數(shù)學(xué)分析課程的教學(xué)改革與實(shí)踐探究

【摘""要】本文對數(shù)學(xué)分析課程的現(xiàn)狀和存在的問題進(jìn)行了細(xì)致分析，并對該課程的教學(xué)改革從教學(xué)內(nèi)容的調(diào)整、教學(xué)方法改革、引進(jìn)現(xiàn)代化教學(xué)手段和增加數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)等方面進(jìn)行了思考和實(shí)踐探究。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)分析""教學(xué)改革""教學(xué)手段

【中圖分類號】G642""""""""【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A"""""""""【文章編號】1674-4810（2015）16-0057-02

一"現(xiàn)狀及存在的問題

在數(shù)學(xué)類專業(yè)（我校有師范類數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)和信計(jì)與計(jì)算科學(xué)）的培養(yǎng)方案中，數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、空間解析幾何這三門課是大一、大二年級的重要專業(yè)基礎(chǔ)課（通常稱為“老三基”），其中以數(shù)學(xué)分析尤為重要。不僅因?yàn)樗鼩v時(shí)最長，其教學(xué)過程貫穿三個(gè)學(xué)期，還因?yàn)樗菍W(xué)生后續(xù)專業(yè)課程（如常微分方程、復(fù)變函數(shù)論、實(shí)變函數(shù)論、概率統(tǒng)計(jì)等）所必需的基本理論、基本方法和基本技能。數(shù)學(xué)分析課程具有內(nèi)容經(jīng)典、體系完整、理論推理嚴(yán)密等特點(diǎn)，所體現(xiàn)的分析思想、邏輯推理方法和處理問題的技巧，在學(xué)生的整個(gè)專業(yè)學(xué)習(xí)和科學(xué)研究中起著奠基性的重要作用。

數(shù)學(xué)分析課程的教學(xué)內(nèi)容經(jīng)典，幾十年來基本不變;內(nèi)容過于抽象化、理論化，容易使學(xué)生感到枯燥、難以理解，難以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。不少學(xué)生學(xué)了一兩個(gè)學(xué)期了還沒入門，甚至到了畢業(yè)季還在重修數(shù)學(xué)分析的學(xué)生也不少見。

教學(xué)方式陳舊，基本上是“滿堂灌”，教師臺上講、學(xué)生座下聽，教師只管按部就班地完成教學(xué)任務(wù)。數(shù)學(xué)分析課程體系的完整性、理論推理的嚴(yán)密性是保住了，但學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和創(chuàng)新能力是否得到培養(yǎng)卻無法保證。

教學(xué)手段基本都是采用“黑板+粉筆”的方式，教師忙于板書，抄定義抄定理抄例題需要花費(fèi)大量時(shí)間，學(xué)生埋頭記筆記，課后還得花大量時(shí)間消化。

由于數(shù)學(xué)分析課程的理論性強(qiáng)、趣味性差、辯證分析多、定理證明多、實(shí)際應(yīng)用較少、對學(xué)生的邏輯分析能力要求高。另外，學(xué)生由于剛從中學(xué)升上來，還沒有形成系統(tǒng)的學(xué)習(xí)方法，對數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)方式和教學(xué)進(jìn)度的要求還不習(xí)慣，特別是極限的精確定義“ε-δ語言”的引進(jìn)，讓學(xué)生無所適從，即使課堂上聽懂了習(xí)題也常常不知從何下手，容易產(chǎn)生挫敗感，會(huì)影響到學(xué)習(xí)的耐性和毅力，一旦形成定式后果不堪設(shè)想。

隨著我校新一輪的教學(xué)改革，加強(qiáng)了通識課程模塊和實(shí)踐教學(xué)模塊，而且每學(xué)期的學(xué)時(shí)數(shù)從18調(diào)整為16，課程量增加了，這樣每門課程的課時(shí)也就相對減少了。特別是數(shù)學(xué)分析課程，從以往的（師范類數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)）300學(xué)時(shí)和（信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)）280學(xué)時(shí)分別調(diào)整為256學(xué)時(shí)和224學(xué)時(shí)。

鑒于課時(shí)數(shù)減少的現(xiàn)狀，以上問題更加突出，因此數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)內(nèi)容的調(diào)整、教學(xué)手段的改革成為重中之重。

二"教學(xué)內(nèi)容調(diào)整

數(shù)學(xué)分析課程對未來從事數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)教育及數(shù)學(xué)應(yīng)用等方面人才的培養(yǎng)有著重要意義，擔(dān)負(fù)著培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和推理能力的重任，所以要保證數(shù)學(xué)分析基本理論體系的完整性，不能簡單地刪掉某些部分的內(nèi)容。鑒于兩個(gè)專業(yè)的定位是數(shù)學(xué)教育與數(shù)學(xué)應(yīng)用，所以在保證數(shù)學(xué)分析課程理論體系完整性的前提下，有選擇地弱化某些內(nèi)容的所謂的“嚴(yán)格”，有選擇地避開難點(diǎn)，可減輕學(xué)生的厭學(xué)情緒。而另外開設(shè)的一門選修課分析選講，供有志于往數(shù)學(xué)研究方向發(fā)展的學(xué)生選修，在那里可使這些學(xué)生得到良好的理論補(bǔ)充和訓(xùn)練。具體做法如下：

極限理論的ε-δ表述是數(shù)學(xué)分析的靈魂，其間有著大量的邏輯證明和分析數(shù)學(xué)的辯證思想，是形成學(xué)生分析數(shù)學(xué)思想的基礎(chǔ)，在四年數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)習(xí)中的地位舉足輕重。因此教學(xué)中，宜采用先慢后快的策略，在學(xué)時(shí)數(shù)的安排上要有所側(cè)重，多進(jìn)行典型例題及作業(yè)的評講和理論脈絡(luò)的梳理。這部分內(nèi)容絲毫不能削弱，這是必須堅(jiān)持的。

