重慶高考數(shù)學(xué)近五年縱向比較分析

摘 要：筆者通過親自定時(shí)實(shí)做了重慶近五年高考文理科十套數(shù)學(xué)試題、2014年十八套全國各地高考文科數(shù)學(xué)試題，對重慶近五年高考數(shù)學(xué)試題進(jìn)行了縱向比較，對2014年全國各地高考數(shù)學(xué)試題進(jìn)行了橫向比較分析，總結(jié)出了重慶每年必考熱點(diǎn)、新增熱點(diǎn)、考查冷點(diǎn)，并提出了高效復(fù)習(xí)六條措施，目的是力求尋找重慶高考數(shù)學(xué)命題規(guī)律，達(dá)到掌握規(guī)律，高效復(fù)習(xí)的目的.

關(guān)鍵詞：重慶；高考數(shù)學(xué)；縱向比較；復(fù)習(xí)建議

近五年重慶市高考數(shù)學(xué)試題緊密結(jié)合全市實(shí)施課程改革的教學(xué)現(xiàn)狀，區(qū)分度、信度和效度的控制符合考試性質(zhì)，文理科試題既有聯(lián)系又有較大差異，有利于高考數(shù)學(xué)考查目標(biāo)及數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)；試題立足于學(xué)科核心內(nèi)容和主干知識的考查，就試題的難度來看，無論是文科還是理科有遞減的趨勢，比如2014年只有重慶卷、北京卷最簡單，三份全國卷難度次之，四川、天津、陜西、遼寧、浙江卷較難，江西、江蘇卷最難，甚至比重慶理科還難.重慶的這種命題模式成功實(shí)現(xiàn)了新舊課標(biāo)的平穩(wěn)過渡，值得一提的是2014年理科和文科的第10題、第21題，文科的第15題有一定的創(chuàng)新意識，這也符合“平穩(wěn)中創(chuàng)新”的高考指導(dǎo)思想.總的來說，堅(jiān)持了對基礎(chǔ)知識、數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行考查.試卷有層次、多角度、廣視點(diǎn)地考查了考生數(shù)學(xué)理性思維能力，考生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解能力及考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和潛能.試卷對課程中新增內(nèi)容和傳統(tǒng)內(nèi)容進(jìn)行了科學(xué)、規(guī)范的結(jié)合，真正體現(xiàn)了新課程理念. 重慶卷與其他各地高考試卷相比有非常明顯的特點(diǎn)：注重基礎(chǔ)，力圖創(chuàng)新；注重思維，考查能力；承上啟下，確保穩(wěn)定. 下面將重慶近五年高考數(shù)學(xué)做如下分析，力求尋找高考命題規(guī)律，達(dá)到掌握規(guī)律、高效復(fù)習(xí)的目的.

[?] 近五年重慶高考數(shù)學(xué)縱向比較分析與2015考點(diǎn)預(yù)測

（一）文科數(shù)學(xué)（見表1）

1. 必考熱點(diǎn)

（1）集合的交并補(bǔ)集運(yùn)算（解一元二次不等式、指數(shù)對數(shù)不等式）.

（2）等差、等比數(shù)列的性質(zhì)及其通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和.

（3）三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（周期性、單調(diào)性、奇偶性及最值等），圖象變換，三角函數(shù)值的計(jì)算與恒等變換，利用正弦定理、余弦定理解三角形等.

（4）向量的平行、垂直、數(shù)量積公式應(yīng)用.

（5）概率：古典概率或幾何概率（蘊(yùn)涵線性規(guī)劃思想）.

（6）雙曲線的離心率（近四年均考）.

（7）解一元二次不等式（單獨(dú)考查或在導(dǎo)數(shù)大題中考查）.

（8）利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求極值或求切線或單調(diào)區(qū)間.

（9）直線與圓的位置關(guān)系或圓的性質(zhì).

（10）立體幾何，考查點(diǎn)線面的位置關(guān)系，求棱錐、棱柱的體積或面積等.

