安康學(xué)院食堂排隊(duì)系統(tǒng)的實(shí)證分析

【摘""要】泊松過(guò)程是隨機(jī)過(guò)程中的重要內(nèi)容，但是與其相關(guān)的兩種序列的分布討論較少。本文不僅給出了這兩種分布的密度函數(shù)，還收集了實(shí)際數(shù)據(jù)，對(duì)時(shí)間間隔序列分布做出了符合實(shí)際意義的解釋。

【關(guān)鍵詞】泊松過(guò)程""時(shí)間間隔序列""實(shí)證

【中圖分類(lèi)號(hào)】O211.6陳立強(qiáng)""""""""【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A"""""""""【文章編號(hào)】1674-4810（2015）16-0039-02

排隊(duì)系統(tǒng)是隨機(jī)過(guò)程中的一個(gè)重要的內(nèi)容。在整個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)中，體現(xiàn)出一個(gè)隨機(jī)過(guò)程：泊松過(guò)程;兩種分布：指數(shù)分布，愛(ài)爾蘭分布。下面通過(guò)安康學(xué)院食堂排隊(duì)系統(tǒng)這一實(shí)例分析排隊(duì)系統(tǒng)在實(shí)際中是如何應(yīng)用的。

一"泊松過(guò)程及其相關(guān)的序列

1.泊松過(guò)程的定義

計(jì)數(shù)過(guò)程（Counting"Process）定義：設(shè)N（t）={N（t）|t≥0，t∈T}是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，表示到t時(shí)刻為止已知事件“A”發(fā)生的次數(shù)，并且N（t）滿足所有下列條件：（1）N（t）≥0;（2）N（t）∈N+;（3）若s

則稱(chēng)N（t）是計(jì)數(shù)過(guò)程。

泊松過(guò)程（Poisson"Process）的第一定義（簡(jiǎn)稱(chēng)為A定義）：滿足下面三條的計(jì)數(shù)過(guò)程N(yùn)（t）={N（t）|t≥0，t∈T}叫作泊松過(guò)程：（1）N（0）=0;（2）N（t）是獨(dú)立增量過(guò)程;（3）在任意長(zhǎng)度為t的區(qū)間上，事件“A”發(fā)生的次數(shù)服從參數(shù)為λ，λgt;0的泊松分布，即，對(duì)任

意的s，t∈[0，+∞）有：P（N（t+s）-N（s）=n）=

e-λt·，n=0，1，2，…，∞。

泊松過(guò)程（Poisson"Process）的第二定義（簡(jiǎn)稱(chēng)為B定義）：滿足下面三條的計(jì)數(shù)過(guò)程N(yùn)（t）={N（t）|t≥0，t∈T}叫作泊松過(guò)程：（1）N（0）=0;（2）N（t）是獨(dú)立、平穩(wěn)增量過(guò)程;（3）N（t）滿足下面兩等式：P（N（t+h）-N（t）=1）=λn+o（h），P（N（t+h）-N（t）≥2）=o（h）。

泊松過(guò)程兩個(gè)定義是等價(jià)的，由于證明過(guò)程太長(zhǎng)，本文不給出證明，參見(jiàn)參考文獻(xiàn)。另外本人在論文《泊松過(guò)程兩種等價(jià)性定義證明》中也給出了詳細(xì)證明。

2.排隊(duì)系統(tǒng)中的隨機(jī)問(wèn)題

安康學(xué)院食堂學(xué)生排隊(duì)系統(tǒng)中體現(xiàn)出三個(gè)隨機(jī)問(wèn)題。本文也正是通過(guò)實(shí)地調(diào)查把這三個(gè)模型運(yùn)用于實(shí)踐之中。

模型：安康學(xué)院食堂的窗口在為學(xué)生服務(wù)時(shí)：A.設(shè)N（t）是t時(shí)刻到達(dá)某窗口（假設(shè)K窗口）的學(xué)生總數(shù)，是一個(gè)t時(shí)刻的隨機(jī)變量;B.設(shè)ω1，ω2，ω3，…，ωn表示第一，第二，第三，……，第n個(gè)學(xué)生到達(dá)食堂打飯的時(shí)刻，是一個(gè)隨機(jī)序列;C.設(shè)Ti（i=1，2，…n）表示第i個(gè)學(xué)生到達(dá)的時(shí)刻與第i+1個(gè)學(xué)生到達(dá)時(shí)刻的時(shí)間間隔，是一個(gè)時(shí)間序列。

定理1：設(shè){N（t）|t≥0}是泊松過(guò)程，參數(shù)為λ，{Tn|n∈N"}是對(duì)應(yīng)的時(shí)間間隔序列（模型中的C），則：Tn為