極限續(xù)論部分，可以選擇一個(gè)定理（如閉區(qū)間套定理）作為主線，用它就足以證明所有閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)了。而其他的實(shí)數(shù)連續(xù)性定理嚴(yán)格的完整的討論可留在選修課分析選講里細(xì)講。為避免難點(diǎn)過度集中，建議把這部分安排在第二學(xué)期，置于定積分理論之前，這不會(huì)影響理論體系的完整性。

關(guān)于曲線的曲率問題，我們把它留給學(xué)生自學(xué)，實(shí)際上略去它對本課程的系統(tǒng)性并無多大影響。

對隱函數(shù)存在定理，它的證明相當(dāng)繁復(fù)，學(xué)生很難能完整地聽完老師的推演過程，可借助幾何畫板的動(dòng)畫功能動(dòng)態(tài)地演示其證明過程，使學(xué)生可以獲得隱函數(shù)存在的直觀感受。

特別是對信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)，由于學(xué)時(shí)更少，有些內(nèi)容（如定積分的達(dá)布和的性質(zhì)的討論、可積函數(shù)類的證明、Green公式和Gauss公式的證明，等等）還得適當(dāng)壓縮，以此來節(jié)省課時(shí)。

三"教學(xué)方法改革

數(shù)學(xué)分析課程的概念繁多，講授概念時(shí)要重點(diǎn)闡述概念產(chǎn)生的背景和概念的本質(zhì)，講清客觀世界、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)語言以及三者之間的關(guān)系;既要能夠用形式語言表述數(shù)學(xué)問題，也要能用邏輯語言、數(shù)學(xué)語言表述概念的定義、內(nèi)涵與本質(zhì)屬性。

數(shù)學(xué)分析課程的教學(xué)需要大量的分析過程和理論推導(dǎo)，因此，教師授課時(shí)就會(huì)有大量的板書。教師應(yīng)注意板書的設(shè)計(jì)，配合幾何圖形進(jìn)行證明（或解題）過程的分析，再在另外的版面完整地寫出理論推導(dǎo)，切不可照本宣科。

提醒學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)始終持“懷疑”態(tài)度，敢于懷疑并提出問題，盡可能地解決問題，啟發(fā)學(xué)生深入思考;不僅知道是什么，而且要知道為什么，知其然也知其所以然。

美國數(shù)學(xué)家哈爾莫斯指出，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一方法是做數(shù)學(xué)。所以教師授課時(shí)，應(yīng)圍繞教學(xué)內(nèi)容提出問題，讓學(xué)生參與解決，發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)手。不止“做”習(xí)題，還要“做”例題，“做”定理，把所學(xué)的東西都“做”懂，不留問題或少留問題，增強(qiáng)了學(xué)數(shù)學(xué)的信心，數(shù)學(xué)的進(jìn)步就不在話下了。

教師授課時(shí)應(yīng)有意識地培養(yǎng)學(xué)生歸納問題、概括問題的能力，掌握數(shù)學(xué)分析整體的知識結(jié)構(gòu)、掌握發(fā)現(xiàn)問題解決問題的技能技巧，形成自己的知識結(jié)構(gòu)，對課程有一個(gè)全面認(rèn)識。

四"引進(jìn)現(xiàn)代化教學(xué)手段

鑒于課程學(xué)時(shí)縮減的現(xiàn)狀，傳統(tǒng)的純板書式的教學(xué)手段已經(jīng)不能滿足時(shí)代的要求，現(xiàn)代化教學(xué)手段的引進(jìn)為教學(xué)改革提供了必要的條件。

利用PPT幻燈片演示，授課教師只需在黑板上推演定理的證明過程和例題的解題過程，而省去板書定理和例題的時(shí)間，可以節(jié)省課時(shí)，增加信息量，提高教學(xué)效率。

借助數(shù)學(xué)軟件Mathematica或Matlab，繪制一些重要而又較難手繪的函數(shù)圖像及曲面圖形，形象直觀地將數(shù)學(xué)分析中一些抽象的難以理解的概念和分析過程在計(jì)算機(jī)上以動(dòng)態(tài)方式展示;如可做ε-δ證明的動(dòng)態(tài)顯示，讓學(xué)生更好地理解極限理論的ε-δ表述;再如定積分的定義及其近似計(jì)算，求方程的近似解，重積分、曲線積分和曲面積分的計(jì)算，利用冪級數(shù)展開式計(jì)算某些函數(shù)值等等，都可以使用數(shù)學(xué)軟件將細(xì)化過程動(dòng)態(tài)展示出來。這種通過計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)展現(xiàn)出來的數(shù)形結(jié)合的基本數(shù)學(xué)思想，有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念，了解數(shù)學(xué)的本質(zhì)和規(guī)律;不但可以加強(qiáng)對抽象概念的直觀理解，還可以提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)解決實(shí)際問題的能力。

借助學(xué)校的精品課程建設(shè)，利用互聯(lián)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行輔助教學(xué)的研究，我們已經(jīng)為數(shù)學(xué)分析課程在校園網(wǎng)上建立了空中教室。

五"增加數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)

通過數(shù)學(xué)軟件Mathematica或Matlab增加數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生自己動(dòng)手繪制函數(shù)圖像及曲面圖形，驗(yàn)證計(jì)算結(jié)果。這樣，不但可以加強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)分析中的抽象概念的直觀認(rèn)識和理解，還可以提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)解決實(shí)際問題的能力，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)分析課程的興趣。

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〔責(zé)任編輯：林勁〕