（11）橢圓與圓，考查橢圓與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓和圓的位置關(guān)系（雙曲線、拋物線降低要求，由掌握降為了解）.

2. 新增熱點(diǎn)

（1）復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算（近兩年均考）.

（2）程序框圖（近兩年均考）.

（3）利用幾何體三視圖求其體積或面積（近兩年均考）.

（4）命題關(guān)系（近三年均考）.

（5）函數(shù)零點(diǎn)（2014年考查，重點(diǎn)考查方程思想、數(shù)形結(jié)合思想）.

（6）函數(shù)奇偶性（近三年均考）.

（7）均值不等式求最值（2010年、2011年、2014年均考）.

3. 考查冷點(diǎn)

（1）線性規(guī)劃（僅2010年考查，近四年未考，2014年幾何概率蘊(yùn)涵線性規(guī)劃思想.從2014年全國各地（按照天利38套總結(jié)）的18套高考卷來看只有五個(gè)省市沒考，13個(gè)省市均考）.

（2）線性回歸（僅2013年考查）.

（3）拋物線（僅2010年考查，近四年未考）.

（4）冪函數(shù)（近五年未考），考綱要求：①了解冪函數(shù)的概念，②結(jié)合函數(shù) y=x，y=x2，y=x3，y=，y=x的圖象，了解它們的變化情況.

（5）莖葉圖（僅2013年考了莖葉圖與概率），作莖葉圖、眾數(shù)、方差、極差近五年未考.

（6）獨(dú)立性檢驗(yàn)（近五年未考，2014年僅安徽、遼寧卷進(jìn)行了考查，今年重慶高考考試說明中未作要求）.

（7）系統(tǒng)抽樣（近五年未考，新課標(biāo)下考綱新增了對“系統(tǒng)抽樣”的考查）.

（8）指對數(shù)運(yùn)算（近五年未考，但2011年、2012年考過對數(shù)值大小比較）.

（二）理科數(shù)學(xué)（見表2）

1. 必考熱點(diǎn)

（1）復(fù)數(shù)相等的充要條件與其加減乘除運(yùn)算和模的運(yùn)算.

（2）等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和及其性質(zhì).

（3）三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（周期性、單調(diào)性、奇偶性及最值等），圖象變換，三角函數(shù)值的計(jì)算與恒等變換，利用正弦定理、余弦定理解三角形等.

（4）向量的平行、垂直、數(shù)量積公式應(yīng)用. 新課標(biāo)增加了對含義和意義的理解，要求掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，了解數(shù)量積與向量投影的關(guān)系，能用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角.

（5）函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性與最值.

（6）利用排列組合求概率，求離散型隨機(jī)變量的分布列與期望.

（7）直線與圓的位置關(guān)系或圓的性質(zhì).

（8）立體幾何，考查點(diǎn)線面的位置關(guān)系，求棱錐、棱柱的體積或表面積等.

（9）利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求極值或求切線或求單調(diào)區(qū)間.

（10）橢圓與圓，考查橢圓與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓和圓的位置關(guān)系（雙曲線、拋物線降低要求，由掌握降為了解）.

（11）求解數(shù)列中的某些指標(biāo)并證明與之有關(guān)的不等式.

（12）集合的交并補(bǔ)集運(yùn)算（2011年未考，2010、2012、2013、2014年均考）. 增加了“能用自然語言、圖形語言、集合語言（列舉法或描述法）描述不同的具體問題”、“能使用韋恩圖（Venn）表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算”；要會求集合的交、并、補(bǔ)，能識別給定集合的子集.

（13）常用簡易邏輯，命題關(guān)系（近四年均考）.

2. 新增熱點(diǎn)

（1）程序框圖（近兩年均考）.

（2）利用幾何體三視圖求其體積或面積（近兩年均考）.

（3）排列組合（近三年均考）.

