初中數(shù)學(xué)“實驗切片”銜接教學(xué)的實踐與思考

孫朝仁 朱桂鳳

數(shù)學(xué)實驗為理解數(shù)學(xué)提供了內(nèi)源幫助。蘇科版初中《數(shù)學(xué)》教科書中提供了大量的數(shù)學(xué)實驗素材，為破解難點、突出重點、消除盲點提供了研究載體;江蘇科技出版社出版的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)教科書·數(shù)學(xué)實驗手冊》為初中開展數(shù)學(xué)實驗提供了教學(xué)載體。但由于課時長度、教學(xué)容量、實驗條件的即時性局限，課堂無法完整銜接既定的數(shù)學(xué)實驗。如何做好教學(xué)上的適應(yīng)性銜接，值得研究。實踐證明：以“實驗切片”形態(tài)呈現(xiàn)更契合初中數(shù)學(xué)課堂現(xiàn)實，有利于數(shù)學(xué)實驗教學(xué)的常態(tài)化開展。

一、數(shù)學(xué)實驗切片教學(xué)的價值探問

在中小學(xué)數(shù)學(xué)教育中需要培養(yǎng)學(xué)生的建構(gòu)思維，這是王光明教授的數(shù)學(xué)教育命題觀。而建構(gòu)思維的常態(tài)培養(yǎng)離不開實驗切片的隨機切入，因為切入的過程就是認知建構(gòu)“瞬時”內(nèi)源化的過程。這里的“建構(gòu)”包括認知建構(gòu)的外源化（意義建構(gòu)雙基）、辯證化（再發(fā)現(xiàn)已有概念和命題）和內(nèi)源化（形成個性化特征的數(shù)學(xué)思想方法），而建構(gòu)內(nèi)源思維是切片實驗努力的主流方向，是數(shù)學(xué)認知理解的動力源和原動力，具有創(chuàng)造的突發(fā)性并與直覺思維相聯(lián)接。因此，數(shù)學(xué)實驗切片（實驗碎片）可以調(diào)和教學(xué)需求和容量有限的矛盾沖突，實現(xiàn)主實驗有效切入“四基”序列并邏輯化的實驗初衷，能常態(tài)落實“積累活動經(jīng)驗”的輔助教學(xué)功能。

就后現(xiàn)代教育心理學(xué)而言，數(shù)學(xué)思維的過程就是學(xué)習(xí)心理縱向活動的過程。由于實驗切片承載縱向知識理序化的銜接功能（由數(shù)學(xué)到數(shù)學(xué)），因此實驗“切片”的過程就是垂直化學(xué)習(xí)心理幡然醒悟的過程，也是心理學(xué)習(xí)水平漸次攀升的過程。《知識與控制》一書的作者倫敦大學(xué)的Michael Young教授將知識分為水平知識（日常生活經(jīng)驗的知識）和垂直知識（系統(tǒng)的概念性知識），認為課程知識要超越日常生活知識，垂直知識教學(xué)要懸置學(xué)生經(jīng)驗。這里的“超越”意味著概念心理水平的抬升，而較高層次心理水平的垂直變遷離不開切片實驗的直觀鋪墊，因此切片實驗造就垂直化學(xué)習(xí)心理樣態(tài);這里的“懸置”反映胡塞爾的哲學(xué)思想，意味著“因獨立而存在，因存在而依存”的個概念經(jīng)驗，唯有騰出原本騰不出的時空讓學(xué)習(xí)者經(jīng)歷切片實驗，方能契合因垂直而理解并系統(tǒng)化銜接個概念的學(xué)習(xí)心理。

二、數(shù)學(xué)實驗切片教學(xué)銜接的案例分析

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》在實施建議中指出，積極開發(fā)和有效利用各種課程資源，注重課程內(nèi)容的整合，鼓勵教師自制教具以彌補教學(xué)設(shè)施的不足。這里的“利用”“整合”“彌補”反映課程教育對限量課堂的一種效益期待，“效益”離不開難點破解和重點把握，而實驗切片能實現(xiàn)原有的教學(xué)手段難以達到甚至夠不到的效果，因此切片實驗貼合“問學(xué)”課堂教學(xué)內(nèi)需的現(xiàn)狀。由于概念、符號、方法規(guī)律的認知屬于灰色區(qū)域，對分析思維尚未健全的初中生而言，研究銜接概念型、符號型、方法型切片實驗案例尤為迫切和必要。

