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    中學(xué)物理競賽中連桿類習(xí)題的應(yīng)對策略

    2009-03-19 09:40
    關(guān)鍵詞:剛體角速度基點(diǎn)

    黃 晶

    近年來在物理競賽中開始出現(xiàn)有關(guān)連桿機(jī)構(gòu)的題目,如2007年第24屆全國中學(xué)生物理競賽第2題. 由于此類裝置平時(shí)較少涉及,導(dǎo)致部分同學(xué)對此束手無策,下面通過實(shí)例討論給出此類問題的一般分析思路.

    例題:圖1中所示為用三角形剛性細(xì)桿AB、BC、CD連成的平面連桿結(jié)構(gòu)圖. AB和CD桿可分別繞過A、D的垂直于紙面的固定軸轉(zhuǎn)動(dòng),A、D兩點(diǎn)位于同一水平線上. BC桿的兩端分別與AB桿和CD桿相連,可繞連接處轉(zhuǎn)動(dòng)(類似鉸鏈). 當(dāng)AB桿繞A軸以恒定的角速度ω轉(zhuǎn)到圖中所示的位置時(shí),AB桿處于豎直位置. BC桿與CD桿都與水平方向成角45°,已知AB桿的長度為l,BC桿和CD桿的長度由圖給定. 求此時(shí)C點(diǎn)加速度的大小和方向(用與CD桿之間的夾角表示)?

    一、速度分析

    方法一:基點(diǎn)法[1]

    以B點(diǎn)為基點(diǎn),C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)可以看成隨B點(diǎn)的平動(dòng)與繞B點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)的合成. 即有vC=vB+vBC,矢量圖如圖2所示. 所以有vC=vBcos45°=vB=ωl.

    方法二:速度投影法

    速度投影法指的是平面圖形上任意兩點(diǎn)的速度在這兩點(diǎn)連線上的投影必定相等. 它說明剛體上任意兩點(diǎn)間的距離在任意時(shí)刻都是不變的,實(shí)質(zhì)上反映了剛體不變形的屬性. 具體可列出:

    vC=vBcos45°=ωl.

    方法三:速度瞬心法[2]

    根據(jù)速度瞬心的定義,分別作出桿兩端點(diǎn)速度vB和vC的垂線交于O點(diǎn),O點(diǎn)即為速度瞬心,如圖3所示.

    設(shè)桿BC的角速度為ω1,則有ω1==. 故有vC=ω1·OC=ωl.

    二、加速度分析

    方法一:基點(diǎn)法

    此機(jī)構(gòu)中,連桿做平面運(yùn)動(dòng). 由于B點(diǎn)加速度已知,以B點(diǎn)為基點(diǎn),則C點(diǎn)的加速度可表示為aC=aB+a[n][CB]+a[τ][CB]. 其中桿BC角加速度方向如圖4所示.

    由于C點(diǎn)繞D點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng),其加速度可以分解成切向和法向兩部分,如圖5所示,即有aB+a[n][CB]+a[τ][CB]=a[n][C]+a[τ][C].

    將矢量方程投影可得:

    a[n][C]=aBcos45°-a[τ][CB]=

    a[τ][C]=aBsin45°+a[n][CB]

    解得a[n][C]=ω2l,

    a[τ][C]=ω2l,β=ω2.

    則aC ==ω2l.

    方向?yàn)榕cCD桿有夾角:

    θ=arctan=arctan6.

    方法二:加速度瞬心法

    1. 解析法找加速度瞬心

    以B點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo),容易分析得連桿做平面運(yùn)動(dòng)的加速度瞬心Q在第四象限. 如圖6所示,將矢量方程aQ=aQB+a[n][QB]+a[QB][τ][QB]投影可得: a[n][QB]·cosα=[τ][QB][a]·sinα

    a[n][QB]·sinα+[τ][QB][a]·cosα=aB

    ω12·x=β·(-y)

    ω12·(-y)+β·x=ω·l

    解得x=l,y = -l,此即Q的坐標(biāo).

    2. 幾何法找加速度瞬心

    如圖7所示,過B點(diǎn)沿aB方向作線段BB1==4l,稱有向線段BB1為當(dāng)量加速度. 過B1作CB的垂線交CB于E點(diǎn). 作線段CC1==l,過C1作CC1的垂線交EB1于A1,并連接CA1. 分別以CA1和BB1為直徑作圓相交于E、Q點(diǎn). 則Q點(diǎn)即為桿BC的加速度瞬心. 下面給出簡單證明.

    可以得到△A1B1Q與△CBQ相似,則有=. 而β=ω12=ω12.

    將aQ=aQB+a[QB][τ][QB]+a[n][QB]同時(shí)除以ω12,得=++,其中==B1Q. 所以=B1B+B1Q+QB=0. 即aQ=0.

    找到Q的位置后,連接QC,可得QC=l,則aC=·QC=ω2l. 在此瞬間桿BC可以看成繞加速度瞬心Q轉(zhuǎn)動(dòng)一樣(但是各點(diǎn)的速度分布還是繞速度瞬心轉(zhuǎn)動(dòng)),并且各點(diǎn)的加速度大小都與該點(diǎn)到加速度瞬心Q點(diǎn)的距離成正比:==. 如圖8所示. 這樣求桿BC上任意一點(diǎn)的加速度就很容易了,如F點(diǎn)的加速度為aF=·QF,只要求出QF即可.

    三、小結(jié)

    1. 基點(diǎn)法即理論力學(xué)中的夏萊定理,它將平面運(yùn)動(dòng)分解成平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng),是研究復(fù)雜運(yùn)動(dòng)最基本、最典型的方法.

    2. 投影法可以從夏萊定理結(jié)合剛體的定義推導(dǎo)出來,值得注意的是加速度只有平面運(yùn)動(dòng)的角速度為零時(shí)候才能用投影法,本例中由于桿的角速度不等于零所以不能用加速度投影法.

    3. 瞬心法的目的都是想利用計(jì)算定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上任一點(diǎn)的速度、加速度的方法求解平面運(yùn)動(dòng)剛體上任一點(diǎn)的速度、加速度,從而使物理情景加以簡化.

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