（4）平面幾何中圓的有關(guān)性質(zhì)、極坐標(biāo)、不等式選講內(nèi)容三選二.

（5）向量解法的考查（2013年考了選擇壓軸題）.文科不再要求向量解法，而理科考綱提高了要求，強(qiáng)化了對向量解法的考查，比如理科學(xué)生可強(qiáng)化訓(xùn)練例1.

例1 如圖1，AB∥MN，且2OA=OM，若=x+y（其中x，y∈R），則終點(diǎn)P落在陰影部分（含邊界）時(shí)，的取值范圍是_________.

簡要分析：

若P在直線AB上，則x+y=1；

若P，O在直線AB同側(cè)，則x+y<1；

若P，O在直線AB異側(cè)，則x+y>1，

所以由終點(diǎn)落在陰影部分得出x，y滿足的約束條件為x+y≥1，

x+y≤2，

x≥0，y≥0，接著把變形為=+1，然后由線性規(guī)劃知識即可求得其取值范圍是

，4.

3. 考查冷點(diǎn)

（1）線性規(guī)劃（僅2010年考查，近四年未考）.

（2）線性回歸（僅2014年考查）.

（3）雙曲線離心率（僅2014年考查）.

（4）函數(shù)零點(diǎn)（僅2013考查）. 函數(shù)與方程考綱要求：①結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系，判斷一元二次方程的存在性及根的個(gè)數(shù). ②根據(jù)具體函數(shù)的圖象，能夠用二分法求相應(yīng)方程的近似解.

（5）拋物線（近兩年未考，前三年均考）. 理科降低了對雙曲線的要求，由“掌握”改為“了解”，文科降低了對雙曲線、拋物線的要求，由“掌握”改為“了解”.

（6）均值不等式求最值（近三年未考，僅在2014年導(dǎo)數(shù)大題中涉及一步，2010、2011年均考查）.

（7）頻率分布（近五年未考）.

（8）有關(guān)定積分的選擇、填空題（未考）.

理科新增“定積分與微積分基本定理，考綱要求：①了解定積分的實(shí)際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念；②了解微積分基本定理的含義.

（9）冪函數(shù)（近五年未考），考綱要求：①了解冪函數(shù)的概念；②結(jié)合函數(shù)y=x，y=x2，y=x3，y=，y=x的圖象，了解它們的變化情況.

[?] 2015年高考數(shù)學(xué)高效復(fù)習(xí)建議

1. 重視教材，狠抓基礎(chǔ)

注意基礎(chǔ)知識的全面性復(fù)習(xí)，立足中低檔題目，降低復(fù)習(xí)的重心，注重復(fù)習(xí)的過程教學(xué)，提高學(xué)生的思維能力.

數(shù)學(xué)試題區(qū)分度的增加是必然的，但考查基礎(chǔ)的趨勢是不會變的，主要是適當(dāng)增加創(chuàng)新成分，同時(shí)又保留一定的基礎(chǔ)分. 因此，基礎(chǔ)題仍然是試題的主要構(gòu)成部分，是學(xué)生得分的主要來源. 堅(jiān)持以中低檔題為主的訓(xùn)練策略，第一輪復(fù)習(xí)的要點(diǎn)一是要對準(zhǔn)110分，加強(qiáng)低、中檔題的訓(xùn)練，尤其是對選擇題和填空題的訓(xùn)練；二是在“三基”的訓(xùn)練中，力求過手. 在每個(gè)階段都要做到三個(gè)回歸，即“回歸教材，回歸基礎(chǔ)，回歸近幾年的高考題”.

以課本為基礎(chǔ)，全面整合知識，總結(jié)方法，注意知識點(diǎn)之間的銜接，抓知識點(diǎn)之間的交匯點(diǎn)，這是高考命題的一個(gè)特點(diǎn)，也是一個(gè)重點(diǎn). 從基礎(chǔ)知識中提煉數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法. 要求做到：

（1）對概念的理解一定要深刻、準(zhǔn)確；

（2）明確公式、定理的原理及正逆推導(dǎo)的過程；

（3）掌握好各個(gè)知識點(diǎn)之間的相互聯(lián)系，尋找它們的交集點(diǎn).