1.概念型實驗切片

在實驗切片“在數(shù)軸上表示無理數(shù)”中，設(shè)置實驗流程為：（1）拼一個面積為2的正方形;（2）在數(shù)軸上表示這個面積為2的正方形的邊長所對應(yīng)的點;（3）經(jīng)歷操作，你得到怎樣的結(jié)論？該實驗切片是由蘇科版《數(shù)學(xué)》“2.3數(shù)軸”第1課時的教學(xué)環(huán)節(jié)剪切而來。這節(jié)課共設(shè)計四個活動，“做一做和練一練”引導(dǎo)學(xué)生通過“自做”“自研”“合研”等外源方式習(xí)得有理數(shù)與數(shù)軸上點的對應(yīng)關(guān)系;“試一試和說一說”則是“實驗切片+反思歸結(jié)”，引導(dǎo)學(xué)生通過“心做”“手做”“嘴做”等內(nèi)源方式理解無理數(shù)與數(shù)軸上點的對應(yīng)關(guān)系，從而實現(xiàn)個概念的水平化理解，示范概念型實驗切片隨機銜接的課堂樣態(tài)。

就《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)實驗手冊》七年級上冊“實驗2：在數(shù)軸上表示無理數(shù)”設(shè)計方案而言，切掉計算機模擬環(huán)節(jié)和“在數(shù)軸上表示圓周率所對應(yīng)的點”操作環(huán)節(jié)，將其放在課后作為兒童發(fā)展思維的載體;就教材呈現(xiàn)的實驗素材而言，將“2.2有理數(shù)與無理數(shù)”的“議一議”活動素材（將兩個面積為1的正方形沿對角線剪拼成面積為2的正方形）剪切做成實驗切片的流程（1），而流程（2）則是教材呈現(xiàn)的主實驗，只不過在做的過程中學(xué)生呈現(xiàn)兩種方案（將小直角三角形的斜邊或直角邊放在數(shù)軸上，一端與原點重合并拼出符合條件的圖形），而教材僅呈現(xiàn)一種直觀方案（即前一種方案）。執(zhí)教者這樣切片實驗?zāi)康挠卸?，一是基于時空受限課堂無法銜接完整實驗的客觀現(xiàn)實;二是基于學(xué)生現(xiàn)有分析思維無法直接夠到“在數(shù)軸上表示無理數(shù)”的理解事實。實施該實驗切片，體現(xiàn)“理論”為“直觀”讓步的教學(xué)機智，進而達成因切片實驗而破解難點的本質(zhì)初衷，解決了理論課堂與直觀實驗在邏輯化關(guān)聯(lián)過程中產(chǎn)生的時空矛盾，實現(xiàn)常態(tài)課堂與適應(yīng)性主實驗的有機接軌。

2.符號型實驗切片

在實驗切片“翻牌游戲”中，實驗流程設(shè)置為：請取出7張撲克，全部正面朝上放在桌上，每次翻3張（包括已經(jīng)翻過的）。你能夠經(jīng)過若干次翻牌，所有的撲克都正面朝上嗎？若每次翻2張能成功嗎？為什么？本實驗切片由近期《數(shù)學(xué)實驗手冊》使用培訓(xùn)會的一節(jié)研討課剪切而來。原實驗是一節(jié)完整的數(shù)學(xué)實驗課，共設(shè)置4個由特殊到一般的雙向思維活動。筆者僅剪切前兩個活動作為破解“有理數(shù)乘法符號定性”這一難點的研究載體。就蘇科版《數(shù)學(xué)》七年級上冊第59頁呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)活動“算24”而言，該實驗由玩撲克活動經(jīng)歷內(nèi)顯變式并適度拓展而來;就《數(shù)學(xué)實驗手冊》設(shè)計的“實驗5：撲克牌游戲”是對抽象算式的直觀化探尋和釋義，在本質(zhì)層面也是對“算24”思維活動的水平拓展和垂直延伸。就實驗切片作為直觀理解的工具而言，筆者認為翻牌游戲的主價值在于“確認有理數(shù)乘積符號”這一結(jié)論的直觀意義，不在于流程的完備和元認知的反復(fù)介入，因為數(shù)學(xué)實驗起于直覺終歸于理解。

