰.那年約翰剛滿20歲，跟著哥哥成為了懂微積分的第四個人.兄弟兩人都有足夠的天分，他們不僅能夠理解萊布尼茨的開創(chuàng)性工作，而且能夠加以發(fā)展，用來解決各種前沿問題.

師傅領(lǐng)進(jìn)門，修行在個人.約翰很快就感覺到生活在哥哥的影子中并不愉快.雅各比約翰大12歲還多.人們自然會以為約翰的論文少不了哥哥的幫忙.為了擺脫哥哥的影響，既然雅各已經(jīng)取得了巴塞爾大學(xué)的數(shù)學(xué)教席，約翰就只好去別處找工作了.

（未完待續(xù)）