事實(shí)上，有很多的高考數(shù)學(xué)試題都是從課本上基礎(chǔ)題目的直接引用或稍作變形而得到的. 第一輪復(fù)習(xí)一定要重視基礎(chǔ)，切忌盲目追求進(jìn)度，要認(rèn)真引導(dǎo)學(xué)生理清知識發(fā)生的本質(zhì)，如一些重要公式、定理等的來龍去脈，幫助學(xué)生構(gòu)建起高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識網(wǎng)絡(luò). 曾記得2010年四川高考數(shù)學(xué)解答題要求推導(dǎo)兩角和的余弦公式讓很多考生無從下手，至今讓人心有余悸，這給我們既是教訓(xùn)又是經(jīng)驗(yàn)，必須吃一塹，長一智，爭取不再出現(xiàn)復(fù)習(xí)盲點(diǎn). 所以必須多閱讀教材，以避免一些知識盲點(diǎn). 同時(shí)在復(fù)習(xí)中必須克服眼高手低的毛病，不要好高騖遠(yuǎn)，充分以課本中的例題、習(xí)題為素材，通過變形、引申、發(fā)散等方式形成典型的例題，構(gòu)建知識塊，提煉通性通法，必要時(shí)盡量一題多解和多題一解，以幫助學(xué)生對基礎(chǔ)知識融會貫通，基本技能和思想方法得到充分的訓(xùn)練和培養(yǎng).

2. 潛心研究，高瞻遠(yuǎn)矚

教師要認(rèn)真學(xué)習(xí)《考試說明》、《課程標(biāo)準(zhǔn)》，要仔細(xì)琢磨歷年高考試題的命題特點(diǎn)及其穩(wěn)定性和變化趨勢，明確高考考什么，考到什么難度；明確命題形式、題型分布、知識點(diǎn)的覆蓋規(guī)律；明確每年命題的創(chuàng)新點(diǎn)、思想方法的切入點(diǎn)、能力考查的力度等，使復(fù)習(xí)有明確的方向. 要明確當(dāng)年高考在內(nèi)容、難度和題型要求上將要發(fā)生的變化，哪些內(nèi)容被刪去了，哪些內(nèi)容降低了要求，哪些內(nèi)容是增加的，都要做到心中有數(shù). 同時(shí)參考全國各地其他省市的高考試題，因?yàn)檎f不定其他省市今年的試題類型就是咱們今后的考題類型. 如表3所列舉的就是2014年全國各地文科高考試題中值得師生研究借鑒的題目.

比如陜西省2014年文科高考數(shù)學(xué)第21題、天津市2014年文科高考數(shù)學(xué)第19題解法不太常見，又有一些創(chuàng)新之處，很容易出現(xiàn)誤解或無從下手，值得師生認(rèn)真分析和研究，下面做簡要賞析.

例2 （2014陜西文科第21題）設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+，m∈R.

第（3）問：若對任意b>a>0，<1恒成立，求m的取值范圍.

思路：因?yàn)閎>a>0，<1，所以f（b）-f（a）

例3 （2014天津文科第19題）已知函數(shù)f（x）=x2-ax3（a>0），x∈R.

第（2）問：若對于任意x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）·f（x2）=1，求a的取值范圍.

思路：設(shè)A={f（x）

則由題意得A?B，且0?B. 再討論a的取值范圍進(jìn)行求解.

3. 暢游題海，提煉戰(zhàn)術(shù)

學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)就必須做題，各種類型題目的訓(xùn)練是必須的，我們不主張題海，但一定要提倡題海戰(zhàn)術(shù).要善于在解題后進(jìn)行歸納總結(jié)，達(dá)到積累解題經(jīng)驗(yàn)，提高解題水平的目的.