蘇科版《數(shù)學(xué)》七年級上冊“2.6有理數(shù)的乘法與除法”第1課時，難點是有理數(shù)乘法運算“結(jié)果符號的確定”，而“有理數(shù)乘法法則”理解的難點也是抽象的“同號得正、異號得負”。為此教材編者作了直觀上的努力，以水文觀測中的水位上升和下降為直觀背景，通過“做一做”“試一試”“議一議”螺旋上升的活動，引導(dǎo)學(xué)生探索法則的合理性（重在認證符號規(guī)定的合情性），其難度可見一斑。盡管新蘇科版教材因容量的限制刪掉“有理數(shù)乘法符號法則”（幾個有理數(shù)相乘，積的符號由負因數(shù)的個數(shù)確定。當負因數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)時，積為負;當負因數(shù)的個數(shù)為偶數(shù)時，積為正），但在運算過程中學(xué)生依然必須內(nèi)化理解它，方能正確解答。為了后續(xù)相關(guān)學(xué)習(xí)的需要，筆者剪切該實驗切片，在課尾讓學(xué)生在翻牌中體驗“7翻3成功，而7翻2不成功”的直觀原因（-1×（-1）3=1，-1×（-1）2=-1），從而內(nèi)化“符號規(guī)約”的合理性，釋放實驗切片適切銜接應(yīng)有的直觀價值。

3.方法型實驗切片

在實驗切片“借助拼圖把握配方法”中，實驗流程設(shè)置為：（直觀表示一元二次方程x2+6x-7=0的配方過程）（1）任意畫出一個長為（x+6），寬為 x的矩形;（2）將該矩形剪成一個邊長為x的正方形和長為x、寬為3的兩個全等的矩形;（3）不重合、不黏貼、不再剪切的情況下能拼成正方形嗎？若想拼成正方形還需添加什么條件？（4）若原矩形的面積是7，新拼成的正方形面積是多少？此時，能得到怎樣的關(guān)系式？該實驗切片是由新蘇科版《數(shù)學(xué)》九年級上冊“1.2一元二次方程的解法”第2課時（配方法）“數(shù)學(xué)實驗室”素材變式加工而來。教材站在平方根的基礎(chǔ)上講述一元二次方程的解法直接開平方法，又在直接開平方的基礎(chǔ)上呈現(xiàn)配方的方法論體系。尤其是在配方過程中，對“方程的兩邊總要加上一次項系數(shù)一半的平方”這一硬性規(guī)定的理解，學(xué)生處在“知其然，但不知其所以然”的“悱憤”狀態(tài)，所以切入直觀的圖式語言尤為必要和關(guān)鍵。為此，筆者隨機切入該實驗切片，可以達成以下兩個目標：一是通過剪拼圖形將抽象的配方過程直觀顯示，讓學(xué)習(xí)者體驗配方規(guī)約的合情性;二是通過割補矩形構(gòu)造正方形的過程，直觀顯化“二次項系數(shù)為1的方程，兩邊加上一次項系數(shù)一半平方”的合理性。另外，筆者一直認為“照單全收”不是藝術(shù)的剪切，由大量的模仿操練獲得的解題技術(shù)不具有長久性，會因“消化不良”而漸次放空。因此“巧做”遠比“派送”來得深刻，這與詩人陸游“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行”的“致用”思想血脈相連。

就教材呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)實驗素材而言，借助拼圖特例直觀表達一元二次方程配方流程的合理性。教材編者為研究x2+2x-24=0的配方過程，借助“變形+轉(zhuǎn)化”方法構(gòu)造可配方的形態(tài)：x（x+2）=24。這樣具體運演配方的過程，就可看成一個長是（x+2）、寬是x、面積是24的矩形割補成一個正方形。這樣的直觀思考改造，就為形式運演切片實驗的適應(yīng)性制作提供可資借鑒的研究范式。就配方法在教材中的地位而言，具有“萬能”稱號的配方法對解答一元二次方程是不可或缺的，研究方法論意義重大。后續(xù)的一元二次方程根的判別式、二次函數(shù)的頂點式、一元二次不等式、余弦定理、圓的標準方程等基于定向變形構(gòu)造完全平方式的結(jié)構(gòu)體系都與配方法通體相關(guān)。就配方法的數(shù)學(xué)理解而言，初中生的經(jīng)驗思維和直覺思維尚占主導(dǎo)地位，理解抽象的配方法其難度可想而知。銜接直觀實驗切片成為解除理解困惑的內(nèi)在需求，所以簡單的操練必須為直觀的理解讓步，方能讓技藝性模仿形成產(chǎn)生式系統(tǒng)，否則無法形成由“知”到“識”的技能。因此，在課末銜接適應(yīng)性實驗切片意義非凡。