服從參數(shù)為的指數(shù)分布序列。

證明：事件{T1gt;t}發(fā)生等價(jià)于泊松過(guò)程在（0，t]上沒(méi)有事件發(fā)生。

∴P{T1gt;t}=P{N（t）=0}=·（λt）0=e-λt

∴FT1（t）=P{T1≤t}=1-e-λt即T1服從參數(shù)為的

指數(shù)分布。

∵T1=s=ω1與T2gt;t獨(dú)立。

P{T2gt;t}=P{T2gt;t"|T1=s}=P{在（s，s+t]內(nèi)發(fā)生事件A|T1=s}

=P{在（s，s+t]內(nèi)沒(méi)有事件發(fā)生}

=P{N（t+s）-N（s）=0}=·（λt）0=e-λt

∴FT2（t）=P{T2≤t}=1-e-λt即T2也服從參數(shù)為

的指數(shù)分布。

對(duì)于n≥1時(shí)，s1，s2，…，sn-1，tgt;0時(shí)，

P{Tngt;t}=P{Tngt;t"|T1=s1，T2=s2，…，Tn-1=sn-1}

∵Tngt;t"|T1=s1，T2=s2，…，Tn-1=sn-1表示在（ωn-1，ωn]上無(wú)事件發(fā)生。

∴P{Tngt;t"|T1=s1，T2=s2，…，Tn-1=sn-1}=P{N（t+s1+s2+…+sn-1）-N（s1+s2+…+sn-1）=0}

*"安康學(xué)院高層次人才啟動(dòng)項(xiàng)目（編號(hào)：2013AYQDZR11）

=P{N（t）-N（0）=0}=·e-λt=e-λt

∴FTn（t）=P{Tn≤t}=1-P{Tngt;t}=1-e-λt

∴Tn服從參數(shù)為的指數(shù)分布。

∴FTn（t）=（λgt;0，是常數(shù)）。

Tn的密度函數(shù)為：fTn（t）=（λgt;0，是常數(shù)）。

定理2：設(shè){N（t）|t≥0}是泊松過(guò)程，參數(shù)為λ，{ωn|n≥1}是其對(duì)應(yīng)的到達(dá)時(shí)間序列或是等待時(shí)間序列（模型中的B），則ωn服從參數(shù)為λ的分布，其密度函數(shù)為：

（λgt;0，是常數(shù)）。

證明：明顯有等價(jià)關(guān)系：ωn≤tN（t）≥n

二"泊松過(guò)程及其序列在安康學(xué)院食堂排隊(duì)系統(tǒng)中的實(shí)證

利用學(xué)生在安康學(xué)院1號(hào)食堂收集的數(shù)據(jù)，帶入到

上面的模型中，可以得到一些實(shí)用的結(jié)果。

定理3：設(shè)N（t）={N（t）|t≥0，t∈T}是強(qiáng)度為λ

的泊松過(guò)程，則EN（t）=λt。

數(shù)據(jù)（單位時(shí)間到達(dá)K窗口的學(xué)生人數(shù)）：

注：（1）第一行為學(xué)生到達(dá)k窗口的時(shí)間單位：分鐘。（2）第二行為到達(dá)K窗口的學(xué)生人數(shù)，單位是個(gè)。（3）統(tǒng)計(jì)時(shí)間是：中午12點(diǎn)到13點(diǎn)。

平均到達(dá)人數(shù)為：EN（t）=12+20+18+15+10+8+5+4+4+3+1+1=101

K窗口服務(wù)強(qiáng)度，即長(zhǎng)時(shí)間來(lái)

看，K窗口中午每分鐘平均服務(wù)1.683個(gè)學(xué)生。

應(yīng)用定理1知道：第i-1個(gè)學(xué)生到達(dá)與第i個(gè)學(xué)生

到達(dá)的間隔服從強(qiáng)度為的指數(shù)分布，其密

度函數(shù)為：。其分布函數(shù)為：

例示：時(shí)間在32分鐘時(shí)，等待間隔的分布為：FTn（32）=1-e-1.683×32≈1，表示：絕大多數(shù)的學(xué)生在第32分鐘前去打飯，即在12∶30以前，幾乎全部學(xué)生打飯完畢。

帶入定理2，一樣可以得到相關(guān)結(jié)果，不贅述。

參考文獻(xiàn)

[1]李裕奇、劉赪、王沁編著.隨機(jī)過(guò)程（第2版）[M].北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2008

[2]陳立強(qiáng).泊松過(guò)程兩種定義等價(jià)性證明[J].安康學(xué)院學(xué)報(bào)，2014（4）

〔責(zé)任編輯：林勁〕