我們在選題時(shí)要注意題目的典型性、注意訓(xùn)練的目的性，要緊扣新課程標(biāo)準(zhǔn)，編寫教案，突出重點(diǎn)，注重基礎(chǔ). 注意對題型難度的控制和跟蹤練習(xí)題的配套使用，在夯實(shí)基礎(chǔ)的同時(shí)做到由淺入深，由特殊到一般，真正做到“解一道題，會一類題”.

幫助學(xué)生積累解題經(jīng)驗(yàn)，注重題型歸納，提高解題水平. 解題經(jīng)驗(yàn)主要包括：對某種類型的問題我們應(yīng)該如何思考，怎樣解最簡捷？比如：如何證明函數(shù)的單調(diào)性？怎樣求函數(shù)的最大（?。┲?？如何證明直線與平面垂直？怎樣求直線與平面的角？復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性有什么特點(diǎn)？橢圓的通徑和焦點(diǎn)三角形有什么特征等等？還有解選擇題時(shí)首選特值法，解答解析幾何大題時(shí)，若第二問太復(fù)雜可按照固定的程序，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理寫出一些關(guān)系式，后邊采取直接放棄的戰(zhàn)術(shù)一樣可以得到不菲的分?jǐn)?shù)，等等，這些都是構(gòu)成高考題的一些基本要素或有效解題的一些基本技巧和結(jié)論，都是值得考生認(rèn)真總結(jié)和記憶的內(nèi)容. 當(dāng)然不是要陷入題型分類與結(jié)論記憶之中，但記憶與把握一些基本思路和常用結(jié)論（數(shù)據(jù)），還是十分必要的，這對提高學(xué)生解題的起點(diǎn)和速度，增強(qiáng)看問題的深度十分有益.

4. 數(shù)學(xué)思想，滲透講解

主要思想方法有：函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合、數(shù)形結(jié)合與分離、有限與無限、特殊與一般. 在平時(shí)的講解中，無意識地提醒學(xué)生注意歸納數(shù)學(xué)思想. 如當(dāng)學(xué)生做函數(shù)題時(shí)，可以給學(xué)生說：“函數(shù)題做不出來時(shí)，可以首先畫出圖形，然后由圖形直觀感受和理解”，其實(shí)體現(xiàn)的是數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想. 當(dāng)學(xué)生做求值題時(shí)，可以給學(xué)生說：“求值時(shí)，可以先假設(shè)一個(gè)未知數(shù)，列一個(gè)等式，算出未知數(shù)就可以了”，其實(shí)體現(xiàn)的是函數(shù)與方程的思想. 總之，在平時(shí)的教學(xué)中教會學(xué)生的思維方法，授學(xué)生以漁是非常重要的.

5. 通法特技，兩全其美

新課標(biāo)中明確刪除了“要從學(xué)科整體意義和思想價(jià)值立意，注重通性通法，淡化特殊技巧，有效地檢測考生對中學(xué)數(shù)學(xué)知識中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想和方法的掌握程度”這句話. 通性通法，是解決某類問題的基本方法，具有通用性，強(qiáng)調(diào)通性通法為的是有利于學(xué)生把握相關(guān)知識內(nèi)容最本質(zhì)的東西，有利于學(xué)生形成基礎(chǔ)知識的結(jié)構(gòu)和網(wǎng)絡(luò)，也有利于消除多數(shù)學(xué)生的恐怖心理，能夠增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的信心. 然而通性通法一般解決不了創(chuàng)新題或背景新穎的題型，對優(yōu)生得高分有很大的阻礙. 所以還得學(xué)會一些特殊的方法和技巧，其思維具有一定的發(fā)散性，能對學(xué)生進(jìn)行創(chuàng)造性思維訓(xùn)練，有利于調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和積極性，有利于創(chuàng)新型問題的解決.