三、數(shù)學(xué)實驗切片教學(xué)的銜接觀點

實驗切片具有直擊主流思維的優(yōu)勢，但因其輔助工具的地位，不應(yīng)是教學(xué)主流，所以只在必須處插入其理解功能，實現(xiàn)必要的理解幫助和幫助理解。就目前研究結(jié)論而言，筆者認為在以下三個時機必須切入適應(yīng)性實驗切片。

1.數(shù)學(xué)內(nèi)部知識無法垂直聯(lián)結(jié)時需要銜接實驗切片。數(shù)學(xué)內(nèi)部知識的邏輯形態(tài)是梯級攀升的，垂直聯(lián)結(jié)相關(guān)概念的過程，就是理解把握科學(xué)形態(tài)數(shù)學(xué)概念的再造過程。對于上述概念型切片實驗涉及的有理數(shù)與無理數(shù)兩概念，前者與小學(xué)算術(shù)緊密銜接，水平化理解有理數(shù)概念不困難，但從有理數(shù)走向無理數(shù)卻是認識論層面的躍遷（垂直聯(lián)結(jié)），沒有切片實驗的直觀分析和數(shù)據(jù)量化實驗，讓兒童感知“找不到一個數(shù)的平方等于2”和感受“無限”的過程，就很難接收“無理”的無理數(shù)。因此，垂直概念無法邏輯貫通時需要切片實驗的適應(yīng)性幫助。

2.思維內(nèi)源認知無法通達運演時需要銜接實驗切片。數(shù)學(xué)力的培養(yǎng)應(yīng)以思維概括力的作用為基礎(chǔ)，概括力釋放的過程就是內(nèi)源認知思維通達運演的過程。正如上述鋪成的符號型切片實驗，是借助翻牌研究有理數(shù)乘法符號法則。按條件翻牌的過程就是學(xué)生內(nèi)源認知概括符號論斷的過程，也就是抽象的符號規(guī)約在直觀運演時得以通達化，進而形成定性的內(nèi)源認知產(chǎn)生式（負數(shù)的個數(shù)決定符號的性質(zhì)）。因此，內(nèi)源認知打結(jié)時需要直觀的切片實驗捷足先登，方能實現(xiàn)由“識”到“能”的縱向運演而通達。

3.客體現(xiàn)實經(jīng)驗無法調(diào)和并軌時需要銜接實驗切片。中學(xué)數(shù)學(xué)課程是數(shù)學(xué)概念、原理和方法的體系，掌握方法遠比中空訓(xùn)練來得有價值。而方法體系的產(chǎn)生依托于客體（學(xué)生）現(xiàn)實經(jīng)驗客觀化，客體個經(jīng)驗調(diào)和并軌的過程就是客觀經(jīng)驗形態(tài)的形成過程。由算術(shù)平方根到直接開平方是橫向知識的序列化，而由直接開平方到配方法卻是縱向知識的邏輯化。切片實驗割補圖形的過程，就是并軌“條件方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方”個經(jīng)驗的認識過程。唯有借助切片實驗的直觀調(diào)和，方能達成由“能”到“力”集體經(jīng)驗的變遷。

此外應(yīng)注意的是，對新事物的認識需要有自己的判斷力，數(shù)學(xué)實驗概莫能外。實驗切片更有能力擔(dān)當輔助工具的責(zé)任，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)教科書·數(shù)學(xué)實驗手冊》需要在后續(xù)的改造中進行適應(yīng)性革新，讓其貼著課堂現(xiàn)實行走。

（孫朝仁，連云港市教育科學(xué)研究所，222006;朱桂鳳，連云港市新浦中學(xué)，222003）

責(zé)任編輯：趙赟