例4 （2014全國新課標(biāo)2卷文科第12題）

如圖2，設(shè)點(diǎn)M（x0，1），若在圓O：x2+y2=1上存在點(diǎn)N，使得∠OMN=45°，則x0的取值范圍是（ ）

本題是2014年全國新課標(biāo)高考2卷文科數(shù)學(xué)選擇壓軸題，從命題者的角度認(rèn)為該題能較好地考查考生的轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用及綜合分析能力，是一道拔高能力題，難度較大.

常規(guī)解法：設(shè)出直線MN的傾斜角為α，利用其傾斜角與直線OM的傾斜角θ滿足方程α=θ+45°，從而找到其斜率與x0的關(guān)系式.

k=tan（θ+45°）===（x0≠1）（當(dāng)x0=1時(shí)單獨(dú)驗(yàn)證成立）.

而直線MN：y-1=（x-x0），化簡得：（x0+1）x+（1-x0）y-（x+1）=0，

則O到MN的距離滿足≤1，化簡得-1≤x0≤1，故選A.

特殊解法：驗(yàn)證當(dāng)x0=1成立，可排除B、D，再驗(yàn)證x0=時(shí)，由于∠OMN=45°，N點(diǎn)最遠(yuǎn)在與圓相切位置成為切點(diǎn). 由ON⊥MN，得△OMN應(yīng)為等腰直角三角形，而由圖可知明顯ON=MN不成立，所以排除答案C，故只能選擇A.

很明顯，用常規(guī)解法求解太復(fù)雜，像平時(shí)這樣“小題大做”的訓(xùn)練方式可以訓(xùn)練學(xué)生的思維嚴(yán)謹(jǐn)性，訓(xùn)練學(xué)生的分析問題的能力和運(yùn)算能力，但高考時(shí)，如果這樣操作，就太浪費(fèi)時(shí)間. 而特殊解法利用了圖形和答案的特殊性，很快得出了答案，充分體現(xiàn)了特值法的優(yōu)越性. 所以通法特技需靈活應(yīng)用，爭取兩全其美.

6. 良好習(xí)慣，注重培養(yǎng)

（1）解題速度. 考試講究的是“任務(wù)完，時(shí)間到”，而不是“時(shí)間到，任務(wù)完”，要爭分奪秒，復(fù)習(xí)一定要有速度的訓(xùn)練，避免“小題大做”，如例4.

（2）計(jì)算能力. 數(shù)學(xué)就得做題，做題就得運(yùn)算，雖然近幾年高考試題計(jì)算量有所減少，但并不是對計(jì)算能力降低了要求.要熟練、準(zhǔn)確、簡捷、快速運(yùn)算.

（3）規(guī)范表達(dá). 高考以中低檔題為主，通過審題后獲得正確的解題思路相對容易，如何準(zhǔn)確而規(guī)范地表達(dá)出來就顯得重要了，因此，要克服“會而不對，對而不全”的問題，從開始就得注意規(guī)范化的表達(dá). 學(xué)生因?yàn)闀鴮懖灰?guī)范，沒條理失分的現(xiàn)象十分普遍，表現(xiàn)在：丟三落四，只求三言兩語，無關(guān)鍵步驟（如方程），不求推理有據(jù)，更談不上整齊、清潔、美觀. 要求師生在每一節(jié)課都要按高考答題格式板書一道題的全部解答過程的做法一定要落實(shí).

（4）學(xué)會總結(jié). 學(xué)生的知識都是單一的，我們除了在教學(xué)過程中給學(xué)生總結(jié)知識外，還要讓學(xué)生自己學(xué)會總結(jié).總結(jié)概念的形成、解題的方法、章節(jié)的聯(lián)系、出題的角度（揣摩命題者的意圖而獲得解決方案是研究試題的最高境界）等.

心誠求之，雖不中，不遠(yuǎn)矣.只要我們不斷地潛心研究，善于總結(jié)和完善，一定能找到適合于學(xué)情、教情、校情的最佳復(fù)習(xí)方法，一定能讓學(xué)生在高考中考出更好的成績.